Tutorial: Funciones y modelos lineales

Versión juego adaptivo

Este tutorial: Parte A: Pendiente y intersección

Ir a Parte B: Hallar la ecuación de una recta

Ir a Parte C: Aplicaciones: Modelos lineales

(Se puede encontrar este tema en a Sección 1.3 del libro Cálculo aplicado o la Sección 1.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

¿Qué es un tutorial juego adaptivo? ▶

Nota En este tutorial, hablamos solo de funciones lineales con valores reales de una sola variable. Entonces, cuando hablamos aquí de "funciones lineales" en realidad nos referimos a "funciones lineales de valor real de una sola variable". (Para ver cómo se ve una función general de valor real de una sola variable, consulta el %%functionstut. Para ver cómo se ve una función lineal de más de una variable, ve a %%sevvarstut.)

¿Qué es una función lineal?

En pocas palabras, una función lineal es aquella cuya gráfica es una recta (de ahí el término "lineal")

%%Q #[How do we recognize a linear function when we see one?][¿Cómo reconocemos una función lineal cuando la vemos?]#
%%A #[As follows][Como sigue]#: Una función lineal de valor real de una sola variable

Función lineal

#[A linear function is a function that can be written in the form][Una función lineal es una función que se puede escribir en la forma]#

$f(x) = mx + b$ \t \gap[20] #[Function form][Forma función]# \t \gap[20] #[Example][Ejemplo]#: $f(x) = 2x-1 \ \ $$(m=2, b=1)$ \\ $y = mx + b$ \t \gap[20] #[Equation form][Forma ecuación]# \t \gap[20] #[Example][Ejemplo]#: $y = 2x-1$

#[where $m$ and $b$ are fixed numbers (the names $m$ and $b$ are traditional). The graph of a linear function is a straight line: the term $mx$ in the formula for $y$ tells us that changing $x$ by any amount changes $y$ by $m$ times that amount (see the example below).][donde $m$ y $b$ son números fijos (los nombres $m$ y $b$ son tradicionales). La gráfica de una función lineal es una línea recta: el término $mx$ en la fórmula para $y$ nos dice que cambiar $x$ en cualquier cantidad cambia $y$ en $m$ veces esa cantidad (consulte el ejemplo a continuación).]#

Ejemplo

#[Plotting a couple of points of the equation $y = 2x - 1$ gives us the following result:][Trazando un par de puntos de la ecuación $y = 2x - 1$ nos da el siguiente resultados:]#

Tu turno

#[Meaning of m and b numerically and graphically][Significado de m y b numérica y gráficamente]#

Observa dos cosas sobre la tabla de valores para $f(x) = 2x-1$ y su gráfica en el ejemplo anterior:

En la tabla de valores, el valor de $f$ en $x = 0$ es $b = -1$; es decir, $f(0) = b = -1.$ En la gráfica, el número $b$ nos indica dónde la gráfica cruza el eje $y$, dándonos así un punto en la gráfica: $(0,b).$ Por esta razón llamamos a $b$ la intersección en $y$ de la línea.
Tanto en la tabla de valores como en la gráfica, a medida que avanza de izquierda a derecha, los valores de $y$ aumentan en $m = 2$ por cada aumento de 1 unidad en $x;$ en otras palabras, cambiando $x$ por cualquier cantidad da como resultado que $y$ cambie en $m = 2$ veces esa cantidad. Por esta razón, nos referimos a $m$ como la pendiente de la recta

#[From these observations we infer the following general facts:][De estas observaciones inferimos los siguientes hechos generales:]#,

#[Meaning of b:][Significado de b:]#

Numéricamente, b es el valor de la función en 0.
Por ejemplo, aquí nuevamente está la tabla para $y=2x-1.$ Cuando $x = 0, y = b = -1$ como se muestra:
Gráficamente, b es la intersección en y.
Por ejemplo, aquí nuevamente está la gráfico de $y=2x-1$ resaltando la intersección $-1$ en $y.$

#[Meaning of m:][Significado de m:]#

Numéricamente, f(x) aumenta en m unidades por cada aumento de una unidad en x.
Por ejemplo, si escaneas la fila $y$ en la tabla de valores, notarás que los valores aumentan en $m=2$ por cada cambio de $x$ en una unidad a medida que avanza de izquierda a derecha:
Gráficamente, te mueves verticalmente m unidades por cada unidad que te mueves horizontalmente a la derecha.
Por ejemplo, podemos ver este comportamiento en la gráfica de $y=2x -1,$ que tiene $m=2:$

%%Note Estas observaciones sugieren una forma alternativa de dibujar la gráfica de $y = mx + b:$

Graficar funciones lineales de forma sencilla

#[To quickly graph any linear function, first express it in the form $f(x) = mx + b$ and, if possible, write $m$ as a fraction. Then plot two points:][Para graficar rápidamente cualquier función lineal, primero exprésala en la forma $f(x) = mx + b$ y, si es posible, escribe $m$ como una fracción. Luego traza dos puntos:]#

Para el primer punto, toma cualquier punto conveniente de la recta; por ejemplo, la intersección $y$ $b$ en el eje $y$.: $f(0) = b$
Luego, con la pendiente escrito como una razon $\pm p/q$, mueve $q$ unidades hacia la derecha y $p$ unidades hacia arriba (o hacia abajo si $m$ es negativo) para conseguir un segundo punto. Al conectarlos obtienes la línea deseada.

Ejemplo

#[Positive slope][Pendiente positiva]#
$\qquad f(x) = 2x-1$

;

#[Negative slope][Pendiente negativa]#
$f(x) = -\dfrac{2x}{3}+1$

Tu turno

Cómo cambian x y y a medida que avanzamos a lo largo de una recta

En el ejemplo $f(x) = 2x-1$ al comienzo de este tutorial, notamos que a medida que avanzamos en la gráfica, $y$ cambia en $m = 2$ unidades por cada cambio de $1$ unidad en $x$, por lo que nos referimos a $m = 2$ como la pendiente de la línea. Hagamos estas nociones un poco más formales:

El cambio en una cantidad: notación Delta

#[If a quantity $q$ changes from $q_1$ to $q_2,$ we refer the the difference, $q_2-q_1,$ as the change in $q$, written as $\Delta q$ ("Delta $q$").][Si una cantidad $q$ cambia de $q_1$ a $q_2,$ nos referimos a la diferencia, $q_2-q_1,$ como el cambio en $q$, escrito como $\Delta q$ ("Delta $q$").]#

$\Delta q = q_2-q_1$ = $\Delta q$ #[equals second value minus first value][es igual al segundo valor menos el primer valor]#.

#[Examples][Ejemplos]#

#[If $y$ changes from $3$ to $1$, then][Si $y$ cambia de $3$ a $1$, entoncess]#
$\Delta y = y_2-y_1 = 1-3 = -2$. \gap[40] \t #[The negative change indicates that $y$ has decreased.][El valor negativo indica que $y$ ha disminuido.]#
#[If the temperature $T$ at 5 in the afternoon is identical, at 10°, to what it was at 5 in the morning, then][Si la temperatura $T$ a las 5 de la tarde es idéntica, a 10°, a la que era a las 5 de la mañana, entonces]#
$\Delta T = T_2-T_1 = 10-10=0$.

#[The zero change does not mean that the temperature has remained constant throughout the day; just that it ended up at the original value it had at 5AM. For this reason, saying that it is "unchanged" may be ambiguous.][El cambio de cero no significa que la temperatura se haya mantenido constante durante todo el día; solo que terminó en el valor original que tenía a las 5 a.m. Por esta razón, decir que "no ha cambiado" puede resultar ambiguo.]#
#[If $(x,y)$ changes from $(4,-1)$ to $(6,-4)$, then][Si $(x,y)$ cambia de $(4,-1)$ a $(6,-4)$, entoncess]#
$\Delta x = x_2-x_1 = 6-4 = 2$. \gap[40] \t #[$x$ has increased by 2.][$x$ ha aumentado por 2.]# \\ $\Delta y = y_2-y_1 = -4-(-1) = -3$. \gap[40] \t #[$y$ has decreased by 3.][$y$ ha disminuido por 3.]#

#[Slope as a quotient of changes: Calculating the slope][Pendiente como cociente de cambios: Calcular la pendiente]#

Refiriéndose nuevamente a nuestro ejemplo $f(x) = 2x-1$, ahora podemos decir que, a medida que avanzamos en la gráfica, $y$ cambia en $\Delta y = m = 2$ unidades por cada cambio de $1$ unidad $\Delta x$ en $x$. En otras palabras, la relación $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ siempre es lo mismo, e igual a $m = 2$ en nuestro ejemplo.

$\color{darkred}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{6}{3} = 2}$

$\color{darkgreen}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{4}{2} = 2}$

$\color{blue}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{2}{1} = 2}$

#[In general][En general,]#

#[Slope of a line][Pendiente de una recta]# $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

[De la fórmula vemos que la pendiente es positiva cuando $\Delta x$ y $\Delta y$ tienen el mismo signo, y negativa cuando tienen signos opuestos. El cociente $\Delta x/\Delta y$ que define el pendiente, siendo un cociente de dos diferencias, a menudo se denomina cociente de diferencias.

#[Examples][Ejemplos]#

1. La recta que pasa por $(-3,1)$ y $(5,2)$ tiene pendiente

$m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ \t ${}=\dfrac{2-1}{5-(-3)} = \dfrac{1}{8}.$

2. A continuación se muestran dos rectas; uno con pendiente positiva ($\Delta x$ y $\Delta y$ tienen el mismo signo) y otro con pendiente negativa ($\Delta x$ y $\Delta y$ tienen signo opuesto):

$(x_1,y_1)=(1,1)$, $(x_2,y_2)=(5,7)$

$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{7-1}{5-1} = \dfrac{6}{4}= \dfrac{3}{2}$

\t \t

$(x_1,y_1)=(1,7)$, $(x_2,y_2)=(5,1)$

$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1-7}{5-1} = \dfrac{-6}{4}= -\dfrac{3}{2}$

#[$\Delta y$ is sometimes referred to as the "rise" (the amount the line goes up from left to right) and $\Delta x$ is referred to as the "run." In both graphs, the run is $\Delta x=4,$ but the rise $\Delta y$ is negative in the second graph. Notice also that switching the numbering of the two points results in the same quotient in either calculation (as both the numerator and denominator would change sign).][$\Delta y$ a veces se denomina "subida" (la cantidad que la línea sube de izquierda a derecha) y $\Delta x$ se denomina "corrida". En ambas gráficas, la corrida es $\Delta x = 4,$ pero la subida $\Delta y$ es negativa en la segunda gr´fica. Observa también que intercambiar la numeración de los dos puntos da como resultado el mismo cociente en cualquier cálculo (ya que tanto el numerador como el denominador cambiarían de signo).]#

#[Some for you][Algunos para ti]#

Familiarizarse con algunas pendientes

Ahora prueba algunos de los ejercicios en a Sección 1.3 del libro Cálculo aplicado o la Sección 1.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al parte B de este tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.