Función de costo
Una
función costo especifica el costo $C$ como una función de la cantidad de artículos $x.$ En consecuencia, $C(x)$ es el costo de $x$ artículos, y tiene la forma
Costo = Costo variable + Costo fijo
en la que el costo variable es una función de $x$ y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma
$C(x) = mx + b$
se llama una
función costo lineal; el costo variable es $mx$ mientras que el costo fijo es $b.$ La pendiente $m$ en una función costo lineal es el
costo marginal, y mide el costo incremental por artículo.
Ejemplo
El costo diario para su servicio de donas por preparar $x$ cajas de donas orgánicas es
$C(x) = 2x + 100\qquad$ \t
(que resulta ser una función lineal). El costo fijo es $\$100$, el costo variable es $2x,$ y el costo marginal es $2.$
Función de ingreso
El
ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama
ingreso bruto. Si $I(x)$ es el ingreso por vender $x$ artículos al precio de $m$ cada uno, entonces $I$ es la función lineal $I(x) = mx$ y el precio de venta $m$ se puede tamién llamar
ingreso marginal.
Ejemplo
Tu servicio de donas vende donas orgánicas en $\$4.50$ por caja. Por lo tanto, el ingreso por la venta de $x$ cajas es
$I(x) = 4.50x$ $\qquad$ \t
El ingreso marginal es $m = \$4.50$ por caja.
#[Profit Function][Función de ganancia]#
La
ganancia (o
beneficio monetario) es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos cuando se restan los costos. Si la ganancia depende linealmente del número de artículos, la pendiente $m$ se llama
beneficio marginal. La ganancia, el ingreso y el costo se relacionan mediante la siguiente fórmula.
#[Profit][Ganancia]# \t ${}={}$ #[Revenue − Cost][Ingreso − Costo]#
\\ #[$P$][$G$]# \t #[${}= R - C$][${}= I - C$]#
Si la ganancia es negativa, digamos &menos\$500, nos referimos a una
pérdida (de \$500 en este caso).
Cubrir gastos significa no obtener ni ganancias ni pérdidas. Por lo tanto, el
punto de equilibrio
se produce cuando $G = 0,$ o
#[$R = C \iff P = 0$][$I = C \iff G = 0$]# \t \t
El
punto equilibrio es el número de articulos $x$ a lo cual se produce el equilibrio.
Continuando con el escenario de los donas: dadas las funciones de costos e ingresos anteriores, la función de ganancias es
#[$P(x){}$][$G(x){}$]# \t #[${}= R(x) - C(x)$][${}= I(x) - C(x)$]#
\\ \t ${}= 4.5x - (2x + 100)$
\\ \t ${}= 2.5x - 100$
Para el punto de equilibrio, establecemos $P = 0:$
$G {}= 2.5x - 100 = 0$${}\implies x = \dfrac{100}{2.5} = 40$ #[boxes][cajas]#
#[So, to avoid a loss, you would need to sell at least 40 boxes of organic donuts.][Entonces, para evitar pérdidas, necesitarías vender 40 cajas de donas orgánicas.]#