#[Calculating the slope of a line][calcular la pendiente de una recta]#
Considera, por ejemplo, la función lineal $f(x) = mx + b = 2x-1$ cuya gráfica se muestra a continuación.
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$\color{darkred}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{6}{3} = 2}$
$\color{darkgreen}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{4}{2} = 2}$
$\color{blue}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{2}{1} = 2}$
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#[ As we move along its graph, $y$ changes by $\Delta y = m = 2$ units for ever $1$-unit change $\Delta x$ in $x.$ In other words, the ratio $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ is always the same, and equal to $m = 2.$ We call $m$ the
slope of the line.
In general][ A medida que avanzamos en la gráfica, $y$ cambia en $\Delta y = m = 2$ unidades por cada cambio de $1$ unidad $\Delta x$ en $x$. En otras palabras, la relación $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ siempre es lo mismo, e igual a $m = 2.$ Llamamos $m$ la
pendiente de la recta.
En general,]#
#[Slope of a line][Pendiente de una recta]# $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
[De la fórmula vemos que la pendiente es positiva cuando $\Delta x$ y $\Delta y$ tienen el mismo signo, y negativa cuando tienen signos opuestos. El cociente $\Delta x/\Delta y$ que define el pendiente, siendo un cociente de dos diferencias, a menudo se denomina
cociente de diferencias.
Ejemplos
1. #[The slope of the line through][La pendiente de la recta por]# $(x_1, y_1) = (-1, 4)$ #[and][y]# $(x_2, y_2) = (2, 3)$ #[is][es]#
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{3-4}{2-(-1)} = \dfrac{1}{3}.$
2. #[The slope of the line through][La pendiente de la recta por]# $(x_1, y_1) = (1, -3)$ #[and][y]# $(x_2, y_2) = (2, -3)$ #[is][es]#
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{-3-(-3)}{2-1} = \dfrac{0}{1} = 0.$
3. #[The slope of the line through][La pendiente de la recta por]# $(x_1, y_1) = (-3, 1)$ #[and][y]# $(x_2, y_2) = (-3,2)$ #[is][es]#
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{2-1}{-3-(-3)} = \dfrac{1}{0},$ #[which is undefined (the line passing through these two points is vertical).][que es indefinida (la recta que pasa por estos dos puntos es vertical).]#
4. A continuación se muestran dos rectas; uno con pendiente positiva ($\Delta x$ y $\Delta y$ tienen el mismo signo) y otro con pendiente negativa ($\Delta x$ y $\Delta y$ tienen signo opuesto):
$(x_1,y_1)=(1,1)$, $(x_2,y_2)=(5,7)$
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{7-1}{5-1} = \dfrac{6}{4}= \dfrac{3}{2}$
\t \t
$(x_1,y_1)=(1,7)$, $(x_2,y_2)=(5,1)$
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1-7}{5-1} = \dfrac{-6}{4}= -\dfrac{3}{2}$
#[$\Delta y$ is sometimes referred to as the "rise" (the amount the line goes up from left to right) and $\Delta x$ is referred to as the "run." In both graphs, the run is $\Delta x=4,$ but the rise $\Delta y$ is negative in the second graph. Notice also that switching the numbering of the two points results in the same quotient in either calculation (as both the numerator and denominator would change sign).][$\Delta y$ a veces se denomina "subida" (la cantidad que la línea sube de izquierda a derecha) y $\Delta x$ se denomina "corrida". En ambas gráficas, la corrida es $\Delta x = 4,$ pero la subida $\Delta y$ es negativa en la segunda gr´fica. Observa también que intercambiar la numeración de los dos puntos da como resultado el mismo cociente en cualquier cálculo (ya que tanto el numerador como el denominador cambiarían de signo).]#