Tutorial: Exponentes y radicales
Este tutorial: Parte A: Exponentes enteros
#[I don't like this new tutorial. Take me back to the older tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]#
Exponentes enteros positivos
"Elevar un número a una potencia entera positiva" significa multiplicar aquel número por si mismo ese número de veces. En general, un exponente se refiere a una potencia a la que se puede elevar un número. En la Parte A de este tutorial, nos centramos en los exponentes enteros, comenzando con los exponentes positivos enteros.
Exponentes enteros positivos
Si $a$ es un número real y $n$ es un número entero positivo, entonces $a^n$ quiere decir la cantidad $a \cdot a\cdot a\ \cdots \ a \qquad$ ($n$ veces). %%Therefore,
$a^1 = a$\\
$a^2 = a \cdot a$\\
$a^3 = a \cdot a \cdot a$\\
$a^4 = a \cdot a \cdot a \cdot a$\\
#[and so on.][y así sucesivamente.]# #[The number $a$ is called the base and the number $n$ is called the exponent.][El número $a$ se llama la base y el número $n$ se llama el exponente.]#
Vídeo sugerido para este tema: Video por Aprendópolis
Ejemplos
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$ \t Base $3,$ exponente $2$ \\
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ \t Base $2,$ exponente $3$\\
$0^{34} = 0 \cdot 0 \ \cdots \ 0 = 0$ \t $0$ elevada a cualquier potencia positiva es $0.$ \\
$1^{34} = 1 \cdot 1 \ \cdots \ 1 = 1$ \t $1$ elevada a cualquier potencia positiva es $1.$ \\
$(-1)^{3} = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$
¡Precaución! El significado de −xn
Un signo negativo en el comienzo de una expresión indica la multiplicación por $-1$. Así, $-x^n$ significa $(-1)x^n$ y se puede calcularla a través del orden estándar de operaciones; Primero toma la potencia y luego multiplica por $-1$. Por ejemplo,
Las hojas de cálculo y algunos lenguajes de programación interpretarión $-3^2$ (¡equivocadamente!) como $(-3)^2 = 9,$ así que estes atento cuando trabajas con hojas de cálculo, donde la debes escribir como $(-1)3^2$ para evitar que suceda eso.
$-3^2$ \t $= (-1)3^2$ \tab \t Significado del signo negativo en el comienzo de expresión
\\ \t $= (-1)9$ \tab \t Calcula la potencia primero.
\\ \t $= -9.$ \tab \t Multiplica por −1.
Las hojas de cálculo y algunos lenguajes de programación interpretarión $-3^2$ (¡equivocadamente!) como $(-3)^2 = 9,$ así que estes atento cuando trabajas con hojas de cálculo, donde la debes escribir como $(-1)3^2$ para evitar que suceda eso.
Algunos para ti
Exponentes negativos y cero
En matemáticas también le damos sentido a la noción de "elevar un número a una potencia negativa":
Exponentes negativos y cero
Si $a$ es un número real distinto de cero y $n$ es un número entero positivo, entonces definimos
#[A][R]#: Considera el siguiete ejemplo: Comienza con, digamos, $2^4$ y luego sucesivamente disminuye el exponente en 1 cada vez:
$a^0 = 1$ \t El ceroº poder de $a$ is $1.$ \\
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} = \dfrac{1}{a \cdot a\cdot a\ \cdots \ a} \qquad $ ($n$ #[times][veces]#).
#[Therefore][Por lo tanto]#,
$a^{-1} = \dfrac{1}{a}$\\
$a^{-2} = \dfrac{1}{a^2} = \dfrac{1}{a \cdot a}$\\
$a^{-3} = \dfrac{1}{a^3} = \dfrac{1}{a \cdot a \cdot a}$\\
$a^{-4} = \dfrac{1}{a^4} = \dfrac{1}{a \cdot a \cdot a \cdot a}$\\
y así sucesivamente.
#[Q][P]#: ¿De dónde vienen estas reglas? #[A][R]#: Considera el siguiete ejemplo: Comienza con, digamos, $2^4$ y luego sucesivamente disminuye el exponente en 1 cada vez:
\t !2! \gap[40] $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
\\ \t \gap[40] $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ \t Divide el resultado anterior, $16$, por $2$. \t \gap[80]
\\ \t \gap[40] $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$ \t Divide el resultado anterior, $8$, por $2$.
\\ \t \gap[40] $2^1 = 2$ \t Divide el resultado anterior, $4$, por $2$.
\\
\\ \t !3! #[We see that each answer can be obtained from the answer above by dividing by 2. In other words, decreasing the exponent by 1 is the same as dividing by the base 2. So, if we continue this process, the next line ought to be][Vemos que cada resultado se puede obtener del resultado anterior dividiendo por 2. En otras palabras, disminuir el exponente en 1 es lo mismo que dividir por la base 2. Entonces, si continuamos con este proceso, la siguiente línea debería ser]#
\\
\\ \t \gap[40] $2^0 = 1$ \t Divide el resultado anterior, $2$, por $2$.
\\ \t \gap[40] $2^{-1} = \dfrac{1}{2}$ \t Divide el resultado anterior, $1$, por $2$.
\\ \t \gap[40] $2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4}$ \t Divide el resultado anterior, $\dfrac{1}{2}$, por $2$.
\\ \t \gap[40] ...
Vídeo sugerido para este tema: Video por Tuto mate
Ejemplos
$3^0 = 1; \qquad 654^0 = 1; \qquad \pi^0 = 1$\\
$3^{-1} = \dfrac{1}{3}$\\
$3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$ \\
$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$ \\
$1^{-34} = \dfrac{1}{1^{34}} = \dfrac{1}{1} = 1$ \\
$(-1)^{-3} = \dfrac{1}{(-1)^3} = \dfrac{1}{-1} = -1$ \\
$2^33^{-2} = 2^3 \cdot \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{2^3}{3^2} = \dfrac{8}{9}$
Algunos para ti
Leyes de los exponentes
#[What happens if you multiply, say, $2^5$ and $2^6$? What happens if you divide one by the other, or raise the first one to the third power? The laws of exponents tell us what would happen in these and similar cases. For convenience, we have grouped the laws into two categories: those that combine exponential expressions with the same base, and those that combine expressions with different bases:][¿Qué sucede si multiplicas, por ejemplo, $2^5$ y $2^6$? ¿Qué sucede si divides una por la otra, o elevas la primera a la tercera potencia? Las leyes de los exponentes nos dicen lo que suceder�a en estos casos y en otros similares. Para mayor comodidad, hemos agrupado las leyes en dos categor�as: las que combinan expresiones exponenciales con la misma base y las que combinan expresiones con diferentes bases.]#
Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me
Los leyes de los exponentes para combinar expresiones con la misma base
| #[Law][Ley]# | %%Examples | #[Comments][Comentarios]# | |||||||||||
| 1. $a^ma^n = a^{m+n}$ |
$2^32^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$
$2^32^{-2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$ $(-9)^4(-9)^{-2} = (-9)^{4-2} = (-9)^2 = 81$ $x^3x^4 = x^{3+4} = x^7$ $x^{-4}x^3 = x^{-4+3} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ |
Si las bases en un producto son iguales, suma los exponentes. Si no son igulaes las bases, la regla no se aplica. Para intender por qué se aplica esta regla en el caso de exponentes positivos, observa que
$\qquad \quad a^m+a^n \neq (a+a)^n$ |
|||||||||||
|
2. $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (%%if $a \neq 0$) |
$\dfrac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$
$\dfrac{x^3}{x^4} = x^{3-4} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ $\dfrac{2^3}{2^{-2}} = 2^{3-(-2)} = 2^5 = 32$ $\dfrac{x^{-4}}{x^{-3}} = x^{-4-(-3)} = x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ $\dfrac{1}{x^{-3}} = \dfrac{x^0}{x^{-3}} = x^{0-(-3)} = x^3$ |
Si las bases en una cociente son iguales, resta los exponentes. Si no son igulaes las bases, la regla no se aplica. Observa que esta regla sigue de cancelación en el caso de exponentes positivos. La regla no se aplica a diferencias: $\qquad a^m-a^n \neq a^{m-n}$ |
|||||||||||
|
3. $\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}$ (%%if $a \neq 0$) |
$\dfrac{1}{2^3} = 2^{-3}$
$5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$ $\dfrac{1}{5^{-2}} = 5^{-(-2)} = 5^2 = 25$ |
#[See "Negative and zero exponents" above.][Ve "Exponentes negativos y cero " arriba.]#
#[Rule 3 is actually a special case of Rule 2:][Regla 3 es en realidad un caso especial de la Regla 2:]#
|
|||||||||||
| 4. $(a^n)^m = a^{nm}\ $ |
$(2^3)^2 = 2^{3\times 2} = 2^{6} = 64$
$(x^3)^4 = x^{3 \times 4} = x^{12}$ $(2^{-3})^2 = 2^{(-3)\times2} = 2^{-6} = \dfrac{1}{64}$ $(x^{-3})^{-4} = x^{(-3)\times(-4)} = x^{12}$ |
#[Raising a power to a power corresponds to mutliplying the powers.][Elevar una potencia a una potencia corresponde a multiplicar las potencias.]# |
Los leyes de los exponentes para combinar expresiones con bases distintas
| #[Rule][Regla]# | %%Examples | #[Comments][Comentarios]# | ||||||||
| 1. $(ab)^n = a^nb^n$ |
$(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \times 9 = 36$
$(2 \cdot 3)^{-2} = 2^{-2} \cdot 3^{-2} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{36}$ $(4(-3))^{2} = 4^2 \cdot (-3)^2 = 16 \times 9 = 144$ $(xy)^{-4} = x^{-4}y^{-4}$ $(-xy)^3 = (-x)^3(y)^3$ |
La $n$ª potencia de un producto es el producto de las $n$ª potencias. Para intender por qué se aplica esta regla en el caso de exponentes positivos, observa que
$\qquad (a+b)^n \neq a^n + b^n$ |
||||||||
|
2. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ (%if $b \neq 0$) |
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^4 = \dfrac{3^4}{2^4} = \dfrac{81}{16}$
$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{-2} = \dfrac{x^{-2}}{y^{-2}}$ $\left(\dfrac{1}{y}\right)^3 = \dfrac{1^3}{y^3} = \dfrac{1}{y^3}$ $\left(\dfrac{-2}{-3}\right)^2 = \dfrac{(-2)^2}{(-3)^2} = \dfrac{4}{9}$ |
La $n$ª potencia de un cociente es el cociente de las $n$ª potencias. Para intender por qué se aplica esta regla en el caso de exponentes positivos, observa que
$\qquad (a-b)^n \neq a^n - b^n$ |
#[Combining the identities][Combinando las identidades]#
Forma potencia positivo y forma potencia
Considera, por ejemplo la expresión $\dfrac{2}{3x^2}.$ Podemos reescribir esta expresión en varias distintas maneras por usar las identidades del exponentes y la regla para la multiplicación de fracciones:
$\dfrac{2}{3x^2}$ \t $=$ \t $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{x^2}$ \gap[40] \t #[Rule for multiplication of fractions][La regla para la multiplicación de fracciones]#
\\ \t $=$ \t $\dfrac{2}{3} \cdot x^{-2}$ \gap[40] \t #[Exponent identities Part 1 #3][Identidades del exponentes Parte 1 #3]#
$\dfrac{4x^{-5}}{7y}\ \ = \ \ \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{x^{-5}}{1} \cdot \dfrac{1}{y}\ \ = \ \ \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{1}{x^5} \cdot \dfrac{1}{y}\ \ = \ \ \dfrac{4}{7x^5y}$ \gap[40] \t #[Positive exponent form][Forma exponente positivo]#
\\ $\dfrac{4x^{-5}}{7y}\ \ = \ \ \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{x^{-5}}{1} \cdot \dfrac{1}{y}\ \ = \ \ \dfrac{4}{7} \cdot x^{-5} \cdot y^{-1}\ \ = \ \ \dfrac{4}{7}x^{-5}y^{-1}$ \gap[40] \t #[Power form][Forma potencia]#
#[Very important! Make sure you are comfortable with each step in these calculations!][¡Muy importante! ¡Asegúrate de que eres comodo con cada paso en estos cálculos!]#
#[Positive exponent form and power form ][Forma exponente positivo y forma potencia]#
#[An expression in positive exponent form is one in which all exponents are positive.][Una expresión de la forma exponente positivo es una en la que todos los exponentes son positivos.]#
#[Expressions in positive exponent form are often written using fractions with powers of variables in the numerator and/or the denominator.][Expresiones en la forma exponente positivo son frecuentemente escritas usando fracciones con potencias de variables en el numerador y/o el denominador.]#
%%Examples #[of expressions in positive exponent form][de expresiones de la forma exponente positivo]#
$\dfrac{3z^2}{4y^5} \qquad$ $\dfrac{2}{4x^3} \qquad$ $3.5z^8 \qquad$ $\dfrac{1}{x} \qquad$ $\dfrac{3}{4} \qquad$ $\dfrac{2}{x} - \dfrac{4x^3}{z}$
Las siguientes expresiones no son de la forma exponente positivo porque contienen exponentes negtivos o cero:
$\dfrac{3y^{-2}}{4y^5} \qquad$ $ \dfrac{2}{4x^{-3}} \qquad $ $x^{-1} \qquad$ $3x^0 \qquad$ $3^{-2} $
Una expresión es de la forma potencia si ningunas de variables aparece como parte de una fracción (aunque las constantes pueden ser fracciones).
Expresiones en la forma potencia son típicamente escritas como sumas y restas de términos de la siguienta forma:
$ax^n$ $\qquad$ \t #[Term with one variable; $a$ = constant, $x$ = variable, $n$ = any power][Término con una variable; $a$ = constante, $x$ = variable, $n$ = cualquiera potencia]#
\\ $ax^my^n$ $\qquad$ \t #[Term with two variables; $a$ = constant, $x, y$ = variables, $n, m$ = any powers][Término con dos variables; $a$ = constante, $x, y$ = variables, $m, n$ = cualquieras potencias]#
\\ $ax^my^nz^k$ $\qquad$ \t #[Term with three variables; $a$ = constant, $x, y, z$ = variables, $n, m, k$ = any powers][Término con tres variables; $a$ = constante, $x, y, z$ = variables, $m, n, k$ = cualquieras potencias]#
%%Examples #[of expressions in power form][de expresiones de la forma potencia]#
$4z^{-2} \qquad$ $\dfrac{2}{3}x^{-1} \qquad$ $3 + x - x^2 \qquad$ $3x^2y^{-2} \qquad$ $4z^{-2} - 2y^{1/2}$
#[The following expressions are not in power form because they contain variables that appear in fractions:][Las siguientes expresiones no son de la forma potencia porque contienen variables que aparecen en fracciones:]#
$\dfrac{3x}{4} \qquad$ $\dfrac{3y^{-2}}{y} \qquad$ $\dfrac{2}{4y^{-3}} \qquad$ $y + \dfrac{1}{y} \qquad$ $\dfrac{2}{3x^{-1}}$
Convertiendo a la forma exponente positivo o potencia
Podemos usar las identidades del exponentes para convertir expresiones a una u otra de las dos formas justo descritas:
Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.
Derechos de autor © 2018 Stefan Waner y Steven R. Costenoble