Tutorial: Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
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Este tutorial: Parte A: Derivadas de funciones logarímicas
(Se puede encontrar este tema en a Sección 4.5 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.5 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
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#[Derivative of][Derivada de]# ln x #[and][y]# logbx
Las derivadas de $\ln x$ y $\log_b x$ se dan por las siguientes fórmulas
Derivada del logaritmo natural
%%Q ¿De dónde vienen estas fórmulas?
$\dfrac{d}{dx}(\ln x) = \dfrac{1}{x}$ \gap[20]
Derivada del logaritmo co base $b$
$\dfrac{d}{dx}(\log_bx) = \dfrac{1}{x\ln b}$ \gap[5] \t #[When $b = e$, this agrees with (1); see below.][Cuando $b = e$, entonces esto concuerda con (1); vea abajo.]#
#[Note][Nota]# Cuando $b = e$ en la fórmula (2), entonces $\ln b = \ln e = 1$, por lo que (2) da la misma fórmula que (1)
%%Examples
1. $\dfrac{d}{dx}(\log_5x) = \dfrac{1}{x\ln\,5}$ \gap[5] \t
Algunos para ti
#[Formula][Fórmula]# 2
\\ 2. $\dfrac{d}{dx}(5\,\ln x) = 5\cdot\dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{x}$ \gap[5] \t Derivda de una constante por una función
\\ 3. $\dfrac{d}{dx}(-4\,\log_{20} x) = -4\cdot\dfrac{1}{x\ln\,20}$ \gap[5] \t Derivada de una constante por una función
\\ $\qquad {}= -\dfrac{4}{x\ln\,20}$
\\ 4. $\dfrac{d}{dx}\left(x^2\,\ln x\right) = 2x\,\ln x+ x^2\dfrac{1}{x}$ \gap[5] \t Regla del producto
\\ $\qquad {}= 2x\,\ln x+x$
%%A Para derivaciones de estas formulas, se puede consultar a Sección 4.5 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.5 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
Derivadas de logaritmos de funciones
Ahora sabemos cómo diferenciar expresiones que contienen el logaritmo de $x$ con cualquier base. ¿Qué pasa con el logaritmo de cantidades más complicadas, por ejemplo $\ln(x^2-3x+2)$? Para cosas como esta, necesitamos usar la regla de la cadena (ver %%chainruletut):
Diferenciar logaritmos de funciones
\\ \t
La derivada del logaritmo natural de una cantidad es 1 sobre la cantidad, por la derivada de la cantidad.
\\
\t La derivada del logaritmo con base b de una cantidad es 1 sobre el producto de la cantidad y ln b, por la derivada de la cantidad.
\\
%%Examples
5. $\dfrac{d}{dx}\ln (\color{blue}{x^2+x}) = \dfrac{1}{\color{blue}{x^2+x}}\dfrac{d}{dx}[\color{blue}{x^2+x}]$ \t ${}= \dfrac{2x+1}{x^2+2}$
\\ 6. $\dfrac{d}{dx}\log_3 (\color{blue}{x^2+x}) = \dfrac{1}{(\color{blue}{x^2+x})\ln 3}\dfrac{d}{dx}[\color{blue}{x^2+x}]$ \t ${}= \dfrac{2x+1}{(x^2+2)\ln 3}$
Algunos para ti
Logaritmos de valores absolutos
Ocurre algo curioso cuando tomamos la derivada del logaritmo del valor absoluto de $x$:
$\dfrac{d}{dx} \ln \big|x\big|$ \t ${}=\dfrac{1}{\big|x\big|} \dfrac{d}{dx}\big|x\big|$ \t #[Chain rule][Regla de la cadena]#
\\ \t ${}=\dfrac{1}{\big|x\big|} \dfrac{\big|x\big|}{x}$ \t #[The derivative of $\big|x\big|$ is $\frac{\big|x\big|}{x}$.][La derivada de $\big|x\big|$ es $\frac{\big|x\big|}{x}$.]#
\\ \t ${}= \dfrac{1}{x}$ \t Exactamente la misma que la derivada de $\ln x $!
En otras palabras, reemplazar $x$ por el valor absoluto de $x$ no tiene ningún efecto en la derivada del logaritmo natural. De manera similar, no tiene ningún efecto sobre la derivada del logaritmo de $x$ a ninguna base o, usando la regla de la cadena, sobre el logaritmo de cualquier cantidad.
Derivadas de logaritmos de valores absolutos
Al tomar la derivada del logaritmo de un valor absoluto, simplemente finge que los signos de valor absoluto son solo paréntesis, por lo que el resultado no tiene ningunos signos del valor absoluto:
Al tomar la derivada del logaritmo de un valor absoluto, simplemente finge que los signos de valor absoluto son solo paréntesis, por lo que el resultado no tiene ningunos signos del valor absoluto:
\t
La derivada del logaritmo natural del valor absoluto de una cantidad es 1 sobre la cantidad, por la derivada de la cantidad.
\\
\t La derivada del logaritmo con base b del valor absoluto de una cantidad es 1 sobre el producto de la cantidad y ln b, por la derivada de la cantidad.
\\
%%Examples
7. $\dfrac{d}{dx}(\log_5\big|x\big|) = \dfrac{1}{x\ln\,5}$ \gap[5] \t
Algunos para ti
#[Compare Example][Comparar el ejemplo]# 1 #[above.][arriba.]#
\\ 8. $\dfrac{d}{dx}(5\,\ln \big|x\big|) = 5\cdot\dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{x}$ \gap[5] \t #[Compare Example][Comparar el ejemplo]# 2 #[above.][arriba.]#
\\ 9. $\dfrac{d}{dx}\left(x^2\,\ln \big|x\big|\right) = 2x\,\ln x+ x^2\dfrac{1}{x}$ \gap[5] \t Comparar el ejemplo 4 arriba.
\\ $\qquad {}= 2x\,\ln x+x$
\\ 10. $\dfrac{d}{dx}\ln \big|\color{blue}{x^2+x}\big| = \dfrac{1}{\color{blue}{x^2+x}}\dfrac{d}{dx}[\color{blue}{x^2+x}]$ \gap[5] \t Comparar el ejemplo 5 arriba.
\\ $\qquad {}= \dfrac{2x+1}{x^2+2}$
\\ 11. $\dfrac{d}{dx}\log_3 \big|\color{blue}{x^2+x}\big| = \dfrac{1}{(\color{blue}{x^2+x})\ln 3}\dfrac{d}{dx}[\color{blue}{x^2+x}]$ \gap[5] \t Comparar el ejemplo 6 arriba.
\\ $\qquad {}= \dfrac{2x+1}{(x^2+2)\ln 3}$
\\ 12. $\dfrac{d}{dx}\ln \big|3x+1\big|^5 = \dfrac{d}{dx}5\ln \big|3x+1\big|$ \gap[5] \t Propiedades de logaritmos
\\ $\qquad {}= 5\dfrac{1}{3x+1}\cdot 3 = \dfrac{15}{3x+1}$ \t Comparar el ejemplo 10 arriba.
Ahora prueba los ejercicios en a Sección 4.5 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.5 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
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