Tutorial: Exponentes y radicales
Versión juego
Este tutorial: Parte B: Radicales y exponentes racionales
(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
#[I don't like this new tutorial. Take me back to the older tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]#
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Radicales
Si $a$ es un número real, entonces su raíz cuadrada es el número real y no negativo cuyo cuadrado es $a.$ Por ejemplo, la raíz cuadrada de $16$ es $\color{indianred}{4},$ pues $\color{indianred}{4^{\color{black}{2}}} = 16.$
%%Q
Y qué tal de $-4$? Si tomas el cuadrado de $-4$ resulta también $16,$ así que ¿podemos decir que $-4$ es una otra raíz cuadrada de $16$?
%%A No. El término "raíz cuadrada de $a$" se refiere solamente al número no negativo cuyo cuadrado es $a$, así que cada número tiene una sola raíz cuadrada.
De modo parecido, la raíz cuarta del número no negativo $a$ es el número real no negativo cuya cuarta potencia es $a.$ Por lo tanto, la raíz cuarta de $16$ es $\color{indianred}{2},$ pues $\color{indianred}{2^{\color{black}{4}}} = 16.$ (Como sucede con raíses cuadradas, la raíz cuarta de un número no puede ser negativo.)Se puede definir raíces sexta, octava, y así sucesivamente.
%%A No. El término "raíz cuadrada de $a$" se refiere solamente al número no negativo cuyo cuadrado es $a$, así que cada número tiene una sola raíz cuadrada.
%%Q
Muy bien, ¿Y quí tal las raíces impares?
%%A Hay una diferencia pequeñña con las raíces impares: Por ejemplo, la raíz cúbica de cualquier número $a$ es el número único cuyo cubo es $a.$ Por ejemplo, la raíz cúbica de $8$ es $\color{indianred}{2},$ (pues $\color{indianred}{2^{\color{black}{3}}} = 8$).Nota que se puede tomar la raíz cúbica de cualquier número: positivo, negativo, o cero. Por ejemplo, la raíz cúbica de $-8$ es $\color{indianred}{-2},$ pues $(\color{indianred}{-2})^2 = -8$. Al contrario de las raíces cuadradas, raíces cúbicas pueden ser negativas. De hecho, la raíz cúbica de $a$ tiene siempre el mismo signo que $a.$ Las otras raíces impares son definidas en la manera parecida.
Usamos la notación "radical" para escribir raíces, como sigue:
%%A Hay una diferencia pequeñña con las raíces impares: Por ejemplo, la raíz cúbica de cualquier número $a$ es el número único cuyo cubo es $a.$ Por ejemplo, la raíz cúbica de $8$ es $\color{indianred}{2},$ (pues $\color{indianred}{2^{\color{black}{3}}} = 8$).Nota que se puede tomar la raíz cúbica de cualquier número: positivo, negativo, o cero. Por ejemplo, la raíz cúbica de $-8$ es $\color{indianred}{-2},$ pues $(\color{indianred}{-2})^2 = -8$. Al contrario de las raíces cuadradas, raíces cúbicas pueden ser negativas. De hecho, la raíz cúbica de $a$ tiene siempre el mismo signo que $a.$ Las otras raíces impares son definidas en la manera parecida.
Radicales
Vídeo sugerido para este tema: Video por Sistema SED
| Nombre | Símbolo | %%Examples | |
| Raíz cuadrada de $a$ | $\sqrt{a}$ | $\sqrt{16}=4$ | La raíz cuadrada de $16$ es $4.$ |
| $\sqrt{9}=3$ | Para obtener $9,$ elevas al cuadrado $\color{indianred}{3.}$ | ||
| $\sqrt{1}=1$ | Para obtener $1,$ elevas al cuadrado $\color{indianred}{1.}$ | ||
| $\sqrt{0}=0$ | Para obtener $0,$ elevas al cuadrado $\color{indianred}{0.}$ | ||
| $\sqrt{2 \cdot 2}=2$ | Para obtener $2 \cdot 2,$ elevas al cuadrado $\color{indianred}{2.}$ | ||
| $\sqrt{3 \cdot 3}=3$ | Para obtener $3 \cdot 3,$ elevas al cuadrado $\color{indianred}{3.}$ | ||
| $\sqrt{2}\sqrt{2}=2$ | Si elevas al cuadrado el número cuyo cuadrado es 2, obtienes 2. | ||
| $\sqrt{a}\sqrt{a}=a$ | Si elevas al cuadrado el número cuyo cuadrado es a, obtienes a. | ||
| $\sqrt{2}$ ${}=1.4142136...$ |
Un númreo irracional. Normalmente no la escribimos como un decimal. |
||
| $\sqrt{-1}$ no es un número real. | $-1$ es negativo. | ||
| Raíz cúbica de $a$ | $\sqrt[3]{a}$ | $\sqrt[3]{8}=2$ | La raíz cúbica de $8$ es $2.$ |
| $\sqrt[3]{-8}=-2$ | Para obtener $-8,$ elevas al cubo $\color{indianred}{-2.}$ | ||
| $\sqrt[3]{1}=1$ | Para obtener $1,$ elevas al cubo $\color{indianred}{1.}$ | ||
| $\sqrt[3]{-1}=-1$ | Para obtener $-1,$ elevas al cubo $\color{indianred}{-1.}$ | ||
| $\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{a}$ $=a$ | Si elevas al cubo el número cuyo cubo es a, obtienes a. | ||
| Raíz cuarta de $a$ | $\sqrt[4]{a}$ | $\sqrt[4]{10{,}000}$ $=10$ | Para obtener $10\,000,$ elevas al cuarto $\color{indianred}{10.}$ |
| $\sqrt[4]{-3}$ no es un número real. | $-3$ es negativo. |
Radicales de productos y cocientes
Vimos en el cuncurso arriba que la raíz cuadrada de una suma no es igual a la suma de las raizes cuadradas individuales. Sin embargo, la raíz cuadrada de un producto es igual al producto de las raizes cuadradas individuales, y lo mismo aplica para cocientes. Las siguientes son las reglas:
Radicales de productos y cocientes
En las siguientes identidades, $a$ y $b$ son números reales. En el caso de raíces pares, deben ser no negativos.
#[Rule][Regla]# \t \t #[Example][Ejemplo]#
\\ $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\ \sqrt[n]{b}$ \t $\qquad$ \t $\sqrt{8} $$= \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4}\ \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
\\ \t \t #[Equivalently,][De manera equivalente,]#
\\ \t \t $\sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} $$= \sqrt{2 \cdot 2}\ \sqrt{2} = \sqrt{2}\ \sqrt{2} \sqrt{2} $$= 2\sqrt{2}$
\\ \t \t (#[Note that][Observa que]#$\sqrt{2}\ \sqrt{2} = 2.$)
\\ \t \t $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} $$= \sqrt{9}\ \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$
\\ \t \t #[Equivalently,][De manera equivalente,]#
\\ \t \t $\sqrt{54} = \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 6} $$= \sqrt{3 \cdot 3}\ \sqrt{6} = \sqrt{3}\ \sqrt{3}\ \sqrt{6} $$= 3\sqrt{6}$
\\ $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ \t $\quad$ \t $\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}} = \dfrac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \dfrac{2}{3}$
#[Again, the rule does not apply to sums or differences:][Otra vez, esta regla no se aplica a sumas y restas:]#
$\sqrt{2+2} \neq \sqrt{2} + \sqrt{2}$ #[but rather][sino más bien]# $\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2.$
\\ $\sqrt{9-5} \neq 3 - \sqrt{5}$ #[but rather][sino más bien]# $\sqrt{9-5} = \sqrt{4} = 2.$
Vídeo sugerido para este tema: Video por Fikima Aula Virtual
Notación exponencial
En vez de trabajar todo el tiempo con expresiones radicales, es a veces útil convertir expresiones racionales en expresiones exponenciales, como sigue. (A lo largo, toma $a$ a ser positiva si es par el denominador de su exponente.)
Exponentes racionales
Se puede usar exponentes racionales para expresiones radicales como sigue:
#[Radical form][Forma radical]# \t \t #[Exponent form][Forma exponente]# \t \t %%Example
\\ $\sqrt{a}$ \t $\quad$ \t $a^{1/2} \quad (\text{or } a^{0.5})$ \t $\quad$ \t $64^{1/2} = \sqrt{64} = 8$
\\ $\sqrt[3]{a}$ \t $\quad$ \t $a^{1/3}$ \t $\quad$ \t $64^{1/3} = \sqrt[3]{64} = 4$
\\ $\sqrt[n]{a}$ \t $\quad$ \t $a^{1/n}$ \t $\quad$ \t $64^{1/6} = \sqrt[6]{64} = 2$
Así, si deseamos que sigan funcionar las identidades del exponentes, podemos calcular $a^{m/n}$ en dos maneras:
\t $a^{m/n} = a^{(m)(1/n)} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}$\t $\qquad$ \t #[(See the third line above.)][(Ve la tercera línea arriba.)]#
\\ #[or][o]# $\quad$
\\ \t $a^{m/n} = a^{(1/n)(m)} = (a^{1/n})^{m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$
Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me
%%Examples
$4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$
\\ $4^{3/2} = (4^3)^{1/2} = 64^{1/2} = 8$
\\ $4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8$
Algunos para ti
%%Q
¿Se aplican las identidades de exponentes como de costumbre aún cuando los exponentes son racionales?
%%A Sí. Aquí está un resumen de estas identidades—exactamente las mismas que vimos en %%prevparttut—pero esta vez entendemos que los exponentes pueden ser números racionales (en lugar de números enteros como en el tutorial anterior):
%%A Sí. Aquí está un resumen de estas identidades—exactamente las mismas que vimos en %%prevparttut—pero esta vez entendemos que los exponentes pueden ser números racionales (en lugar de números enteros como en el tutorial anterior):
Identidades del exponentes y radicales
| Regla | %%Examples | Comentarios |
| 1. $a^pa^q = a^{p+q}$ | $8^{5/3}8^{-1/3}=8^{4/3}$ | Esto es igual a $\left(\sqrt[3]{8}\right)^4=2^4=16$ |
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2. $\dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$ (%if $a \neq 0$) |
$\dfrac{9^3}{9^{3/2}} = 9^{3-3/2} = 9^{3/2}$ | Esto es igual a $\left(\sqrt{9}\right)^3=3^3=27$ |
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3. $\dfrac{1}{a^q} = a^{-q}$ (%if $a \neq 0$) |
$9^{-1/2} = \dfrac{1}{9^{1/2}} = \dfrac{1}{3}$ | Mete $p=0$ en la Regla 2 para obtener la Regla 3. |
| 4. $(a^p)^q = a^{pq}\ $ | $(16^{1/2})^2 = 16^{1/2 \times 2} = 16^{1} = 16$ | Este ejemplo nos dice por qué $16^{1/2}$ tiene que ser de 4: Elevar al cuadrado debe dar 16. |
| 5. $(ab)^p = a^pb^p$ | $16^{2/3} = (8 \cdot 2)^{2/3} = 8^{2/3} \cdot 2^{2/3}$ | Esto es igual a $\sqrt[3]{8^2}\ \ \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{64}\ \ \sqrt[3]{4} = 4\ \sqrt[3]{4}.$ |
| 6. $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ | $\sqrt{8}=\sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4}\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ |
Ya sabemos esta regla: La radical de un producto es el producto de las radicales Mete $p=\dfrac{1}{n}$ en la Regla 5 para obtener la Regla 6. |
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7. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^p = \dfrac{a^p}{b^p}$ (%if $b \neq 0$) |
$\left(\dfrac{27}{8}\right)^{2/3} = \dfrac{27^{2/3}}{8^{2/3}}$ | Esto es igual a $\dfrac{9}{4}.$ |
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8. $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (%if $b \neq 0$) |
$\sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
Ya sabemos esta regla: La radical de un cociente es el cociente de las radicales Mete $p=\dfrac{1}{n}$ en la Regla 7 para obtener la Regla 8. |
\t $4x^{-2/3}$ \t ${}= \dfrac{4}{x^{2/3}}$ \t ${}= \dfrac{4}{\sqrt[3]{x^2}} \qquad = \dfrac{4}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2}$.
\\ \t Forma potencia \t Forma exponente positivo \t Forma Radical
\\ \t !2! (Ve %%prevparttut.)
Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
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