Tutorial: Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
Versión juego adaptivo
Este tutorial: Parte B: Derivadas de funciones exponenciales
(Se puede encontrar este tema en a Sección 4.5 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.5 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
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#[Derivative of][Derivada de]# ex #[and][y]# bx
Las derivadas de $e^x$ y $b^x$ se dan por las siguientes fórmulas
Derivada de $e^x$
%%Q ¿De dónde vienen estas fórmulas?
$\dfrac{d}{dx}(e^x) = e^x$ \gap[20] \t Sí, ¡la derivada de $e^x$ es ella misma!
Derivada de $b^x$
$\dfrac{d}{dx}(b^x) = b^x \ln b$ \gap[1] \t Cuando $b = e$, entonces esto concuerda con (1); vea abajo.
#[Note][Nota]# Cuando $b = e$ en la fórmula (2), entonces $\ln b = \ln e = 1$, por lo que (2) da la misma fórmula que (1)
%%Examples
1. $\dfrac{d}{dx}(5^x) = 5^x\ln\,5$ \gap[5] \t
Algunos para ti
#[Formula][Fórmula]# 2
\\ 2. $\dfrac{d}{dx}(5e^x) = 5e^x$ \gap[5] \t Derivda de una constante por una función
\\ 3. $\dfrac{d}{dx}\left[-4(20^x)\right] = -4(20^x)\ln\,20$ \gap[5] \t Derivada de una constante por una función
\\ 4. $\dfrac{d}{dx}\left(x^2e^x\right) = 2xe^x + x^2e^x$ \gap[5] \t Regla del producto
\\ $\qquad {}= e^x(2x+x^2)$
%%A Para derivaciones de estas formulas, se puede consultar a Sección 4.5 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.5 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
Derivadas de exponentiales de funciones
Ahora sabemos cómo diferenciar expresiones que contienen $b^x$ con cualquier base $b$. ¿Qué pasa con $b$ elevada a potencias de cantidades más complicadas, por ejemplo $2^{x^2-3x+2}$? Para cosas como esta, necesitamos usar la regla de la cadena (ver %%chainruletut):
Diferenciar exponenciales de funciones
\\ \t
La derivada $e$ elevada a una cantidad $e$ elevada a la cantidad, por la derivada de la cantidad.
\\
\t La derivada de b elevada a una cantidad es al producto de b elevada a la cantidad y ln b, por la derivada de la cantidad.
\\
%%Examples
5. $\dfrac{d}{dx}\left[e^{\color{blue}{x^2+x}}\right] = e^{\color{blue}{x^2+x}}\dfrac{d}{dx}[\color{blue}{x^2+x}]$ \t ${}= (2x+1)e^{x^2+2}$
\\ 6. $\dfrac{d}{dx}\left[3^{\color{blue}{x^2+x}}\right] = \left(3^{\color{blue}{x^2+x}}\ln 3\right)\dfrac{d}{dx}[\color{blue}{x^2+x}]$ \t ${}= (2x+1)3^{x^2+2}\ln 3$
Algunos para ti
Ahora prueba los ejercicios en a Sección 4.5 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.5 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
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