Modelos de crecimiento exponencial y desintegración

Una cantidad $y = Ab^t$ que varía exponencialmente con el tiempo $t$ experimenta crecimiento exponencial si $b \gt 1$ y decaimiento exponencial si $b \lt 1$.

$y = Ab^t; \ \ b \gt 1$
#[Exponential growth][Crecimiento exponencial]#

$y = Ab^t; \ \ b \lt 1$
#[Exponential decay][Decaimiento exponencial]#

Ejemplo: La desintegración radiactiva y la datación por carbono.

El carbono 14, un isótopo inestable de carbono, se descompone extremadamente lentamente en nitrógeno y se usa en la datación de fósiles. La cantidad de carbono 14 restante en una muestra que originalmente contenía $A$ gramos est�á dada por una función exponencial de tiempo $t$:

$C(t) = A(0.999879)^t \qquad$ Decaimiento exponencial; $b = 0.999879$

#[where $t$ is time in years.][donde $t$ es tiempo en años.]#

1. Después de 10,000 años, una muestra que originalmente conten�a 100 g de carbono 14 todavía contendrá

$C(10{,}000) = 100(0.999879)^{10{,}000} \approx 29.8$ g #[carbon][carbono]# 14.

2. Si, después de 10,000 años, se encuentra que la cantidad de carbono 14 en una muestra es de 50 g, ¿cuánto contenía originalmente?

Para calcular la cantidad original, sustituya la información dada en la fórmula:

$50 = A(0.999879)^{10{,}000}$ \\ $A = \dfrac{50}{0.999879^{10{,}000}} \approx 167.7$ g

3. Datación de una mustra: Si, después de 10,000 años, se encuentra que la cantidad de carbono 14 en una muestra es de 50 g, entonces, para calcular la cantidad original, sustituya la información dada en la fórmula:

#[Again, substitute the given information in the formula:][Otra vez, sustituya la información dada en la fórmula:]#

$50 = 100(0.999879)^{t}$ \\ $\dfrac{1}{2} = 0.999879^t$ \t #[Divide both sides by 100.][Divide ambos lados por 100.]# \\ $\displaystyle t = \log_{0.999879}\left(\frac{1}{2}\right)\approx 5728$ añs \gap[40] \t #[Rewrite in logarithmic form.][Reescribir en forma logarítmica.]#

Uno para ti:

#[The amount of %0 remaining in a sample that originally contained $A$ grams is approximately][La cantidad de %0 restante en una muestra que contenía originalmente $A$ gramos es aproximadamente]#

$C(t) = %1$,

#[where $t$ is time in %2s.][donde $t$ es tiempo en %2s.]#

#[How much %0 remains after %3 %2s in a sample that originally contained %4 g?][¿Cuánto %0 queda después de %3 %2s en una muestra que originalmente contenía %4 g?]#

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#[A fossilized %5-%2 old alien artifact unearthed in a Mars dig contains %6 g of %0. How much %0 did the artifact originally contain?][Un fosilizado artefacto alienígena que tiene %5 %2s de edad descubierto en una excavación de Marte contiene %6 g de %0. ¿Cuánto %0 contenía el artefacto originalmente?]#

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#[If a specimen dug up in a secret location originally contained %8 g of %0 and now contains %9 g, approximately how old is the specimen?][Si un espécimen desenterrado en un lugar secreto originalmente contenía %8 g de %0 y ahora contiene %9 g, ¿aproximadamente cual edad es el espécimen?]#

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