Tutorial: Funciones y modelos
Versión juego adaptivo
Este tutorial: Parte A: Modelos de costos, ingresos y ganancias
(Se puede encontrar este tema en la Sección 1.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
#[I don't like this new tutorial. Take me back to the older tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]#
¿Qué es un modelo matemático?
Funciones que usamos para representar situaciones en la vida real, como la función que usamos en el tutorial anterior para hablar hablar sobre la membresía de Facebook, son modelos matemáticos.
Modelos matemáticos
Modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos, y la representación particular que utilizamos se denomina modelo matemático de la situación.
%%Examples
%%Note
Los ejemplos 1–3 son modelos analíticos, que se obtienen analizando la situación que se está modelando, mientras que el ejemplo 4 es un modelo de ajuste de curva, que se obtiene al hallar una fórmula matemática que se aproxima a los datos observados.
Situación | Modelo |
1. A tu servicio de entrega de donas le cuesta un promedio de $\$2$ entregar cada caja de donas orgánicas, más $\$100$ adicionales por día para gastos generales asociados (salarios, alquiler, servicios públicos, etc.). Modelar el costo diario de la entrega de donas orgánicas como una función del número de cajas entregadas. |
$C(x) = 2x + 100$
#[$C$ = daily cost to deliver organic donuts, $x$ = number of boxes delivered][$C$ = costo diario entregar donas rgánicas, $x$ = número de cajas entregadas]# |
2. Hay presentemente 50 películas en tu disco duro, y este número está creciendo por 2 películas por semana. Modelar el tamaño de tu colección como una función de tiempo. |
$N(t) = 2t + 50$
#[$N$ = number of movies, $t$ = time in weeks][$N$ = número de películas, $t$ = tiempo en semanas]# |
3. Invierto $\$900$ al 4% de interés anual compuesto trimestralmente. Hallar el valor de la inversión después de $t$ años. |
$V(t) = 900(1.01)^{4t}$
#[$V$ = value of investment, $t$ = time in years][$V$ = valor de la inversión, $t$ = tiempo en años]# (#[See][Mira]# %%partBtut.) |
4. Modelo de membresía de Facebook (2004–2009) |
$\displaystyle n(t) = \begin{cases} {4t} & \text{si } 0 \leq t \leq 3 \\{50t-138}& \text{si } 3 \lt t \leq 5 \end{cases}$
#[$n$ = number of members in millions, $t$ = time in years since 2004][$n$ = número de miembros en millones, $t$ = tiempo en años desde 2004]# (#[See the][Mira el]# %%prevtut.) |
Los ejemplos 1–3 son modelos analíticos, que se obtienen analizando la situación que se está modelando, mientras que el ejemplo 4 es un modelo de ajuste de curva, que se obtiene al hallar una fórmula matemática que se aproxima a los datos observados.
Modelos de costos, ingresos y ganancias
#[Take a look at the first example above, where the daily cost to deliver $x$ boxes of organic donuts is is expressed as a function of $x.$ This function is an example of a cost function. Notice that this particular cost function,][Eche un vistazo al primer ejemplo anterior, donde el costo entregar $x$ cajas de donas orgánicas se expresa como una función de $x.$ Esta función es un ejemplo de una función de costo. Observe que esta función de costos particular,]#
$C(x) = 2x + 100,$
(que resulta ser una función lineal) es una suma de dos partes: un costo constante o fijo $\$100$, que es el mismo independientemente del número $x$ de cajas entregaas, o "artículos," y un costo variable $2x,$ que sí depende de la cantidad de artículos:
Costo = Costo variable + Costo fijo
La cantidad 2 por sí sola es el costo incremental por llamada; es posible que la reconozcas como la pendiente de la función lineal dada. En este contexto llamamos a 2 el costo marginal. También puedes reconocer el costo fijo 100 como la intersección en $C$ de la función lineal de costos.
Función de costo
Una función de costo especifica el costo $C$ como una función del número de artículos $x.$ En consecuencia, $C(x)$ es el costo de $x$ artículos, y tiene la forma
Costo = Costo variable + Costo fijo
en la que el costo variable es una función de $x,$ y el costo fijo es una constante. Una función de costo de la forma
$C(x) = mx + b$
se llama una función lineal de costos; el costo variable es $mx$ mientras que el costo fijo es $b.$ La pendiente $m$ en una función lineal de costos es el costo marginal, y mide el costo incremental por artículo.
Ejemplos
El ejemplo que consideramos másrriba: El costo diario para su servicio de donas por preparar $x$ cajas de donas orgánicas es
$C(x) = 2x + 100\qquad$ \t #[$C$ = daily cost, $x$ = number of boxes prepared][$C$ = costo diario, $x$ = número de cajas preparados]#
(que resulta ser una función lineal). El costo fijo es $\$100$, el costo variable es $2x,$ y el costo marginal es $2.$
Un ejemplo para ti
Función de ingreso
El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si $I(x)$ es el ingreso por vender $x$ artículos al precio de $m$ cada uno, entonces $I$ es la función lineal $I(x) = mx$ y el precio de venta $m$ se puede tamién llamar ingreso marginal.
%%Example
Tu servicio de donas vende donas orgánicas en $\$4.50$ por caja. Por lo tanto, el ingreso por la venta de $x$ cajas es
$I(x) = 4.50x$ $\qquad$ \t $I$ = ingreso, $x$ = número de cajas vendidas
El ingreso marginal es $m = \$4.50$ por caja.
#[Profit Function][Función de ganancia]#
La ganancia (o beneficio monetario) es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos cuando se restan los costos. Si la ganancia depende linealmente del número de artículos, la pendiente $m$ se llama beneficio marginal. La ganancia, el ingreso y el costo se relacionan mediante la siguiente fórmula.
#[Profit][Ganancia]# \t ${}={}$ #[Revenue − Cost][Ingreso − Costo]#
\\ #[$P$][$G$]# \t #[${}= R - C$][${}= I - C$]#
#[If the profit is negative, say &minus\$500, we refer to a loss (of \$500 in this case). To break even means to make neither a profit nor a loss. Thus, break even occurs when $P = 0,$ or][Si la ganancia es negativa, digamos &menos\$500, nos referimos a una pérdida (de \$500 en este caso). Cubrir gastos significa no obtener ni ganancias ni pérdidas. Por lo tanto, el punto de equilibrio
se produce cuando $G = 0,$ o]#
#[$R = C \iff P = 0$][$I = C \iff G = 0$]# \t \t #[Break even][Equilibrio]#
El punto equilibrio es el número de articulos $x$ a lo cual se produce el equilibrio.
Ejemplo
Continuando con el escenario de los donas: dadas las funciones de costos e ingresos anteriores, la función de ganancias es
#[$P(x){}$][$G(x){}$]# \t #[${}= R(x) - C(x)$][${}= I(x) - C(x)$]#
\\ \t ${}= 4.5x - (2x + 100)$
\\ \t ${}= 2.5x - 100$
Para el punto de equilibrio, establecemos $G = 0:$
$G {}= 2.5x - 100 = 0$${}\ \implies x = \dfrac{100}{2.5} = 40$ #[boxes][cajas]#
Entonces, para evitar pérdidas, necesitarías vender 40 cajas de donas orgánicas.
Un ejemplo para ti
Funciones versus ecuaciones
%%Q #[In my business and finance courses, I learn about "demand equations, cost equations" etc, but here we appear to be talking about "demand functions, cost functions," and so on. What is the difference?][En mis cursos de negocios y finanzas, aprendo sobre "ecuaciones de demanda, ecuaciones de costos", etc. pero aquí parece que estamos hablando de "funciones de demanda, funciones de costos" y así. ¿Cuál es la diferencia?]#
%%A #[It's just really a question of how we express things. As mathematicians we ike to write equations in function form when possible, but we could equally have been talking about equations rather than functions. Here is a brief guide as to how to translate from the language of functions to that of equations and vice-versa:][En realidad es sólo una cuestión de cómo expresamos las cosas. Como matemáticos nos gusta escribir ecuaciones en forma de función cuando posible, pero igualmente podríamos haber estado hablando de ecuaciones en lugar de funciones. Aquí hay una breve guía sobre cómo traducir del lenguaje de funciones al de ecuaciones y viceversa:]#
#[Function and equation form of mathematical models][Forma de función y de ecuación de los modelos matemáticos]#
#[As an example, take another look at the cost and revenue functions for your donut operation:][Como ejemplo, echa otro vistazo a las funciones de costos e ingresos de su operación de donas:]#
$C(x) = 2x + 100$ $\qquad$ \t #[Cost function][Función de costos]#
\\ #[$R(x) = 4.5x$][$I(x) = 4.5x$]# \t #[Revenue function][Función de ingresos]#
#[Instead of using function notation, we could express the cost and revenue functions using equation notation:][En vez de usar notación de función, podemos expresar las funciones de costos y ingresos en la forma de ecuaciones:]#
$C = 2x + 100$ $\qquad \quad$ \t #[Cost equation][Ecuación de costos]#
\\ #[$R = 4.5x$][$I = 4.5x$]# \t #[Revenue equation][Ecuación de ingresos]#
#[Here, the independent variable is $x,$ and the dependent variables are $C$ and $R.$ Function form and equation form, using the same letter for the function name and the dependent variable, are often used interchangeably, so we can say, for example, that the cost equation above specifies $C$ as a function of $x.$][Aquí, la variable independiente es $x,$ y las variables dependientes son $C$ y $I.$ La forma de función y la forma de ecuación, que usan la misma letra para el nombre de la función y la variable dependiente, a menudo se usan indistintamente, por lo que podemos decir, por ejemplo, que la ecuación de costos anterior especifica $C$ como función de $x.$]#
Ahora prueba los ejercicios en la Sección 1.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
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Última actualización: septiembre 2023
Derechos de autor © 2019, 2023 Stefan Waner y Steven R. Costenoble
Derechos de autor © 2019, 2023 Stefan Waner y Steven R. Costenoble