Exponential growth and doubling time
#[An exponential growth function has the form][Una función de crecimiento exponencial tiene la forma]#
$Q(t) = Q_0e^{kt}.\qquad$
#[$Q_0$ represents the value of $Q$ at time $t = 0$, and $k$ is the
growth constant. The growth constant $k$ and the
doubling time $t_d$ (the time it takes $Q$ to double) are related by][$Q_0$ representa el valor de $Q$ en el tiempo $t = 0$, y $k$ es el
constante de crecimiento. El constante de crecimiento $k$ y el
tiempo de duplicación $t_d$ (el tiempo que tarda $Q$ en duplicarse) están relacionados por]#
$t_dk = \ln 2$.
#[Examples][Ejemplos]#
1. #[If][Si]# $Q(t) = 200e^{0.0123t}$ #[and $t$ is in years, then][y se mide $t$ en eños, entonces]# $t_d(0.0123) = \ln 2$, #[so the doubling time is][por lo que el tiempo de duplicación es]#
$t_d = \dfrac{\ln 2}{0.0123}$ \t $\approx 56.35$ #[years][años]#.
2. #[If the initial value of $Q$ is 1,000 and][Si el valor inicial de $Q$ es 1,000 y]# $t_d = 10$ #[years, then][años, entonces]# $10k = \ln 2$, #[so][por lo que]# $k = \frac{\ln 2}{10} \approx 0.06931$, #[and the growth model is][y el modelo de crecimiento es]#
$Q(t) = 1{,}000e^{0.06931t}.$