#[Determinate and indeterminate forms][Formas determinadas e indeterminadas]#

#[Let $f$ be some algebraically specified function and let $a$ be a real number or $\pm \infty$. The form of $f(x)$ as $x \to a$ is the mathematical expression we get sy subsituting $a$ for $x$ in $f(x)$ (and possibly simplifying). Note that if $a$ is in the domain of $f$, the form of $f$ at $a$ is just the real number $f(a)$.][Sea $f$ una función especificada álgebraicamente y sea $a$ un número real o $\pm \infty$. La forma de $f(x)$ a medida que $x \to a$ es la expresión matemática que obtenemos por $x$ por $a$ en $f(x)$ (y posiblemente simplificar). Ten en cuenta que si $a$ está en el dominio de $f$, la forma de $f$ en $a$ es simplemente el número real $f(a)$.]#

#[We can also talk about the form of $f(x)$ as $x \to a^+$ or the form of $f(x)$ as $x \to a^-$ in the same way: just substitute $a$ for $x$.][También podemos hablar de la forma de $f(x)$ cuando $x \to a^+$ o la forma de $f(x)$ cuando $x \to a^-$ en la misma manera: Sustituya $x$ por $a$.]#

#[Examples][Ejemplos]#
1. #[If][Si]# $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ #[then the form of $f(x)$ as $x \to 4$ is][entonces la forma de $f(x)$ cuando $x \to 4$ es]# $\dfrac{1}{4-2} = \dfrac{1}{2}$.	#[This is $f(4)$ as $4$ is in the domain of $f$.][Esto es $f(4)$ ya que $4$ es en dominio de $f$.]#
2. #[If][Si]# $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ #[then the form of $f(x)$ as $x \to 2$ is][entonces la forma de $f(x)$ cuando $x \to 2$ es]# $\dfrac{1}{2-2} = \dfrac{1}{0}$.	#[This form is not a real number.][Esta forma no es un número real.]#
3. #[If][Si]# $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ #[then the form of $f(x)$ as $x \to 2^{+}$ is][entonces la forma de $f(x)$ cuando $x \to 2^{+}$ es]# $\dfrac{1}{2^{+}-2} = \dfrac{1}{0^{+}}$.	#[The + superscripts remind us that, as $x$ approaches 2 from the right, then the denominator is positive as it approaches 0.][Los + super�ndices nos recuerdan que, cuando $x$ se aproxima a 2 desde la derecha, el denominador es positivo cuando se acerca a 0.]#
4. #[If][Si]# $f(x) = x^2-x+2$ #[then the form of $f(x)$ as $x \to +\infty$ is][entonces la forma de $f(x)$ cuando $x \to +\infty$ es]# $\infty^2-\infty+2$.	#[Again, this form is not a real number.][Una vez más, esta forma no es un número real.]#
5. If $f(x) = \dfrac{x^3-8}{x-2}$ #[then the form of $f(x)$ as $x \to 2$ is][entonces la forma de $f(x)$ cuando $x \to 2$ es]# $\dfrac{8-8}{2-2} = \dfrac{0}{0}$.	#[Again, this form is not a real number.][Una vez más, esta forma no es un número real.]#

#[The form of $f$ at $a$ is called determinate if $\lim_{x \to a}f(x)$ either exists or diverges to $\pm\infty$. Otherwise, it is indeterminate.][La forma de $f$ en $a$ se llama determinada si $\lim_{x \to a}f(x)$ o existe o diverge a $\pm \infty$. De lo contrario, es indeterminads.]# #[Intuitively, the determinate forms correspond to limits we can determine, whereas the limits corresponding to indeterminate forms either do not exist or cannot be determined without further manipulation of the function.][Intuitivamente, las formas determinadas corresponden a límites que podemos determinar, mientras que los límites correspondientes a formas indeterminadas no existen o no pueden determinarse sin una manipulación adicional de la función.]#

#[Theorem on forms][Teorema sobre formas]#

#[The following are determinate forms for any nonzero number $k$:][Las siguientes son formas determinadas para cualquier número distinto de $k$:]#

(1) $\displaystyle k \pm \infty = \pm \infty$	$k \pm \text{Big} = \pm \text{Big}$
(2) $\displaystyle \infty +\infty = \infty$ $\displaystyle \quad -\infty -\infty = -\infty$	$\text{Big} + \text{Big} = \text{Big}$
(3) $\displaystyle k(\pm \infty) = \pm \infty$	$k \times \text{Big} = \text{Big}$
(4) $\displaystyle (\pm \infty)(\pm \infty) = (\pm \infty)$	Big × Big = Big. #[(The sign depends on the signs of the factors in the usual way.)][(El signo depende de los signos de los factores de la manera habitual.)]#
(5) $\displaystyle \pm \frac{\infty}{k} = \pm \infty$	$\dfrac{\text{Big}}{k} = \text{Big}$*
(6) $\displaystyle \pm \frac{k}{\infty} = 0,$	$\dfrac{k}{\text{Big}} = \text{Small}$
(7) $\displaystyle \frac{k}{0^{\pm }} = \pm \infty$	$\dfrac{k}{\text{Small}} = \text{Big}$

#[and, if $k \gt 1$, then][y, si $k \gt 1$, entonces]#

(8) $\displaystyle k^{+\infty} = +\infty$	$k^{\text{Big positive}} = \text{Big}$
(9) $\displaystyle k^{-\infty} = 0$	$k^{\text{Big negative}} = \text{Small}$* #[The sign gets switched in these forms if $k$ is negative.][El signo se cambia en estas formas si $k$ es negativo.]#

#[Examples][Ejemplos]#

1. #[To calculate][Para calcular]# $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(3x+1)$ #[consider the resulting form:][considera la forma resultante:]# $\displaystyle 3(+\infty)+1$ ${}=+\infty + 1\qquad$ #[By][Por]# (3) ${}=+\infty\qquad$ #[By][Por]# (1) #[Thus][Por lo tanto]#, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(3x+1) = +\infty$.

2. #[To calculate][Para calcular]# $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{2x^2-2x+1}{12}$ #[consider the resulting form:][considera la forma resultante:]# $\displaystyle \frac{2(-\infty)^2-2(-\infty)+1}{12}$ $\displaystyle {}=\frac{2(+\infty)-2(-\infty)+1}{12}\qquad$ #[By][Por]# (3) $\displaystyle {}=\frac{+\infty + \infty+1}{12}\qquad$ #[By][Por]# (2) $\displaystyle {}=\frac{+\infty}{12}\qquad$ #[By][Por]# (1) #[and][y]# (2) $\displaystyle {}=+\infty\qquad$ #[By][Por]# (5) #[Thus][Por lo tanto]#, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2-2x+1}{12} = +\infty$.

3. #[To calculate][Para calcular]# $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{12}{2x^2+2x+1}$ #[consider the resulting form:][considera la forma resultante:]# $\displaystyle \frac{12}{2(+\infty)^2+2(+\infty)+1}$ $\displaystyle {}=\frac{12}{2(+\infty)+2(+\infty)+1}\qquad$ #[By][Por]# (3) $\displaystyle {}=\frac{12}{+\infty + \infty+1}\qquad$ #[By][Por]# (2) $\displaystyle {}=\frac{12}{+\infty}\qquad$ #[By][Por]# (1) #[and][y]# (2) $\displaystyle {}=0\qquad$ #[By][Por]# (6) #[Thus][Por lo tanto]#, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{12}{2x^2+2x+1} = 0$.

4. #[To calculate][Para calcular]# $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{3x^2-2}{2x^2+1}$ #[consider the resulting form][considera la forma resultante]# $\displaystyle \frac{3(-\infty)^2-2}{2(-\infty)^2+1}$. #[A quick calculation shows that this leads to the indeterminate form $\frac{\infty}{\infty}$ so we cannot evaluate the limits directly this way, but we can instead manipulate the riginal function by dividing top and bottom by $x^2$ (the highest power of $x$ that occurs):][Un cálculo rápido muestra que esto lleva a la forma indeterminada $\frac{\infty}{\infty}$ por lo que no podemos calcular el límite directamente de esta manera, pero podemos en cambio manipular la función original por dividir arriba y abajo por $x^2$ (la poentica más alta de $x$ que ocurre):]# $\displaystyle \frac{3x^2-2}{2x^2+1}$ $\displaystyle {}=\frac{\left(\frac{1}{x^2}\right)\left(3x^2-2\right)}{\left(\frac{1}{x^2}\right)\left(2x^2+1\right)}\qquad$ $\displaystyle {}=\frac{\left(3 - \frac{2}{x^2}\right)}{\left(2 + \frac{1}{x^2}\right)}\qquad$ #[The resulting form is][La forma resultante es]# $\displaystyle \frac{\left(3 - \frac{2}{+\infty}\right)}{\left(2 + \frac{1}{+\infty}\right)} = \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}$. #[Thus][Por lo tanto]#, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{3x^2-2}{2x^2+1} = \frac{3}{2}$.