Tutorial: Razón promedio de cambio
Versión juego adaptivo
#[I don't like this new tutorial. Take me back to the old tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]#
#[Average rate of change numerically and graphically][Razón de cambio promedio numéricamente y gráficamente]#
En el %%slopetut vimos que las unidades de medida de la pendiente de una recta $y = mx+b$ son unidades de $y$ por unidad de $x$, y en el %%applslopetut vimos cómo interpretar esto realidad en varias aplicaciones: La pendiente mide la velocidad a la que cambia el valor de una función lineal.
Para una función no lineal, también podemos calcular tasas de cambio imitando el cálculo de la pendiente:
Cambio y razón promedio de cambio de una función
El cambio en $f(x)$ durante el intervalo $[a, b]$ es
Cambio en $f$ \t ${}= \Delta f$
\\ \t ${}={}$ Second value $-$ First value
\\ \t ${}=f(b) - f(a)$.
La razón promedio de cambio de $f(x)$ durante el intervalo $[a, b]$ es
Razón promedio de cambio de $f$
\t $\displaystyle {}= \frac{\text{Change in }f}{\text{Change in }x}$
\\ \t $\displaystyle {}= \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
\\ \t $\displaystyle {}={}$ Pendiente de la recta que pasa $P$ and $Q$ (see the figure). Unidades de medida Como con las pendientes, medimos la razón de cambio promedio de $f(x)$ en unidades de $f$ por unidad de $x$.
%%Examples
1. Si $(3) = -1$ zonares* y $f(5) = 0.5$ zonars, y si $x$ se mide en años, entonces la razón de cambio promedio de $f(x)$ durante el intervalo $[3, 5]$ es
2. La siguiente tabla muestra la distancia $s$ de un tren de carga a lo largo de una vía férrea en varios momentos $t$:
La razón de cambio promedio de $s$ durante los intervalos $[0.2]$ y $[2,4]$ se dan por
En el %%applslopetut, pendientes como estas se reconocieron como velocidad. Si $s$ hubiera sido una función lineal de $t$, entonces las dos velocidades que calculamos habrían sido iguales. Aquí, sin embargo, son diferentes, y las llamamos velocidades medias; el tren ha pasado de una velocidad media de 150 km/h en las dos primeras horas a 160 km/h en las dos siguientes horas.
Uno para ti
1. Si $(3) = -1$ zonares* y $f(5) = 0.5$ zonars, y si $x$ se mide en años, entonces la razón de cambio promedio de $f(x)$ durante el intervalo $[3, 5]$ es
Razón promedio de cambio de $f$ durante $[3, 5]$
\t $\displaystyle {}= \frac{f(5) - f(3)}{5 - 3}$
\\ \t $\displaystyle {}= \frac{0.5 - (-1)}{2} = 0.75$ #[zonars per year][zonares por año]#
*El zonar, como todos debemos saber, es la unidad de moneda marciana.
2. La siguiente tabla muestra la distancia $s$ de un tren de carga a lo largo de una vía férrea en varios momentos $t$:
Razón promedio de cambio durante $[0,2]$
\t $\displaystyle {}= \frac{s(2) - s(0)}{2 - 0}$
\\ \t $\displaystyle {}= \frac{320 - 20}{2} = 150$ km/h
\\ Razón promedio de cambio durante $[2,4]$
\t $\displaystyle {}= \frac{s(4) - s(2)}{4 - 2}$
\\ \t $\displaystyle {}= \frac{640 - 320}{2} = 160$ km/h
Razón promedio de cambio gráficamente
Vimos arriba que la razón de cambio promedio de $f$ sobre $[a, b]$ es la pendiente de la línea a través de los puntos en la gráfica de $f$ donde $x = a$ y $x = b$, y así podemos calcular esta tasa a partir de una gráfica.
Uno para ti
Razón de cambio promedio numéricamente y algebraicamente
#[The formula][la fórmula]#
Razón promedio de cambio de $f$
\t $\displaystyle {}= \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
Razones de cambio promedio en intervalos cada vez más pequeños
En preparación para la siguiente sección, vamos a observar la razón de cambio promedio de una función en intervalos cada vez más pequeños y buscar algún tipo de patrón o tendencia en las respuestas.
%%Q Piensa en cómo debemos interpretar este "valor límite".
Ahora prueba los ejercicios en a Sección 3.4 del libro Cálculo aplicado o la Sección 10.4 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
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