Tutorial: La derivada: enfoque algebraico

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Cálculo de la derivada en un punto algebraicamente

%%Q Hasta ahora, todo lo que hemos estado haciendo es aproximar la derivada de una función usando enfoques numéricos y gráficos. ¿Hay alguna manera de calcularla exactamente?
%%A Cuando la función se especifica algebraicamente, podemos calcular el valor exacto de la derivada usando un enfoque algebraico, que mostramos aquí.

El enfoque algebraico es bastante sencillo: en lugar de restar números para estimar la razón promedio de cambio en intervalos cada vez más pequeños, restamos expresiones algebraicas usando la definición de la derivada en un punto $x = a$ en términos del cociente de diferencia

La derivada es el límite del cociente de diferencias.

Vamos a hacer el cálculo a través de un ejemplo:

El cálculo anterior da $f'(x)$ en #[a particular value of $x$][un valor particular de $x$]# #[for the function given. ][para la dada función. ]# Sin embargo, no hay nada especial en este valor de $x$. Vimos en el %%prevsectutc cómo pensar en la derivada $f'$ como una función: la función derivada:

$\displaystyle f'(x)$ \t $\displaystyle {}= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \qquad$ \t La función $f'$ asigna a cada $x$ el valor $f'(x)$ de la derivada de $f$ en $x$. \\ \t !2! ${}={}$Pendiente de la recta tangente en el punto $(x, f(x))$ de ls gráfica, como se ilustra aqui:

Lo que hemos calculado anteriormente es el valor de la función derivada $f'$ en un $x$ particular. Pero también podemos usar la misma técnica para darnos una fórmula para $f'(x)$ por calcularla en un $x$ general:

Una aplicación: Calcúla de la velocidad exacta

Vimos en el %%prevsectut que, si $f$ es una función del tiempo $t$ (como, por ejemplo, la altura de un vehículo de lanzamiento) entonces su derivada $f'$ do la velocidad de $f$ (por ejemplo, la velocidad del vehículo de lanzamiento).

Calcúlo de la derivada de una función racional

Ahora repitamos el método anterior con una función que no sea cuadrática.

Un caso especial: Derivada de |x|

Veamos una función muy especial: $f(x) = |x|$, cuya gráfica se muestra a continuación.

Su derivada es

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|x + h| - |x|}{h} $. Ahora usamos un truco: multiplica la parte superior e inferior por el "conjugado": $|x + h| + |x|$, del numerador:

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(|x + h| - |x|)(|x+h| + |x|)}{h(|x+h| + |x|)} $ \\ $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{|x + h|^2 - |x|^2}{h(|x+h| + |x|)} \quad $ \t $\displaystyle (a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ \\ $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h(|x+h| + |x|)} \quad $ \t $|a|^2 = a^2$ #[for every real number $a$.][para cada número real $a$.]# \\ $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2- x^2}{h(|x+h| + |x|)}$ \\ $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h(|x+h| + |x|)}\quad $ \t Simplifica. \\ $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h(|x+h| + |x|)}\quad $ \t Factoriza los $h$. \\ $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2x + h}{|x+h| + |x|}\quad $ \t Cancela los $h$. \\ $\displaystyle = \frac{2x}{|x| + |x|}\quad $ \t Toma el límite; $h = 0$ ahora está en el dominio siempre que $x \ne 0$.* \\ $\displaystyle = \frac{2x}{2|x|} = \frac{x}{|x|}\quad $,

* Si $x = 0$, la expresión anterior es $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2(0) + h}{|0+h| + |0|} = \lim_{h \to 0}\frac{h}{|h|}$, que no existe.

y ¡hemos hallado una fórmula para la derivada de $|x|$!

%%If $f(x) = |x|$, %%then $f'(x) = \dfrac{x}{|x|}\qquad$. \t Esto es también lo mismo que $\dfrac{|x|}{x}$, (multiplica arriba y abajo por $|x|$ para ver por qué) y puedes usar la formulación que prefieras.

%%Note

Cuando $x$ es positiva, $|x| = x$, así $f'(x) = \dfrac{x}{x} = 1$, consistente con el hecho de que el lado derecho de la gráfica anterior tiene una pendiente 1.
Cuando $x$ es negativa, $|x| = -x$, por lo que $f'(x) = \dfrac{x}{-x} = -1$, consistente con el hecho de que el lado izquierdo de la gráfica anterior tiene una pendiente $-1$.
Cuando $x = 0$, $\dfrac{x}{|x|}$ no está definido, y como vimos anteriormente, el límite que define el derivado no existe, lo que significa que $f'(0)$ no existe.

Ahora prueba los ejercicios en a Sección 3.6 del libro Cálculo aplicado o la Sección 10.6 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.

$\dfrac{\color{blue}{f(x+h)}-\color{red}{f(x)}}{h}$	${}=\dfrac{\color{blue}{-3(x+h)^2+6(x+h)+3}- (\color{red}{-3x^2+6x+3})}{h}$
	${}=\dfrac{-3(x^2+2xh+h^2)+6(x+h)+3- (-3x^2+6x+3)}{h}$
	${}=\dfrac{-3x^2-6hx-3h^2+6x+6h+3-(-3x^2+6x+3)}{h}\qquad$	#[Expand][Desarrollar]#
	${}=\dfrac{-6hx-3h^2+6h}{h}$	#[Cancel terms][Cancela términos]#
	${}=\dfrac{h(-6x-3h+6)}{h}$	#[Factor $h$][Factoriza $h$]#
	${}=-6x-3h+6$	#[Cancel $h$][Cancela $h$]#