#[Equation of a line][Ecuación de una recta]#
la ecuación de la recta que pasa por el punto $(x_1, y_1)$ con pendiente $m$ se da por
$y = mx + b$
#[where $m$ is its slope and $b$ in the intercept given by][donde $m$ esla pendiente y $b$ es la intersección $y$ dada por]#
$b = y_1+mx_1$.
#[If we are not given the slope directly, but are given two points $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ then $m$ is given by][Si no se nos da la pendiente directamente, pero se nos dan dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ entonces $m$ se da]#
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$
#[If the line is vertical, then the slope is not defined and the equation of the vertical line through $(x_1, y_1)$ is line is $x = x_1.$][Si la recta es vertical, entonces la pendiente no se define y la ecuación de la recta vertical tras $(x_1, y_1)$ is $x = x_1.$]#
Ejemplos
1. #[The equation of the line through $(2,3)$ with slope $4$ has
$b = y_1-mx_1 = 3 - (4)(2) = -5,$
so the equation is
$y = mx + b = 4x - 5$.
][La ecuación de la recta que pasa por $(2,3)$ con pendiente $4$ tiene
$b = y_1-mx_1 = 3 - (4)(2) = -5,$
por lo que la ecuación es
$y = mx + b = 4x - 5$.
]#
2. #[The line through][La recta por]# $(x_1, y_1) = (-1, 4)$ #[and][y]# $(x_2, y_2) = (2, 3)$ #[has][tiene]#
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{3-4}{2-(-1)} = \dfrac{1}{3}$
\\ $b = y_1 - mx_1 = 4 - \left(\dfrac{1}{3}\right)(4) = \dfrac{8}{3}$,
#[and so its equation is][por lo que su ecuació es]#
$y = mx + b= \dfrac{1}{3}x + \dfrac{8}{3} = \dfrac{1}{3}(x+8).$
3. #[The equation of the line through $(-2,3)$ parallel to $2x + 4y = 1$ has the same slope as $2x+4y = 1$, so we firt solve this equation for $y$ to get the slope:][La ecuación de la recta que pasa por $(-2,3)$ paralela a to $2x + 4y = 1$ tiene la misma pendiente que $2x+4y = 1$, por lo que primero resolver esta ecuación para $y$ para obtenere la pendiente:]#
$2x + 4y = 1 \implies y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4},$
#[so the slope is $\frac{1}{2}$, and][por lo que la pendiente es $\frac{1}{2}$, y]#
$b = y_1 - mx_1 = 3 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)(-2) = 2$.
#[Thus its equation is][Por lo tanto, su ecuació es]#
$y = mx + b= -\dfrac{1}{2}x + 2.$