Tutorial: Funciones y modelos exponenciales

#[I don't like this new tutorial. Take me back to the older tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo (solo en inglés)!]#

Recursos

Evaluador y gráficador de funciones

Gráficador Excel

Nota Para trabajar efectivamente con las funciones exponenciales, necesitamos entender los exponentes y también saber las leyes de los exponentes. si no estas cómodo con estos requisitos, visita el %%exponentstut.

Calentamiento: Repaso de las leyes de los exponentes

Las siguientes listas, tomadas del %%exponentstut, da las leyes de los exponentes que usaremos.
Usamos las siguientes reglas para combinar expresiones exponenciales con la misma base:

Los leyes de los exponentes para combinar expresiones con la misma base

#[Law][Ley]#

%%Examples

#[Comments][Comentarios]#

1. $a^ma^n = a^{m+n}$

$2^32^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$
$2^32^{-2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$
$(-9)^4(-9)^{-2} = (-9)^{4-2} = (-9)^2 = 81$
$x^3x^4 = x^{3+4} = x^7$
$x^{-4}x^3 = x^{-4+3} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$

Si las bases en un producto son iguales, suma los exponentes.
Si no son igulaes las bases, la regla no se aplica.
Para intender por qué se aplica esta regla en el caso de exponentes positivos, observa que

$a^na^m$	$= (a \cdot a\cdot a\ \cdots \ a)(a \cdot a\cdot a\ \cdots \ a)$
	$\qquad \quad n$ #[times][veces]# $\quad \ m$ #[times][veces]#
	$= a \cdot a\cdot a\ \cdots \ \cdots \ a$
	$\quad$ $n+m$ #[times][veces]#

#[The rule does not apply to sums: ][La regla no se aplica a sumas: ]#
$\qquad \quad a^m+a^n \neq (a+a)^n$

2. $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
(%%if $a \neq 0$)

$\dfrac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$
$\dfrac{x^3}{x^4} = x^{3-4} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$
$\dfrac{2^3}{2^{-2}} = 2^{3-(-2)} = 2^5 = 32$
$\dfrac{x^{-4}}{x^{-3}} = x^{-4-(-3)} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$
$\dfrac{1}{x^{-3}} = \dfrac{x^0}{x^{-3}} = x^{0-(-3)} = x^3$

Si las bases en una cociente son iguales, resta los exponentes.
Si no son igulaes las bases, la regla no se aplica.
Observa que esta regla sigue de cancelación en el caso de exponentes positivos.
La regla no se aplica a diferencias:
$\qquad a^m-a^n \neq a^{m-n}$

3. $\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}$
(%%if $a \neq 0$)

$\dfrac{1}{2^3} = 2^{-3}$
$5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$
$\dfrac{1}{5^{-2}} = 5^{-(-2)} = 5^2 = 25$

Regla 3 es en realidad un caso especial de la Regla 2:

$\dfrac{1}{a^n}$	$=\dfrac{a^0}{a^n}$	#[Meaning of zero exponent][Significado del exponente cero]#
	$=a^{0-n}$	#[Rule 2][Regla 2]#
	$=a^{-n}$

4. $(a^n)^m = a^{nm}\ $

$(2^3)^2 = 2^{3\times 2} = 2^{6} = 64$
$(x^3)^4 = x^{3 \times 4} = x^{12}$
$(2^{-3})^2 = 2^{(-3)\times2} = 2^{-6} = \dfrac{1}{64}$
$(x^{-3})^{-4} = x^{(-3)\times(-4)} = x^{12}$

#[Raising a power to a power corresponds to mutliplying the powers.][Elevar una potencia a una potencia corresponde a multiplicar las potencias.]#

Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me

A continuación, algunos para ti:

Los leyes de los exponentes para combinar expresiones con bases distintas

#[Rule][Regla]#

%%Examples

#[Comments][Comentarios]#

1. $(ab)^n = a^nb^n$

$(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \times 9 = 36$
$(2 \cdot 3)^{-2} = 2^{-2} \cdot 3^{-2} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{36}$
$(4(-3))^{2} = 4^2 \cdot (-3)^2 = 16 \times 9 = 144$
$(xy)^{-4} = x^{-4}y^{-4}$
$(-xy)^3 = (-x)^3(y)^3$

La $n$ª potencia de un producto es el producto de las $n$ª potencias.
Para intender por qué se aplica esta regla en el caso de exponentes positivos, observa que

$(ab)^n$=	$(ab \cdot ab \cdot ab \ \cdots \ ab )$
	$\qquad \quad n$ #[times][veces]#
=	$(a \cdot a\cdot a\ \cdots \ a)(b \cdot b\cdot b\ \cdots \ b)$
=	$a^nb^n$

#[The rule does not apply to sums: ][La regla no se aplica a sumas: ]#
$\qquad (a+b)^n \neq a^n + b^n$

2. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
(%if $b \neq 0$)

$\left(\dfrac{3}{2}\right)^4 = \dfrac{3^4}{2^4} = \dfrac{81}{16}$
$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{-2} = \dfrac{x^{-2}}{y^{-2}}$
$\left(\dfrac{1}{y}\right)^3 = \dfrac{1^3}{y^3} = \dfrac{1}{y^3}$
$\left(\dfrac{-2}{-3}\right)^2 = \dfrac{(-2)^2}{(-3)^2} = \dfrac{4}{9}$

La $n$ª potencia de un cociente es el cociente de las $n$ª potencias. Para intender por qué se aplica esta regla en el caso de exponentes positivos, observa que

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$=	$\left(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \ \cdots \ \dfrac{a}{b} \right)$
	$\qquad \quad n$ #[times][veces]#
=	$\dfrac{a \cdot a\cdot a\ \cdots \ a}{b \cdot b\cdot b\ \cdots \ b}$
=	$\dfrac{a^n}{b^n}$

La regla no se aplica a restas:
$\qquad (a-b)^n \neq a^n - b^n$

A continuación, algunos para ti:

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales se utilizan con frecuencia para modelar el crecimiento o la depreciación de las inversiones financieras, el crecimiento de la población, la desintegración radiactiva y los fenómenos en los que se permite que una cantidad experimente un crecimiento sin restricciones.

Función exponencial

Una función exponencial tiene la forma

$f(x) = Ab^x$ \gap[40] \t Forma de función \\ $y= Ab^x$ \gap[40] \t Forma de ecuación

donde $A$ y $b$ son constantes con $b$ positiva. Llamamos a $b$ la base de la función exponencial.

Fórmula tecnológica: A*b^x

Vídeo sugerido para este tema: Video por Ruben Sebastian
#[Note][Nota]# Los videos en-línea como esto cubren solo el caso especial $f(x) = b^x$; es decir, toman $A$ para ser $1$.

Ejemplos

\t $f(x) = 2^x$ \t $A = 1, b = 2$ \gap[20] \t Tecnológica: 2^x \\ \t $f(3) = 2^3 = 8$ \\ \t $f(0) = 2^0 = 1$ \\ \t $\displaystyle f(-4) = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$ \\ \\

\t $g(x) = 10(1.5^x)$ \t $A = 10, b = 1.5$ \gap[20] \t Tecnológica: 10*1.5^x \\ \t !2! $g(2) = 10(1.5^2) = 10(2.25) = 22.5$ \\ \t $\displaystyle g(-1) = 10(1.5^{-1}) = \frac{10}{1.5} = \frac{20}{3}$ \\ \\

\t $h(x) = 3(4^{-2x})$ \t Reescribe esto como $3(4^{-2})^x = 3\left(\dfrac{1}{16}\right)^x$ \gap[20] \t Tecnológica: 3*4^(-2x) \\ \t \t $A = 3, b = \dfrac{1}{16}$ \\

Funciones exponenciales: Puntos de vista numéricos y gráficos.

A continuación una tabla de valores para la función exponencial junta con su gráfica $f(x) = 5(2^x); \quad (A = 5, b = 2)$:

Papel de A y b
Observa que la intersección-$y$ es $A = 5$ (obtenido al poner $x = 0$). En general:

En la gráfica de $f(x) = Ab^x,$ $A$ es la intersección-$y$, o el valor de $y$ cuando $x = 0$.

En cuanto a $b$, observa que el valor de $y$ se multiplica por $b = 2$ por cada aumento de 1 unidad en $x$:

El valor de $y$ se multiplica por $b$ por cada incremento de $x$ de 1 unidad:

$\qquad$ #[Multiply by 2][Multiplica por 2]#.

Distinguir el cambio exponencial del cambio lineal

Vimos anteriormente que, en una representación tabular de una función exponencial $f(x) = Ab^x$, es valor de $f(x)$ se multiplica por $b$ por cada incremento de $x$ de 1 unidad. Por ejemplo, miramos la siguiente tabla para $f(x) = 5(2^x)$:

$\qquad$ #[Multiply by 2][Multiplica por 2]#.

#[By contrast, in a tabluar representation of a linear function $f(x) = mx + b$, the value of $f(x)$ is incremented by $m$ for every increase of 1 unit in $x$. For instance, a table of values for $g(x) = 2x + 5$ would look like this:][Por el contrario, en una representación tabular de una función lineal $f(x) = mx + b$, el valor de $f(x)$ se incrementa en $m$ por cada aumento de 1 unidad en $x$. Por ejemplo, una tabla de valores para $g(x) = 2x + 5 $ se ver�a as�]#

$\qquad$ #[Add 2][Suma 2]#.

Hallar funciones exponenciales a través de datos

Para modelar situaciones de la vida real con funciones exponenciales, como en el caso de las funciones lineales, todo lo que necesitamos son dos puntos de datos. El siguiente procedimiento muestra cómo hallar la ecuación necesaria.

La curva exponencial que pasa por dos puntos: Un ejemplo

Vamoss a hallar una ecuación de la curva exponencial $y = Ab^x$ por $(1, 10.4)$ and $(3, 41.6)$.
Paso 1 Sustituya las coordenadas de los dados puntos en la ecuación $y = Ab^x$:

$10.4 = Ab^1$ \t Sustituya $(1, 10.4)$. \\ $41.6 = Ab^3.\qquad$ \t Sustituya $(3, 41.6)$.

Paso 2 Divide la segunda ecuación por la primera para eliminar el constnate $A$ y despejar a $b$:

$\displaystyle \frac{41.6}{10.4} = \frac{Ab^3}{Ab}$ = $b^2$ \\ $\displaystyle b^2 = \frac{41.6}{10.4} = 4$ \\ $\displaystyle b = 4^{1/2} = 2$ \t Toma la potencia recíproca de ambos lados.

Paso 3 Sustituya $b$ en cualquiera de las ecuaciones para obtener $A$:

$10.4 = A(2^1) = 2A \qquad$ \t Sustituya $b = 2$ en la primera ecuación anterior: $10.4 = Ab^1$ \\ $\displaystyle A = \frac{10.4}{2} = 5.2$

#[Thus we have $A = 5,2$ and $b = 2$, so that our desired equation is][Por lo tanto, tenemos $A = 5.2$ y $b = 2$, de modo que nuestra ecuación deseada es]#

$y = 5.2(2^x). \qquad$ \t $y = Ab^x$

Vídeo sugerido para este tema: Video por Alex Sarria

Aplicaciones: Modelos exponenciales

Al comienzo de este tutorial, mencionamos que las funciones exponenciales se utilizan para modelar el crecimiento o la depreciación de las inversiones financieras, el crecimiento de la población y la desintegración radiactiva. Ahora veremos cómose hace esto.

Modelos de crecimiento exponencial y desintegración

Una cantidad $y = Ab^t$ que varía exponencialmente con el tiempo $t$ experimenta crecimiento exponencial si $b \gt 1$ y decaimiento exponencial si $b \lt 1$.

$y = Ae^{bt}; \ \ b \gt 1$
#[Exponential growth][Crecimiento exponencial]#

$y = Ae^{bt}; \ \ b \lt 1$
#[Exponential decay][Decaimiento exponencial]#

%%Examples

1. #[Compound interest][Interés compuesto]# (#[See the][Ve el]# %%modelstut.)
Si una cantiad (el valor presente) $P$ se invierte durante $t$ años a una tasa anual de interés $r$, y si se reinvierta (o compone) el interés $m$ veces por año, entonces el valor futuro $F$ es

$\displaystyle F=P\left(1+\frac{r}{m}\right)^{mt}$. Por ejemplo, si se invierten &D&2,000 por $t$ años a una tasa de interés del 6%, y el interés se reinvierte cada mes (entonces $m = 12$), entonces

$\displaystyle F=2{,}000\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{12t}=2{,}000(1.005)^{12t}$, que podemos reinscribir como una función exponencial de $t$:

$A = 2{,}000,\ b = 1.005^{12}.$

Ya que $b$ es mayor que 1, esto es un modelo de crecimiento exponencial.

2. La desintegración radiactiva y la datación por carbono. (#[Also see the][Ve también el]# %%modelstut.)

El carbono 14, un isótopo inestable de carbono, se descompone extremadamente lentamente en nitrógeno y se usa en la datación de fósiles. La cantidad de carbono 14 restante en una muestra que originalmente contenía $A$ gramos est�á dada por una función exponencial de tiempo $t$:

$C(t) = A(0.999879)^t \qquad$ Decaimiento exponencial; $b = 0.999879$

#[where $t$ is time in years.][donde $t$ es tiempo en años.]#

1. Después de 10,000 años, una muestra que originalmente conten�a 100 g de carbono 14 todavía contendrá

$C(10{,}000) = 100(0.999879)^{10{,}000} \approx 29.8$ g #[carbon][carbono]# 14.

2. Si, después de 10,000 años, se encuentra que la cantidad de carbono 14 en una muestra es de 50 g, ¿cuánto contenía originalmente?

Para calcular la cantidad original, sustituya la información dada en la fórmula:

$50 = A(0.999879)^{10{,}000}$ \\ $A = \dfrac{50}{0.999879^{10{,}000}} \approx 167.7$ g

3. Datación de una mustra: Si, después de 10,000 años, se encuentra que la cantidad de carbono 14 en una muestra es de 50 g, entonces, para calcular la cantidad original, sustituya la información dada en la fórmula:

#[Again, substitute the given information in the formula:][Otra vez, sustituya la información dada en la fórmula:]#

$50 = 100(0.999879)^{t}$ \\ $\dfrac{1}{2} = 0.999879^t$ \t #[Divide both sides by 100.][Divide ambos lados por 100.]# \\ $t = \log_{0.999879}\left(\frac{1}{2}\right)\approx 5728$ añs \gap[40] \t #[Rewrite in logarithmic form.][Reescribir en forma logarítmica.]#

Ahora prueba algunos de los ejercicios en la Sección 2.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.