Regla para sumas, diferencias, y múltiplos constantes
Si existen $f\prime(x)$ y $g\prime(x)$, y si $c$ es una constante, entonces
a. $\displaystyle [f(x) \pm g(x)]\prime = f'(x) \pm g\prime(x)$
b. $\displaystyle [c\,f(x)]\prime = c\,f\prime(x) $
En la notación diferencial, estas reglas pueden ser escrito como:
a. $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] \pm \frac{d}{dx}[g(x)]$
b. $\displaystyle \frac{d}{dx}[c\,f(x)] = c\frac{d}{dx}[f(x)] $
En palabras
La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.
En otras palabras, para hallar la derivada de una suma (o diferencia) de varias funciones, simplemente halla la derivada de cada función, y suma (o resta) las respuestas.
La derivada de $c$ por una función es $c$ por la derivada de la función.
En otras palabras, para hallar la derivada de una constante por una función, simplemente halla la derivada de la función, y multiplica por la constante.
#[Examples][Ejemplos]#
1. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[1+x^3]$ \t ${}= 0 + 3x^2$ \gap[10] \t
\\ \t \t ${}= 3x^2$
\\
\\ 2. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[x^2-x^3+x^5]$ \t ${}= 2x-3x^2+5x^4$ \gap[10] \t
\\
3. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[4x^3]$ \t $\displaystyle {}= 4\frac{d}{dx}[x^3]$ \gap[10] \t
\\ \t \t ${}= 4(3x^2)$
\\ \t \t ${}= 12x^2$ \t
\\
4. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[12]$ \t $\displaystyle {}= \frac{d}{dx}[12 \cdot 1]$ \gap[10] \t
\\ \t \t $\displaystyle {}= 12\frac{d}{dx}[1]$ \gap[10] \t
\\ \t \t ${}= 12(0)$ \t
\\ \t \t ${}= 0$ \t
\\
5. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{4}{x}\right]$ \t $\displaystyle {}= \frac{d}{dx}\left[4 \cdot \frac{1}{x}\right]$ \gap[10] \t
\\ \t \t $\displaystyle {}= 4\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right]$ \t
\\ \t \t $\displaystyle {}= 4\left[-\frac{1}{x^2}\right]$ \t
\\ \t \t $\displaystyle {}= -\frac{4}{x^2}$
\\
\\ 6. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[5x^3-4x+7]$ \t ${}= 5(3x^2) - 4(1) + 7(0)$ \gap[10] \t
\\ \t \t $\displaystyle {}= 15x^2-4$