Forma exponente positivo, potencia, y radical más simple
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Este tutorial: Parte C: Forma exponente positivo, potencia, y radical más simple
(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
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Forma exponente positivo, forma potencia, y forma radical más simple
En %%partAtut vimos que es posible excribir expresiones con exponentes enteros en forma exponente positivo y forma potencia. Al final de %%partBtut vimos también que es posible escribir expresiones con exponentes racionales de maneras parecidas. Por ejemplo,
\t !r! $\dfrac{4}{7}x^{-5/2}$ \t ${}={}$ \t $\dfrac{4}{7x^{5/2}}$
\\ \t #[Power form][Forma potencia]# \t \t #[Positive exponent form][Forma exponente positiva]#
\\ \t \t \t #[(See %%partAtut)][(Ve %%partAtut)]#
\\
\\ \t !r! $\dfrac{4}{7x^{5/2}}$ \t ${}={}$ \t $\dfrac{4}{7\sqrt{x^5}}\ $ %%or $\ \dfrac{4}{7\left(\sqrt{x}\right)^5}$
\\ \t \t \t #[Radical form: Convert rational exponents to radicals.][Forma radical: Convertir exponentes racionales en radicales.]#
\\ \t \t \t #[(See %%partBtut)][(Ve %%partBtut)]#
\\
\\ \t !r! $\dfrac{4}{7\sqrt{x^5}}$ \t ${}={}$ \t $\dfrac{4}{7\sqrt{x^4\cdot x}} = \dfrac{4}{7x^2\sqrt{x}}$
\\ \t \t \t #[Take the $x^4$ out of the radical.][Saca el $x^4$ del radical.]#
\\ \t \t \t #[(See the second quiz in %%partBtut)][(Ve el segundo concurso en %%partBtut)]#
La última forma que se muestra a la derecha se llama forma radical más simple ya que el radical no contiene factores que sean cuadrados (sacamos $x^4$, que es el cuadrado de $x^2$).
Forma exponente positivo
Una expresión algebraica de la forma exponente positivo es una en la que no hay radicales, y todos los exponentes son positivos.
Expresiones en la forma exponente positivo son frecuentemente escritas usando fracciones con potencias de variables en el numerador y/o el denominador.
%%Examples de expresiones de la forma exponente positivo
-
$\dfrac{3z^2}{4y^5}\qquad $ $ \dfrac{2}{4x^3}\qquad $ $ 3.5z^8\qquad $ $ \dfrac{1}{x}\qquad $ $ \dfrac{x^{1/2}}{y^{2/3}}\qquad $ $ \dfrac{3}{4} \qquad $ $ \dfrac{2}{x} - \dfrac{4x^3}{z} $
-
$\dfrac{3y^{-2}}{4y^5} \qquad $ $ \dfrac{2}{4x^{-3}} \qquad $ $ x^{-1} \qquad$ $3x^0 \qquad $ $x^{-1/2} \qquad$ $3^{-2} $
Forma potencia
Una expresión algebraica es de la forma potencia si no contiene radicales, y ningunas de las variables aparecen como parte de una fracción (aunque las constantes pueden ser fracciones).
Expresiones en la forma potencia son típicamente escritas como sumas y restas de términos de la siguienta forma:
$ax^n$ $\qquad$ \t Término con una variable; $a$ = constante, $x$ = variable, $n$ = cualquiera potencia
\\ $ax^my^n$ $\qquad$ \t Término con dos variables; $a$ = constante, $x, y$ = variables, $m, n$ = cualquieras potencias
\\ $ax^my^nz^k$ $\qquad$ \t Término con tres variables; $a$ = constante, $x, y, z$ = variables, $m, n, k$ = cualquieras potencias
%%Examples de expresiones de la forma potencia
-
$4z^{-2}\qquad $ $ \dfrac{2}{3}x^{-1/2}\qquad $ $ 3 + x - x^2\qquad $ $ 3x^2y^{-2}\qquad $ $ 4z^{-2} - 2y^{1/2}$
-
$\dfrac{3x}{4}\qquad $ $ \dfrac{3y^{-2}}{y}\qquad $ $ \dfrac{2}{4y^{-3}}\qquad $ $ y + \dfrac{1}{y}\qquad $ $ \dfrac{2}{3x^{-1}}$
Forma radical más simple
Una expresión algebraica o un número está en forma radical más simple si se escribe usando radicales y solo exponentes enteros positivos, las potencias bajo los radicales son lo más pequeños posible, y las potencias de los radicales son lo más pequeños posible.*
* Algunas personas también insisten en que no puede haber radicales en el denominador. No vemos una buena razón para esta restricción; de hecho, eliminar radicales del denominador frecuentemente da como resultado una expresión que es menos simple.
%%Examples de expresiones de la forma radical más simple
Vídeo sugerido para este tema: Video por Canal Vibuc
$\sqrt{3}\qquad$ $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\qquad $ $\dfrac{3z\sqrt{z}}{4y^5}\qquad $ $ \dfrac{2}{4\sqrt[3]{x^2}}$ $ \qquad $ $3\left(\sqrt[9]{z}\right)^8 $
#[The following expressions are not in simplest radical form:][Las siguientes expresiones no son de la forma radical más simple:]#
$\sqrt{8} $ \t #[The power under the radical can be made smaller.
Rewrite it as][La potencia bajo el radical puede hacerse más pequeña.
Reescribirlo como]# $\sqrt{2^2 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. \\ $\sqrt[3]{72} $ \t #[The power under the radical can be made smaller.
Rewrite it as][La potencia bajo el radical puede hacerse más pequeña.
Reescribirlo como]# $\sqrt[3]{8 \cdot 9} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 9} = 2\sqrt[3]{9}$. \\ $5\sqrt{z^5} $ \t #[The power under the radical can be made smaller.
Rewrite it as][La potencia bajo el radical puede hacerse más pequeña.
Reescribirlo como]# $5\sqrt{z^4 \cdot z} = 5z^2\sqrt{z}$. \\ \\ $3\left(\sqrt{z}\right)^5 $ \t #[The power of the radical can be made smaller.
Rewrite it as][La potencia del radical puede hacerse más pequeña.
Reescribirlo como]# $3\left(\sqrt{z}\right)^4\sqrt{z} = 3z^2\sqrt{z}$. \\ \\ $\dfrac{2}{4x^{3/2}}$ \t #[Contains a fractional exponent.
Rewrite it as][Contiene un exponente no entero.
Reescribirlo como]# $\dfrac{2}{4\sqrt{x^3}} = \dfrac{2}{4x\sqrt{x}}$. \\ \\ $\sqrt{z^{-1}}$ \t #[Contains a negative exponent.
Rewrite it as][Contiene un exponente negativo.
Reescribirlo como]# $\dfrac{1}{\sqrt{z}}$ \\ \\ $3\left(\sqrt[7]{z}\right)^{10} $ \t #[The power of the radical can be made smaller.
Rewrite it as][La potencia del radical puede hacerse más pequeña.
Reescribirlo como]# $3\left(\sqrt[7]{z}\right)^{10}$ $= 3\left(\sqrt[7]{z}\right)^{7}\left(\sqrt[7]{z}\right)^{3}$ $= 3z\left(\sqrt[7]{z}\right)^{3}$.
%%Note #[Be careful with square roots (or other even roots) of powers of letter variables; for instance,][Ten cuiodado con raiceas cuadradas (u otras raices pares) de potencias de variables letras, for ejemplo,]#
Rewrite it as][La potencia bajo el radical puede hacerse más pequeña.
Reescribirlo como]# $\sqrt{2^2 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. \\ $\sqrt[3]{72} $ \t #[The power under the radical can be made smaller.
Rewrite it as][La potencia bajo el radical puede hacerse más pequeña.
Reescribirlo como]# $\sqrt[3]{8 \cdot 9} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 9} = 2\sqrt[3]{9}$. \\ $5\sqrt{z^5} $ \t #[The power under the radical can be made smaller.
Rewrite it as][La potencia bajo el radical puede hacerse más pequeña.
Reescribirlo como]# $5\sqrt{z^4 \cdot z} = 5z^2\sqrt{z}$. \\ \\ $3\left(\sqrt{z}\right)^5 $ \t #[The power of the radical can be made smaller.
Rewrite it as][La potencia del radical puede hacerse más pequeña.
Reescribirlo como]# $3\left(\sqrt{z}\right)^4\sqrt{z} = 3z^2\sqrt{z}$. \\ \\ $\dfrac{2}{4x^{3/2}}$ \t #[Contains a fractional exponent.
Rewrite it as][Contiene un exponente no entero.
Reescribirlo como]# $\dfrac{2}{4\sqrt{x^3}} = \dfrac{2}{4x\sqrt{x}}$. \\ \\ $\sqrt{z^{-1}}$ \t #[Contains a negative exponent.
Rewrite it as][Contiene un exponente negativo.
Reescribirlo como]# $\dfrac{1}{\sqrt{z}}$ \\ \\ $3\left(\sqrt[7]{z}\right)^{10} $ \t #[The power of the radical can be made smaller.
Rewrite it as][La potencia del radical puede hacerse más pequeña.
Reescribirlo como]# $3\left(\sqrt[7]{z}\right)^{10}$ $= 3\left(\sqrt[7]{z}\right)^{7}\left(\sqrt[7]{z}\right)^{3}$ $= 3z\left(\sqrt[7]{z}\right)^{3}$.
- $\sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b}$
Vídeo sugerido para este tema: Video por Canal Vibuc
Convirtiendo entre las formas exponente positivo, potencia, y radical más simple
Podemos usar las identidades del exponentes para convertir expresiones de una forma a la otra. La siguiente tabla muestra algunos ejemplos, seguidos de algunos para que tu mismo los hagas.
- To enter $\sqrt{A}$ type sqrt(A).
To enter][Como ingresar radicales:
- Para ingresar $\sqrt{A}$ tecla sqrt(A).
Para ingresar ]# $\sqrt[n]{A}$ #[ type ][ tecla ]# sqrt[n](A).
Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
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