#[First derivative test for maximia and minima][Prueba primera derivada para máximos y mínimos]#

#[Suppose that $c$ is a critical point of the continuous function $f$ and that its derivative is defined for $x$ close to, and on both sides of, $x = c$. Then, determine the sign of the derivative to the left and right of $x = c$.][Supon que $c$ es un punto crítico de la función continua $f$ y que su derivada se define para $x$ cerca de, y en ambos lados de, $x = c$. Luego, determina el signo de la derivada para la izquierda y la derecha de $x = c$.]#

1. #[If $f'(x)$ is positive to the left of $x = c$ and negative to the right, then $f$ has a maximum at $x = c$.][Si $f'(x)$ es positiva a la izquierda de $x = c$ y negativa a la derecha, entonces $f$ tiene un máximo en $x = c$.]#
2. #[If $f'(x)$ is negative to the left of $x = c$ and positive to the right, then $f$ has a minimum at $x = c.$][Si $f'(x)$ es negativa a la izquierda de $x = c$ y positiva a la derecha, entonces $f$ tiene un mínimo en $x = c$.]#
3. #[If $f'(x)$ has the same sign on both sides of $x = c$, then $f$ has neither a maximum nor a minimum at $x = c$][Si $f'(x)$ tiene el mismo signo en ambos lados de $x=c$, entonces $f$ no tiene ni un máximo ni un mínimo en $x=c$.]#

#[Examples][Ejemplos]#

1. #[$f(x) = x^4$ has a stationary point at $x = 0$. Its derivative $f'(x) = 4x^3$ is negative if $x \lt 0$ and positive if $x \gt 0$. Thus, $f$ has a minimum at $x = 0$.][$f(x) = x^4$ tiene un punto estacionario en $x = 0$. Su derivada $f'(x) = 4x^3$ es negativa si $x \lt 0$ y positiva si $x \gt 0$. Por lo tanto, $f$ tiene un mínimo en $x = 0$.]#
2. #[$f(x) = x^3$ has a stationary point at $x = 0$. Its derivative $f'(x) = 3x^2$ is positive on both sides of $x=0$. Thus, $f$ has neither a minimum nor maximum at $x = 0$.][$f(x) = x^3$ tiene un punto estacionario en $x = 0$. Su derivada $f'(x) = 3x^2$ es positiva en ambos lados de $x=0$. Por lo tanto, $f$ tiene un ni un mínimo ni un máximo en $x = 0$.]#