#[Elementary† row operations][Operaciones elementales† de renglón]#
#[Type 1: ][Tipo 1: ]##[Replacing $R_{i}$ by $aR_{i}$ where $a \neq 0$; that is, multiplying or dividing a row by a nonzero number][Reemplazar $R_{i}$ por $aR_{i}$ donde $a \neq 0$; es decir, multiplicar un renglón por un número distinto de cero.]#
#[Type 2: ][Tipo 2: ]##[Replacing $R_i$ by $aR_i \pm bR_j$ where $a \neq 0$; that is, multiplying a row by a nonzero number and adding or subtracting a multiple of another row][Reemplazar $R_i$ por $aR_i \pm bR_j$ donde $a \neq 0$; es decir, multiplicar un renglón por un número distinto de cero u sumar o restar un núltiple de u otro renglón]#
#[Type 3: ][Tipo 3: ]##[Changing the order of the rows][Cambiar el orden de los renglones]#
#[For Types 1 and 2 we write the instruction for the row operation next to the row we wish to replace.][Par tipos 1 y 2 escribimos la instrucción para la operación de renglón a lo lado del renglón que quermos reemplazar.]#
#[Examples][Ejemplos]#
#[Type 1: ][Tipo 1: ]# #[Replacing $R_{i}$ by $aR_{i}$][Reemplazar $R_{i}$ por $aR_{i}$]#
#[For instance, write the instruction $3R_2$ next to row 2 to mean "Multiply row 2 by 3."][Por ejemplo, escribe la instrucción $3R_2$ al lado de renglón 2 para significar "Multiplica renglón 2 por 3."]#
#[Type 2: ][Tipo 2: ]# #[Replacing $R_i$ by $aR_i \pm bR_j$][Reemplazar $R_i$ por $aR_i \pm bR_j$ donde $a \neq 0$n]#
#[For instance, write the instruction $3R_1-2R_3$ next to row 1 to mean "Replace row 1 by three times row 1 minus twice row 3"][Por ejemplo, escribe la instrucción $3R_1-2R_3$ al lado de renglón 1 para significar "Reemplaza renglón 1 por tres veces renglón 1 menos dos veces renglón 3"]#
#[
In words: "Three times the top minus twice the bottom"][
En palabras: "Tresveces la parte superior menos dos veces la parte inferior"]#
#[Type 3: ][Tipo 3: ]# #[Changing the order of the rows][Cambiar el orden de los renglones]#
#[For instance, write the instruction $R_2 \leftrightarrow R_3$ to mean "Swap rows 2 and 3"][Por ejemplo, escribe la instrucción $R_2 \leftrightarrow R_3$ para significar "Intercambia renglones 2 y 3"]#
#[(It is a mathematical fact that any reordering of the rows can be obtained by a sequence of row swaps.)][(Es un hecho matemático que cualquier reordenamiento de las renglones se puede obtener mediante una secuencia de intercambios de renglones).]#
† #[We are taking the liberty of using the term "elementary" somewhat more freely than is traditional. Strictly speaking, in Type 2, we should allow only $a = 1$, and in Type 3 we should permit only the interchange of two rows. However, one can obtain the more general operations stated here by applying the stricter ones in sequence, so by relaxing the definition in this way, we will be able to reduce matrices with fewer steps, especially when dealing with matrices of integers. (In any case, even the stricter traditional notion of elementary equivalence is redundant; one could actually scrap Type 3 altogether and restrict Type 2 to $a = b = 1$.)][Nos permitimos usar el término "elemental" con mayor libertad de lo habitual. En sentido estricto, en el Tipo 2, solo deberíamos permitir $a = 1$, y en el Tipo 3, solo el intercambio de dos filas. Sin embargo, las operaciones más generales aquí descritas se pueden obtener aplicando las más estrictas secuencialmente. Por lo tanto, al flexibilizar la definición de esta manera, podremos reducir matrices con menos pasos, especialmente al trabajar con matrices de enteros. (En cualquier caso, incluso la noción tradicional más estricta de equivalencia elemental es redundante; de hecho, se podría descartar por completo el Tipo 3 y restringir el Tipo 2 a $a = b = 1$).]#
#[Some for you][Algunos para ti]#