#[Final step in reducing a matrix: Convert the leading entries to 1s and rearrange the rows if necessary][Paso final para reducir una matriz: Convertir las entradas principales en 1 y reordenar las filas si es necesario]#
#[In row-reducing matrices with integer or rational coefficients, we prefer to convert them to integral matrices (matrices with integer coefficients) in the very first step, and keep them integral throughout the reduction process until the last step which we do here, where we
convert all the leading entries into 1s:][En la reducción por filas de las matrices con coeficientes enteros o racionales, preferimos convertirlas en matrices integrales (matrices con coeficientes enteros) en el primer paso y mantenerlas integrales durante todo el proceso de reducción hasta el último paso que hacemos aquí, donde
convertimos todas las entradas principales en 1:]#
#[Remember that the
leading entry of any row is its first non-zero entry, so that a row of zeros would have no leading entry.][Recuerda que la
entrada principal de cualquier fila es su primera entrada distinta de cero, por lo que una fila de ceros tendría ninguna entrada principal.]#
#[Final step: Convert all leading entries into 1s, and then if necessary, rearrange the rows so that the leading entries go from left to right, with any rows of zeros at the end.][Paso final: Convertir todas las entradas principales en 1, y entonces si es necesario, reordena las filas para que las entradas principales vayan de izquierda a derecha, con cualquieras filaas de ceros al final.]#
#[It then turns out that the reduced form of the matrix is
unique; no matter what valid row operations you used to get the matrix into row reduced form, the same final matrix will always result! ][Entonces resulta que la forma reducida de la matriz es
única; ¡no importa qué operaciones de fila válidas hayas utilizado para obtener la matriz en forma reducida por filas, siempre resultará la misma matriz final!]#
#[Examples][Ejemplos]#
\t
\t $\longrightarrow$
\t
\t $\longrightarrow$
\t
#[(Note that only the leading entry---the first nonzero entry---of each row that has one has been converted to a 1.)]][(Ten en cuenta que solo la entrada principal---la primera entrada distinta de cero----de cada fila que tiene uno se ha convertido en 1).]#
#[Now notice something
very interesting about the first example above: If the matrix we are working with there represented a system of three linear equations with unknowns $x, y, z$, then converting the matrix we have obtained back into equations gives us][Ahora note algo
muy interesante sobre el primer ejemplo anterior: si la matriz con la que estamos trabajando allí representara un sistema de tres ecuaciones lineales con incógnitas $x, y, z$, entonces convertir la matriz que hemos obtenido nuevamente en ecuaciones nos da]#
$x = \dfrac{3}{2}, \ \ y = -\dfrac{1}{2}, \ \ z = -2$.
#[In other words, we have obtained the solution of the original system of equations!][En otras palabras, ¡hemos obtenido la solución del sistema original de ecuaciones!]#
#[The second example above, by contrast, does not represent a unique solution, but instead a simplified system of equations that leads to a non-unique solution. Situations like this are discussed in %3][El segundo ejemplo anterior, en cambio, no representa una solución única, sino un sistema de ecuaciones simplificado que conduce a una solución no única. Situaciones como esta se analizan en %3.]#