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Tutorial: Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

Versión juego

Este tutorial: Parte A: Derivadas de funciones logarímicas
Ir a Parte B: Derivadas de funciones exponenciales
(Se puede encontrar este tema en a Sección 4.5 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.5 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

#[I don't like this new tutorial. Take me back to the old tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]#

Adaptive game tutorial
  • Este tutorial juego adaptativo te ayudará a dominar este tema de una manera que se adapte a tu capacidad mientras practicas las preguntas.
  • Si esta es la primera vez que estudias la materia, puedes encontrar que requieres más ayuda, y como resultado tus resultados del juego podrían terminar más bajo, o incluso puedes "morir". ¡No te desanimes! Simplemente pulsa "Juego nuevo" para jugar el juego tantas veces como sea necesario con el fin de requerir menos ayuda y mejorar tus resultados.
  • También puedes probar la versión no-juego (vínculo de al lado), que no te da resultados, no es al azar o de adaptación y te da todas las respuestas, pero no te dará práctica adicional al nivel que necesitarías.
  • Para completar este juego tienes que responder a todas las preguntas correctamente; se te permite hacer varios intentos para ciertas preguntas.
  • Las preguntas son al azar: Puedes esperar a ver un montón de diferencias cada vez que cargas la página.
  • Pulsa "Puntos" en cualquier momento para mostrar los resultados que tienes actualmente.
  • El juego es automaticamente guardado. Reiniciar el juego en tu computaroda con el mismo navigador lanzará el juego guardado.
  • Pulsa "Nuevo juego" para desechar el juego guardado y empezar un juego nuevo.
  • Precaución: ¡Hacer clic en las pequeñas imágenes que aparecen de vez en cuando a la izquierda puede tener consecuencias inesperadas! Es posible que desees experimentar con ellos; ¡esto es un juego, después de todo!
#[Derivative of][Derivada de]# ln x #[and][y]# logbx

Las derivadas de $\ln x$ y $\log_b x$ se dan por las siguientes fórmulas
Derivada del logaritmo natural
$\dfrac{d}{dx}(\ln x) = \dfrac{1}{x}$ \gap[20]

Derivada del logaritmo co base $b$
$\dfrac{d}{dx}(\log_bx) = \dfrac{1}{x\ln b}$ \gap[5] \t #[When $b = e$, this agrees with (1); see below.][Cuando $b = e$, entonces esto concuerda con (1); vea abajo.]#
#[Note][Nota]# Cuando $b = e$ en la fórmula (2), entonces $\ln b = \ln e = 1$, por lo que (2) da la misma fórmula que (1)

%%Examples
1. $\dfrac{d}{dx}(\log_5x) = \dfrac{1}{x\ln\,5}$ \gap[5] \t
#[Formula][Fórmula]# 2
\\ 2. $\dfrac{d}{dx}(5\,\ln x) = 5\cdot\dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{x}$ \gap[5] \t Derivda de una constante por una función \\ 3. $\dfrac{d}{dx}(-4\,\log_{20} x) = -4\cdot\dfrac{1}{x\ln\,20}$ \gap[5] \t Derivada de una constante por una función \\ $\qquad {}= -\dfrac{4}{x\ln\,20}$ \\ 4. $\dfrac{d}{dx}\left(x^2\,\ln x\right) = 2x\,\ln x+ x^2\dfrac{1}{x}$ \gap[5] \t Regla del producto \\ $\qquad {}= 2x\,\ln x+x$

Algunos para ti

%%Q ¿De dónde vienen estas fórmulas?
%%A Para derivaciones de estas formulas, se puede consultar a Sección 4.5 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.5 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
Derivadas de logaritmos de funciones
Ahora sabemos cómo diferenciar expresiones que contienen el logaritmo de $x$ con cualquier base. ¿Qué pasa con el logaritmo de cantidades más complicadas, por ejemplo $\ln(x^2-3x+2)$? Para cosas como esta, necesitamos usar la regla de la cadena (ver %%chainruletut):
Diferenciar logaritmos de funciones
\\ \t
La derivada del logaritmo natural de una cantidad es 1 sobre la cantidad, por la derivada de la cantidad.
\\ \t
La derivada del logaritmo con base b de una cantidad es 1 sobre el producto de la cantidad y ln b, por la derivada de la cantidad.
\\  
%%Examples
5. $\dfrac{d}{dx}\ln (\color{blue}{x^2+x}) = \dfrac{1}{\color{blue}{x^2+x}}\dfrac{d}{dx}[\color{blue}{x^2+x}]$ \t ${}= \dfrac{2x+1}{x^2+2}$
\\ 6. $\dfrac{d}{dx}\log_3 (\color{blue}{x^2+x}) = \dfrac{1}{(\color{blue}{x^2+x})\ln 3}\dfrac{d}{dx}[\color{blue}{x^2+x}]$ \t ${}= \dfrac{2x+1}{(x^2+2)\ln 3}$

Algunos para ti
Logaritmos de valores absolutos
Ocurre algo curioso cuando tomamos la derivada del logaritmo del valor absoluto de $x$:
$\dfrac{d}{dx} \ln \big|x\big|$ \t ${}=\dfrac{1}{\big|x\big|} \dfrac{d}{dx}\big|x\big|$ \t #[Chain rule][Regla de la cadena]# \\ \t ${}=\dfrac{1}{\big|x\big|} \dfrac{\big|x\big|}{x}$ \t #[The derivative of $\big|x\big|$ is $\frac{\big|x\big|}{x}$.][La derivada de $\big|x\big|$ es $\frac{\big|x\big|}{x}$.]# \\ \t ${}= \dfrac{1}{x}$ \t Exactamente la misma que la derivada de $\ln x $!
En otras palabras, reemplazar $x$ por el valor absoluto de $x$ no tiene ningún efecto en la derivada del logaritmo natural. De manera similar, no tiene ningún efecto sobre la derivada del logaritmo de $x$ a ninguna base o, usando la regla de la cadena, sobre el logaritmo de cualquier cantidad.
Derivadas de logaritmos de valores absolutos
Al tomar la derivada del logaritmo de un valor absoluto, simplemente finge que los signos de valor absoluto son solo paréntesis, por lo que el resultado no tiene ningunos signos del valor absoluto:
\t
La derivada del logaritmo natural del valor absoluto de una cantidad es 1 sobre la cantidad, por la derivada de la cantidad.
\\ \t
La derivada del logaritmo con base b del valor absoluto de una cantidad es 1 sobre el producto de la cantidad y ln b, por la derivada de la cantidad.
\\  
%%Examples
7. $\dfrac{d}{dx}(\log_5\big|x\big|) = \dfrac{1}{x\ln\,5}$ \gap[5] \t
#[Compare Example][Comparar el ejemplo]# 1 #[above.][arriba.]#
\\ 8. $\dfrac{d}{dx}(5\,\ln \big|x\big|) = 5\cdot\dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{x}$ \gap[5] \t #[Compare Example][Comparar el ejemplo]# 2 #[above.][arriba.]# \\ 9. $\dfrac{d}{dx}\left(x^2\,\ln \big|x\big|\right) = 2x\,\ln x+ x^2\dfrac{1}{x}$ \gap[5] \t Comparar el ejemplo 4 arriba. \\ $\qquad {}= 2x\,\ln x+x$ \\ 10. $\dfrac{d}{dx}\ln \big|\color{blue}{x^2+x}\big| = \dfrac{1}{\color{blue}{x^2+x}}\dfrac{d}{dx}[\color{blue}{x^2+x}]$ \gap[5] \t Comparar el ejemplo 5 arriba. \\ $\qquad {}= \dfrac{2x+1}{x^2+2}$ \\ 11. $\dfrac{d}{dx}\log_3 \big|\color{blue}{x^2+x}\big| = \dfrac{1}{(\color{blue}{x^2+x})\ln 3}\dfrac{d}{dx}[\color{blue}{x^2+x}]$ \gap[5] \t Comparar el ejemplo 6 arriba. \\ $\qquad {}= \dfrac{2x+1}{(x^2+2)\ln 3}$ \\ 12. $\dfrac{d}{dx}\ln \big|3x+1\big|^5 = \dfrac{d}{dx}5\ln \big|3x+1\big|$ \gap[5] \t Propiedades de logaritmos \\ $\qquad {}= 5\dfrac{1}{3x+1}\cdot 3 = \dfrac{15}{3x+1}$ \t Comparar el ejemplo 10 arriba.

Algunos para ti

Ahora prueba los ejercicios en a Sección 4.5 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.5 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
Última actualización: febrero 2022
Derechos de autor © 2022
Stefan Waner y Steven R. Costenoble

 

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