Introducción a funciones y modelos exponenciales

Versión juego adaptivo

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(Se puede encontrar este tema en la Sección 2.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

#[I don't like this new tutorial. Take me back to the older tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo (solo en inglés)!]#

¿Qué es un tutorial juego adaptivo? ▶

Recursos

Evaluador y gráficador de funciones

Gráficador Excel

En el %%partAtut miramos las funciones exponenciales engeleral. Sin embargo, hay una famosa cantidad matemática llamada $e$ que se usa con frecuencia en la discusión de funciones exponenciales, y este tutorial se dedica a refundir gran parte del tutorial parte A usando $e$.

El número e

Supongamos que invertimos &D&1 en el banco durante 1 año al 100% de interés. Si el interés es compuesto (es decir, agregado a la cuenta) una vez por año, tendremos &D&2 al final del año.

Si se compone dos veces al año, luego de 6 meses tendremos medio año de interés agregado: $1 + \frac{1}{2}$, y luego la mitad de esta cantidad agregada al final del año:

$\displaystyle \left(1 + \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\right)$ \t $\displaystyle = \left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{2}\right)$ \gap[40] \t #[Factor out][Factorizar]# $\left(1 + \frac{1}{2}\right)$. \\ \t $\displaystyle =\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2$.

Si el interés se compone tres veces al año, un argumento similar mostrará que tendremos

$\displaystyle {}=\left(1 + \frac{1}{3}\right)^3$ dólares al final del año y si el interés se compone $m$ vecespor año, tendremos

Esta es la fórmula de interés compuesto para una tasa de interés del 100%.

#[Compounding more times a year increases the value of $m$. For very large values of $m$, something seems to happen; try experimenting by entering larger and larger values of $m$ (positive whole numbers only, please!).][Componiendo más veces al año aumenta el valor de $m$. Para valores muy grandes de $m$, algo interesante parece suceder; intenta experimentar ingresando valores cada vez mayores de $m$ (solo núímeros enteros positivos, ¡por favor!).]# #[The number to which these quantities are approaching for larger and larger $m$ is Euler's number][El número al que se acercan estas cantidades para $m$ cada vez mayor es el número de Euler]#

$e = 2.71828182845904523536028747135266...$ #[Press the "Show /Hide e" button to see an extremely accurate approximation (to 10,000 decimal places!) of $e$.][Presiona el botón "Mostrar/Ocultar e" para ver una aproximación extremadamente precisa (¡a 10,000 lugares decimales!) De $ e $.]#

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981933432106817012100562788023519303322474501585390473041995777709350366041699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771943252786753985589448969709640975459185695638023637016211204774272283648961342251644507818244235294863637214174023889344124796357437026375529444833799801612549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828931505660472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489585867174798546677575732056812884592054133405392200011378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225661352783695117788386387443966253224985065499588623428189970773327617178392803494650143455889707194258639877275471096295374152111513683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600373562527944951582841882947876108526398139559900673764829224437528718462457803619298197139914756448826260390338144182326251509748279877799643730899703888677822713836057729788241256119071766394650706330452795466185509666618566470971134447401607046262156807174818778443714369882185596709591025968620023537185887485696522000503117343920732113908032936344797273559552773490717837934216370120500545132638354400018632399149070547977805669785335804896690629511943247309958765523681285904138324116072260299833053537087613893963917795745401613722361878936526053815584158718692553860616477983402543512843961294603529133259427949043372990857315802909586313826832914771163963370924003168945863606064584592512699465572483918656420975268508230754425459937691704197778008536273094171016343490769642372229435236612557250881477922315197477806056967253801718077636034624592787784658506560507808442115296975218908740196609066518035165017925046195013665854366327125496399085491442000145747608193022120660243300964127048943903971771951806990869986066365832322787093765022601492910115171776359446020232493002804018677239102880978666056511832600436885088171572386698422422010249505518816948032210025154264946398128736776589276881635983124778865201411741109136011649950766290779436460058519419985601626479076153210387275571269925182756879893027617611461625493564959037980458381823233686120162437365698467037858533052758333379399075216606923805336988795651372855938834998947074161815501253970646481719467083481972144888987906765037959036696724949925452790337296361626589760394985767413973594410237443297093554779826296145914429364514286171585873397467918975712119561873857836447584484235555810500256114923915188930994634284139360803830916628188115037152849670597416256282360921680751501777253874025642534708790891372917228286115159156837252416307722544063378759310598267609442032619242853170187817729602354130606721360460003896610936470951414171857770141806064436368154644400533160877831431744408119494229755993140118886833148328027065538330046932901157441475631399972217038046170928945790962716622607407187499753592127560844147378233032703301682371936480021732857349359475643341299430248502357322145978432826414216848787216733670106150942434569844018733128101079451272237378861260581656680537143961278887325273738903928905068653241380627960259303877276977837928684093253658807339884572187460210053114833513238500478271693762180049047955979592905916554705057775143081751126989851884087185640260353055837378324229241856256442550226721559802740126179719280471396006891638286652770097527670697770364392602243728418408832518487704726384403795301669054659374616193238403638931313643271376888410268112198912752230562567562547017250863497653672886059667527408686274079128565769963137897530346606166698042182677245605306607738996242183408598820718646826232150802882863597468396543588566855037731312965879758105012149162076567699506597153447634703208532156036748286083786568030730626576334697742956346437167093971930608769634953288468336130388294310408002968738691170666661468000151211434422560238744743252507693870777751932999421372772112588436087158348356269616619805725266122067975406210620806498829184543953015299820925030054982570433905535701686531205264956148572492573862069174036952135337325316663454665885972866594511364413703313936721185695539521084584072443238355860631068069649248512326326995146035960372972531983684233639046321367101161928217111502828016044880588023820319814930963695967358327420249882456849412738605664913525267060462344505492275811517093149218795927180019409688669868370373022004753143381810927080300172059355305207007060722339994639905713115870996357773590271962850611465148375262095653467132900259943976631145459026858989791158370934193704411551219201171648805669459381311838437656206278463104903462939500294583411648241149697583260118007316994373935069662957124102732391387417549230718624545432220395527352952402459038057445028922468862853365422138157221311632881120521464898051800920247193917105553901139433166815158288436876069611025051710073927623855533862725535388309606716446623709226468096712540618695021431762116681400975952814939072226011126811531083873176173232352636058381731510345957365382235349929358228368510078108846343499835184044517042701893819942434100905753762577675711180900881641833192019626234162881665213747173254777277834887743665188287521566857195063719365653903894493664217640031215278702223664636357555035655769488865495002708539236171055021311474137441061344455441921013361729962856948991933691847294785807291560885103967819594298331864807560836795514966364489655929481878517840387733262470519450504198477420141839477312028158868457072905440575106012852580565947030468363445926525521370080687520095934536073162261187281739280746230946853678231060979215993600199462379934342106878134973469592464697525062469586169091785739765951993929939955675427146549104568607020990126068187049841780791739240719459963230602547079017745275131868099822847308607665368668555164677029113368275631072233467261137054907953658345386371962358563126183871567741187385277229225947433737856955384562468010139057278710165129666367644518724656537304024436841408144887329578473484900030194778880204603246608428753518483649591950828883232065221281041904480472479492913422849519700226013104300624107179715027934332634079959605314460532304885289729176598760166678119379323724538572096075822771784833616135826128962261181294559274627671377944875867536575448614076119311259585126557597345730153336426307679854433857617153334623252705720053039882894990342595662329757824887350292591668258944568946559926584547626945287805165017206747854178879822768065366506419109734345288783386217261562695826544782056729877564263253215942944180399432170000905426507630955884658951717091476074371368933194690909819045012903070995662266203031826493657336984195557769637876249188528656866076005660256054457113372868402055744160308370523122425872234388541231794813885500756893811249353863186352870837998456926199817945233640874295911807474534195514203517261842008455091708456823682008977394558426792142734775608796442792027083121501564063413416171664480698154837644915739001212170415478725919989438253649505147713793991472052195290793961376211072384942906163576045962312535060685376514231153496656837151166042207963944666211632551577290709784731562782775987881364919512574833287937715714590910648416426783099497236744201758622694021594079244805412553604313179926967391575424192966073123937635421392306178767539587114361040894099660894714183406983629936753626215452472984642137528910798843813060955526227208375186298370667872244301957937937860721072542772890717328548743743557819665117166183308811291202452040486822000723440350254482028342541878846536025915064452716577000445210977355858976226554849416217149895323834216001140629507184904277892585527430352213968356790180764060421383073087744601708426882722611771808426643336517800021719034492342642662922614560043373838683355553434530042648184739892156270860956506293404052649432442614456659212912256488935696550091543064261342526684725949143142393988454324863274618428466559853323122104662598901417121034460842716166190012571958707932175696985440133976220967494541854071184464339469901626983516078489245140589409463952678073545797003070511636825194877011897640028276484141605872061841852971891540196882532893091496653457535714273184820163846448324990378860690080727093276731275819665639411489617168329804551397295066876047409154204284299935410258291135022416907694316685742425225090269390348148564513030699251995904363840284292674125734224477655841778861717372654620854982944989467873509295816526320722589923687684570178230380965678831122893058091405726108658848458731016581511675333276748870148291674197015125597825727074064318086014281490241467804723275976842696339357735429301867394397163886117642090040686633988568416810038723892144831760701166845038872123643670433140911557332801829779887365909166596124020217785588548761761619893707943800566633648843650891448055710397652146960276625835990519870423001794655367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%%Q: Eso es para &D&1 invertido por un año. ¿Qué sucede si invertimos un monto $\$P$ por $t$ años a una tasa de interés de $r$, compuesto continuamente, cuál será el monto acumulado $A$ al final de ese peráodo?
%%A: #[If you look at the %%compoundInteresttut you will find that the expression $\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m$, for &D&1 invested for one year at 100% interest compounded $m$ times a year comes from a more general formula: ][Si a el %%compoundInteresttut, encontrarás que la expresión $\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m$, para &D&1 invertido durante un año al 100% de interés compuesto $m$ veces por año proviene de una fórmula mas general:]#

#[Compound interest formula][Formula para interés compuesto]#
#[If an investment earns interest an annual interest rate of $r$ compounded $m$ times per year for $t$ years, then the value of the investment after $t$ years will be ][Si una inversión gana intereses a una tasa anual de $r$ pero se compone $m$ veces por año, entonces el valor de la inversión después de $t$ años será]#

$P\left(1+\frac{r}{m}\right)^{mt}\qquad$ \t #[Invest $P$ for $t$ years at $r$% compounded $m$ times per year.][Invertir $P$ para $t$ al $r$% compuesto $m$ veces por año.]#

#[We can use a little algebra rewrite this expression to show the the expression leading to $e$ more clearly:][Podemos usar un poco de álgebra para reescribir esta expresión para mostrar la expresión que conduce a $e$ mas claramente:]#

$P\left(1+\frac{r}{m}\right)^{mt}$ \t ${}= P\left(1+\frac{1}{m/r}\right)^{\frac{m}{r}.rt}$ \\ \t ${}=P\left(1+\frac{1}{M}\right)^{M.rt}$ \t #[Write $\frac{m}{r}$ as $M$.][Escribe $\frac{m}{r}$ como $M$.]# \\ \t ${}=P\left[\left(1+\frac{1}{M}\right)^{M}\right]^{rt}$ \t #[Law of exponents:][Ley de exponentes:]# $b^{Mq} = (b^M)^q$

#[So, as $m$ gets larger an larger, so does $M$, and the quantity in square brackets appraches $e$. We therefore have the following:][Así, a medida que $m$ crece cada vez más, también lo hace $M$, y la cantidad en corchetes se aproxima a $e$. Por lo tanto, tenemos lo siguiente:]#

El número e y la capitalización continua

El número e y la capitalización continua

#[The number $e$ is the limiting value of the quantities $\left(1 + \dfrac{1}{m}\right)^m$ as $m$ gets larger and larger and has the value 2.71828182845904523536….][El número $e$ es el valor límite de las cantidades $\left(1 + \dfrac{1}{m}\right)^m$ a medida que $m$ se hace cada vez más grande y tiene el valor 2,71828182845904523536….]#

#[If $\$P$ is invested at an annual interest rate $r$ compounded continuously, the accumulated amount after $t$ years is][Si $\$P$ se invierte a una tasa de interés anual $r$ compuesta continuamente, la cantidad acumulada después de $t$ años es]#

$A(t) = Pe^{rt}.\qquad$ P*e^(r*t) #[or][o]# P*EXP(r*t)

El logaritmo natural

El logaritmo con base $e$ se llama logaritmo natural y a menudo se escribe como $\ln$. Asá, por ejemplo, $\ln 4$ significa $\log_e 4$.

%%Examples

1. Si se invierte &D&500 a una tasa anual de 4% compuesta continuamente, entonces el valor de la inversián despuás de 15 años será

$A(15)^{ }$\t $= 500e^{(0.04)(15)}\qquad$\t 500*e^(0.04*15) %%or 500*EXP(0.04*15) \\ \t $\approx \$911.06$

2. Si se invierte &D&1 a una tasa anual de 100% compuesta continuamente, entonces el valor de la inversián despuás de $x$ años será

$A(x)= e^{x}$ #[dollars][dólares]#.

#[One for you][Uno para t]#

3. Cuanto tiempo invertir
Si inviertes &D&1,000 o un interás del 5% compuesto continuamente, ácuántos años tardará la inversián en llegar a un millán de dálares? Metiendo toda esta información en la fórmula nos da

$1{,}000{,}000 = 1{,}000e^{0.05t}\qquad$\t #[The unknown is $t$.][Lo desconocido es $t$.]# \\ $1{,}000 =e^{0.05t}\qquad$\t #[Divide both sides by 1,000.][Dividir ambos lados por 1,000.]# \\ $0.05t = \ln 1{,}000 \approx 6.90776$ \t #[Rewrite in logarithmic form.][Reescribir en forma logarítmica.]# \\ $t \approx \dfrac{6.90776}{0.05} \approx 138$ #[years][años]#

#[One for you][Uno para t]#

El número e y las funciones exponencialess

Si escribimos la fármula de composicián continua $A(t) = Pe^{rt}$ como $A(t) = P(e^r)^t$, vemos que $A(t)$ es una funcián exponencial de $t$, donde la base es $b = e^r$, por lo que realmente no hemos introducido un nuevo tipo de funcián. De hecho, cada función exponencial $f(t) = Ab^t$ se puede excribir de esta manera:

$Ab^t$ \t ${}= A(e^{\ln b})^t \qquad$ \t #[When you raise $e$ to $\log_e b$ you obtain $b$.][Cuando elevas $e$ al $\log_e b$ obtienes $b$.]# \t #[(See the logarithm identities in the %%logstut.)][(Ve los identidades logarítmicas en el %%logstut.)]# \\ \t ${}=Ae^{(\ln b)t}$, \t #[Laws of exponents][Leyes de los exponentes]#

#[which has the form][que tiene la forma]# $Ae^{rt}$, #[where][donde]# $r = \ln b$

Funciones exponenciales expresadas en tárminos de e

#[We can write any exponential function in the following form:][Podemos escribir cualquier función exponencial de la siguiente forma:]#

$f(x) = Ae^{rx}$,

#[where $A$ and $r$ are constants. If $r$ is positive, $f$ models exponential growth; if $r$ is negative, $f$ models exponential decay.][donde $A$ y $r$ son constantes. Si $r$ es positivo, $f$ modela un crecimiento exponencial; si $r$ es negativo, $f$ modela el decaimiento exponencial.]# #[If $r$ is positive, it is called the growth constant. If $r$ is negative, its absolute value is called the decay constant.][Si $r$ es positivo, se denomina constante de crecimiento. Si $r$ es negativo, su valor absoluto se denomina constante de desintegración.]#

%%Examples

1. $f(x)$ \t ${}= 100e^{0.15x}\qquad $ \t #[Exponential growth with growth constant 0.15.][Crecimeinto exponencial con constante de crecimiento 0.15]# \\ 2. $f(t) $ \t ${}=Ae^{-0.00012101t}\qquad$ \t #[Exponential decay of carbon 14 with decay constant $0.00012101$][Desintegración exponencial del carbono 14 con constante de desintegración $-0.00012101$]# \\ 3. $f(t) $ \t ${}=100e^{0.15t}= 100(e^{0.15})^t\qquad$ \\ \t ${}= 100(1.1618)^t$ \t #[Converting $Ae^{rt}$ to the form $Ab^t$][Convertiendo $Ae^{rt}$ a la forma $Ab^t$]#

Vida media y tiempo de duplicación

#[We have seen that in exponential functions $f(t)$, every increase of $t$ by the same fixed amount results in an increase of $f(t)$ by the same fixed multiple, so if $Q(t) = Q_0e^{kt}$ is an exponential growth functions and doubles after a certain time $t= t_d$, then it will continue to double for each subsequent inrcease of time by that same amount $t_d$. So, we call $t_d$ the doubling time..][Hemos visto que en funciones exponenciales $f(t) = Ab^t $, cada aumento de $t$ por la misma cantidad fija da como resultado un aumento de $f(t)$ por el mismo múltiplo fijo, entonces si $f(t)$ es una función de crecimiento exponencial y se duplica después de un cierto tiempo $t = t_d $, entonces continuará duplicándose para cada aumento subsiguiente de tiempo en la misma cantidad $t_d$. Entonces, llamamos $t_d$ el tiempo de duplicación .]#

#[To calculate the doubling time, we use the fact that $Q(t + t_d)$ must be twice $Q(t)$:][Para calcular el tiempo de duplicación, usamos el hecho que $Q(t + t_d)$ debe ser el doble de $Q(t)$:]#

\t $Q(t+t_d) = 2Q(t)$ \\ \t $Q_0e^{k(t+t_d)} = 2Q_0e^{kt}$ \\ \t $Q_0e^{kt}e^{kt_d} = 2Q_0e^{kt} \qquad $ \t #[Laws of exponents][Leyes de los exponentes]# \\ \t $e^{kt_d} = 2$ \t #[Cancel the][Cancela la]# $Q_0e^{kt}$. \\ \t $kt_d = \ln 2$ \t #[Logarithmic form][Forma logarítmico]# \\ \t $t_d = \dfrac{\ln 2}{k}$ \t #[Formula for doubling time][Formula para tiempo de duplicación]#

#[Similarly, if $Q(t)$ is exponential decay $Q(t) = Q_0e^{-kt}$, then there is a fixed half-life $t_h$, the time it takes for the quantity to halve in size. A similar calculationto that above shows that][De manera similar, si $Q(t)$ es un decaimiento exponencial $Q(t) = Q_0e^{-kt}$, entonces hay una vida media $t_h$ fija, el tiempo que tarda la cantidad a reducir a la mitad. Un cálculo similar al anterior muestra que]#

\\ \t $t_h = \dfrac{\ln 2}{k}$ \t #[Formula for half-life][Formula para tiempo medio]#

#[Multilying b $k$ gives the following.][Multiplicar por $k$ da el siguiente.]#

Vida media y tiempo de duplicacián

Para una cantidad que experimenta un crecimiento exponencial, $Q(t)=Q_0e^{kt}$, el valor de $Q$ se duplica cada $t_d$ unidades del tiempo donde #

$t_dk = \ln2$. \t \gap[40] Tiempo de duplicación × Constante de crecimiento = ln 2

Para una cantidad que experimenta un decaimiento exponencial, $Q(t)=Q_0e^{-kt}$, el valor de $Q$ se reduce a la mitad cada $t_h$ unidades del tiempo donde #

$t_hk = \ln2$. \t \gap[40] Vida media × Constante de desintegración = ln 2

Ahora prueba algunos de los ejercicios en la Sección 2.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.