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Tutorial: Exponentes y radicales

Versión juego

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Ir a Parte A: Exponentes enteros
Este tutorial: Parte B: Radicales y exponentes racionales
Ir a Parte C: Forma exponente positivo, potencia, y radical más simple
(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

#[I don't like this new tutorial. Take me back to the older tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]#

Adaptive game tutorial
  • Este tutorial juego adaptativo te ayudará a dominar este tema de una manera que se adapte a tu capacidad mientras practicas las preguntas.
  • Si esta es la primera vez que estudias la materia, puedes encontrar que requieres más ayuda, y como resultado tus resultados del juego podrían terminar más bajo, o incluso puedes "morir". ¡No te desanimes! Simplemente pulsa "Juego nuevo" para jugar el juego tantas veces como sea necesario con el fin de requerir menos ayuda y mejorar tus resultados.
  • También puedes probar la versión no-juego (vínculo de al lado), que no te da resultados, no es al azar o de adaptación y te da todas las respuestas, pero no te dará práctica adicional al nivel que necesitarías.
  • Para completar este juego tienes que responder a todas las preguntas correctamente; se te permite hacer varios intentos para ciertas preguntas.
  • Las preguntas son al azar: Puedes esperar a ver un montón de diferencias cada vez que cargas la página.
  • Pulsa "Puntos" en cualquier momento para mostrar los resultados que tienes actualmente.
  • El juego es automaticamente guardado. Reiniciar el juego en tu computaroda con el mismo navigador lanzará el juego guardado.
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  • Precaución: ¡Hacer clic en las pequeñas imágenes que aparecen de vez en cuando a la izquierda puede tener consecuencias inesperadas! Es posible que desees experimentar con ellos; ¡esto es un juego, después de todo!

Radicales

Si $a$ es un número real, entonces su raíz cuadrada es el número real y no negativo cuyo cuadrado es $a.$ Por ejemplo, la raíz cuadrada de $16$ es $\color{indianred}{4},$ pues $\color{indianred}{4^{\color{black}{2}}} = 16.$

%%Q Y qué tal de $-4$? Si tomas el cuadrado de $-4$ resulta también $16,$ así que ¿podemos decir que $-4$ es una otra raíz cuadrada de $16$?
%%A No. El término "raíz cuadrada de $a$" se refiere solamente al número no negativo cuyo cuadrado es $a$, así que cada número tiene una sola raíz cuadrada.

De modo parecido, la raíz cuarta del número no negativo $a$ es el número real no negativo cuya cuarta potencia es $a.$ Por lo tanto, la raíz cuarta de $16$ es $\color{indianred}{2},$ pues $\color{indianred}{2^{\color{black}{4}}} = 16.$ (Como sucede con raíses cuadradas, la raíz cuarta de un número no puede ser negativo.)

Se puede definir raíces sexta, octava, y así sucesivamente.

%%Q Muy bien, ¿Y quí tal las raíces impares?
%%A Hay una diferencia pequeñña con las raíces impares: Por ejemplo, la raíz cúbica de cualquier número $a$ es el número único cuyo cubo es $a.$ Por ejemplo, la raíz cúbica de $8$ es $\color{indianred}{2},$ (pues $\color{indianred}{2^{\color{black}{3}}} = 8$).

Nota que se puede tomar la raíz cúbica de cualquier número: positivo, negativo, o cero. Por ejemplo, la raíz cúbica de $-8$ es $\color{indianred}{-2},$ pues $(\color{indianred}{-2})^2 = -8$. Al contrario de las raíces cuadradas, raíces cúbicas pueden ser negativas. De hecho, la raíz cúbica de $a$ tiene siempre el mismo signo que $a.$ Las otras raíces impares son definidas en la manera parecida.

Usamos la notación "radical" para escribir raíces, como sigue:

Radicales

Nombre Símbolo %%Examples  
Raíz cuadrada de $a$ $\sqrt{a}$ $\sqrt{16}=4$ La raíz cuadrada de $16$ es $4.$
$\sqrt{9}=3$ Para obtener $9,$ elevas al cuadrado $\color{indianred}{3.}$
$\sqrt{1}=1$ Para obtener $1,$ elevas al cuadrado $\color{indianred}{1.}$
$\sqrt{0}=0$ Para obtener $0,$ elevas al cuadrado $\color{indianred}{0.}$
$\sqrt{2 \cdot 2}=2$ Para obtener $2 \cdot 2,$ elevas al cuadrado $\color{indianred}{2.}$
$\sqrt{3 \cdot 3}=3$ Para obtener $3 \cdot 3,$ elevas al cuadrado $\color{indianred}{3.}$
$\sqrt{2}\sqrt{2}=2$ Si elevas al cuadrado el número cuyo cuadrado es 2, obtienes 2.
$\sqrt{a}\sqrt{a}=a$ Si elevas al cuadrado el número cuyo cuadrado es a, obtienes a.
$\sqrt{2}$ ${}=1.4142136...$ Un númreo irracional.
Normalmente no la escribimos como un decimal.
$\sqrt{-1}$ no es un número real. $-1$ es negativo.
Raíz cúbica de $a$ $\sqrt[3]{a}$ $\sqrt[3]{8}=2$ La raíz cúbica de $8$ es $2.$
$\sqrt[3]{-8}=-2$ Para obtener $-8,$ elevas al cubo $\color{indianred}{-2.}$
$\sqrt[3]{1}=1$ Para obtener $1,$ elevas al cubo $\color{indianred}{1.}$
$\sqrt[3]{-1}=-1$ Para obtener $-1,$ elevas al cubo $\color{indianred}{-1.}$
$\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{a}$ $=a$ Si elevas al cubo el número cuyo cubo es a, obtienes a.
Raíz cuarta de $a$ $\sqrt[4]{a}$ $\sqrt[4]{10{,}000}$ $=10$ Para obtener $10\,000,$ elevas al cuarto $\color{indianred}{10.}$
$\sqrt[4]{-3}$ no es un número real. $-3$ es negativo.

Vídeo sugerido para este tema: Video por Sistema SED

Radicales de productos y cocientes

Vimos en el cuncurso arriba que la raíz cuadrada de una suma no es igual a la suma de las raizes cuadradas individuales. Sin embargo, la raíz cuadrada de un producto es igual al producto de las raizes cuadradas individuales, y lo mismo aplica para cocientes. Las siguientes son las reglas:
Radicales de productos y cocientes

En las siguientes identidades, $a$ y $b$ son números reales. En el caso de raíces pares, deben ser no negativos.
#[Rule][Regla]#
\t \t
#[Example][Ejemplo]#
\\ $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\ \sqrt[n]{b}$ \t $\qquad$ \t $\sqrt{8} $$= \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4}\ \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ \\ \t \t #[Equivalently,][De manera equivalente,]# \\ \t \t $\sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} $$= \sqrt{2 \cdot 2}\ \sqrt{2} = \sqrt{2}\ \sqrt{2} \sqrt{2} $$= 2\sqrt{2}$ \\ \t \t (#[Note that][Observa que]#$\sqrt{2}\ \sqrt{2} = 2.$) \\ \t \t $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} $$= \sqrt{9}\ \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$ \\ \t \t #[Equivalently,][De manera equivalente,]# \\ \t \t $\sqrt{54} = \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 6} $$= \sqrt{3 \cdot 3}\ \sqrt{6} = \sqrt{3}\ \sqrt{3}\ \sqrt{6} $$= 3\sqrt{6}$ \\ $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ \t $\quad$ \t $\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}} = \dfrac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \dfrac{2}{3}$
#[Again, the rule does not apply to sums or differences:][Otra vez, esta regla no se aplica a sumas y restas:]#
$\sqrt{2+2} \neq \sqrt{2} + \sqrt{2}$ #[but rather][sino más bien]# $\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2.$ \\ $\sqrt{9-5} \neq 3 - \sqrt{5}$ #[but rather][sino más bien]# $\sqrt{9-5} = \sqrt{4} = 2.$

Vídeo sugerido para este tema: Video por Fikima Aula Virtual

Notación exponencial
En vez de trabajar todo el tiempo con expresiones radicales, es a veces útil convertir expresiones racionales en expresiones exponenciales, como sigue. (A lo largo, toma $a$ a ser positiva si es par el denominador de su exponente.)
Exponentes racionales

Se puede usar exponentes racionales para expresiones radicales como sigue:
#[Radical form][Forma radical]# \t \t #[Exponent form][Forma exponente]# \t \t %%Example \\ $\sqrt{a}$ \t $\quad$ \t $a^{1/2} \quad (\text{or } a^{0.5})$ \t $\quad$ \t $64^{1/2} = \sqrt{64} = 8$ \\ $\sqrt[3]{a}$ \t $\quad$ \t $a^{1/3}$ \t $\quad$ \t $64^{1/3} = \sqrt[3]{64} = 4$ \\ $\sqrt[n]{a}$ \t $\quad$ \t $a^{1/n}$ \t $\quad$ \t $64^{1/6} = \sqrt[6]{64} = 2$

Así, si deseamos que sigan funcionar las identidades del exponentes, podemos calcular $a^{m/n}$ en dos maneras:
\t $a^{m/n} = a^{(m)(1/n)} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}$\t $\qquad$ \t #[(See the third line above.)][(Ve la tercera línea arriba.)]# \\ #[or][o]# $\quad$ \\ \t $a^{m/n} = a^{(1/n)(m)} = (a^{1/n})^{m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$

Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me
%%Examples

$4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$ \\ $4^{3/2} = (4^3)^{1/2} = 64^{1/2} = 8$ \\ $4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8$

Algunos para ti
%%Q ¿Se aplican las identidades de exponentes como de costumbre aún cuando los exponentes son racionales?
%%A Sí. Aquí está un resumen de estas identidades—exactamente las mismas que vimos en %%prevparttut—pero esta vez entendemos que los exponentes pueden ser números racionales (en lugar de números enteros como en el tutorial anterior):
Identidades del exponentes y radicales

Regla %%Examples Comentarios
1. $a^pa^q = a^{p+q}$ $8^{5/3}8^{-1/3}=8^{4/3}$ Esto es igual a $\left(\sqrt[3]{8}\right)^4=2^4=16$
2. $\dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$
        (%if $a \neq 0$)
$\dfrac{9^3}{9^{3/2}} = 9^{3-3/2} = 9^{3/2}$ Esto es igual a $\left(\sqrt{9}\right)^3=3^3=27$
3. $\dfrac{1}{a^q} = a^{-q}$
        (%if $a \neq 0$)
$9^{-1/2} = \dfrac{1}{9^{1/2}} = \dfrac{1}{3}$ Mete $p=0$ en la Regla 2 para obtener la Regla 3.
4. $(a^p)^q = a^{pq}\ $ $(16^{1/2})^2 = 16^{1/2 \times 2} = 16^{1} = 16$ Este ejemplo nos dice por qué $16^{1/2}$ tiene que ser de 4: Elevar al cuadrado debe dar 16.
5. $(ab)^p = a^pb^p$ $16^{2/3} = (8 \cdot 2)^{2/3} = 8^{2/3} \cdot 2^{2/3}$ Esto es igual a $\sqrt[3]{8^2}\ \ \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{64}\ \ \sqrt[3]{4} = 4\ \sqrt[3]{4}.$
6. $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ $\sqrt{8}=\sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4}\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ Ya sabemos esta regla: La radical de un producto es el producto de las radicales
Mete $p=\dfrac{1}{n}$ en la Regla 5 para obtener la Regla 6.
7. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^p = \dfrac{a^p}{b^p}$
        (%if $b \neq 0$)
$\left(\dfrac{27}{8}\right)^{2/3} = \dfrac{27^{2/3}}{8^{2/3}}$ Esto es igual a $\dfrac{9}{4}.$
8. $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
        (%if $b \neq 0$)
$\sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ Ya sabemos esta regla: La radical de un cociente es el cociente de las radicales
Mete $p=\dfrac{1}{n}$ en la Regla 7 para obtener la Regla 8.
Ahora podemos escribir expresiones matemáticas con exponentes y radicales en varias maneras; por ejemplo,
\t
$4x^{-2/3}$
\t
${}= \dfrac{4}{x^{2/3}}$
\t
${}= \dfrac{4}{\sqrt[3]{x^2}} \qquad = \dfrac{4}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2}$.
\\ \t
Forma potencia
\t
Forma exponente positivo
\t
Forma Radical
\\ \t !2!
(Ve %%prevparttut.)
Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.
Última actualización: diciembre 2019
Derechos de autor © 2018
Stefan Waner y Steven R. Costenoble

 

 

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