Usar la fórmula cuadrática para resolver cuadráticas (funciona siempre)
Las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ son
$x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$
A la cantidad $\Delta = b^2-4ac$ (que ¡ya hemos visto anteriormente!) el
discriminante de la expresión cuadrática ($\Delta$ es la letra griega delta) y tenemos el siguiente principio general:
- Si $\Delta$ es positivo, hay dos soluciones reales distintas.
- Si $\Delta$ es cero, hay solo una solución real: $x = -\dfrac{b}{2a}.$ (¿Por qué?)
- Si $\Delta$ es negativa, no hay ningunas soluciones reales.
Ejemplos
1. $x^2-5x-12 = 0$ tiene $a = 2, b = -5,$ #[and][y]# $c = -12.$ El discriminante es
$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2-4(2)(-12) = 25 + 96 = 121,$
que es positiva, por lo que hay dos soluciones dinstintas:
$x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \t ${}= \dfrac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4(2)(-12)}}{2(2)}$
\\ \t ${}= \dfrac{5\pm\sqrt{121}}{4} = \dfrac{5\pm 11}{4}$
\\ \t ${}= \dfrac{16}{4}$ #[or][o]# $-\dfrac{6}{4}$
\\ \t ${}= 4$ #[or][o]# $-\dfrac{3}{2}$
2. $x^2+ 2x - 1 = 0$ tiene $a = 1, b = 2,$ #[and][y]# $c = -1.$ El discriminante es
$\Delta = b^2-4ac = 2^2-4(1)(-1) = 4+4 = 8,$
que es positiva, por lo que hay dos soluciones dinstintas:
$x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \t ${}= \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4(1)(-1)}}{2(1)}$
\\ \t ${}= \dfrac{-2\pm\sqrt{8}}{2} = \dfrac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}$
\\ \t ${}= -1 + \sqrt{2}$ #[or][o]# $-1 - \sqrt{2}$
3. $4x^2 = 12x - 9$ se puede reescribir como $4x^2-12x+9 = 0$ que tiene $a = 4, b = -12,$ #[and][y]# $c = 9.$El discriminante es
$\Delta = b^2-4ac = (-12)^2-4(4)(9) = 144-144 = 0,$
que es positiva, por lo que hay una solución distinta:
$x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \t ${}= \dfrac{12\pm\sqrt{(-12)^2-4(4)(9)}}{2(4)}$
\\ \t ${}= \dfrac{12\pm\sqrt{144-144}}{8} = \dfrac{12\pm\sqrt{0}}{8}= \dfrac{12}{8}$
\\ \t ${}= \dfrac{3}{2}$
4. $x^2+x+1 = 0$ tiene $a = 1, b = 1,$ #[and][y]# $c = 1.$ El discriminante es
$\Delta = b^2-4ac = 1^2-4(1)(1) = 1 - 4 = -3,$
que es negativa, por lo que no hay ningunas soluciones reales.