Tutorial: Funciones y modelos lineales

Versión juego adaptivo

Este tutorial: Parte B: Hallar la ecuación de una recta

Ir a Parte C: Aplicaciones: Modelos lineales

(Se puede encontrar este tema en la Sección 1.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

¿Qué es un tutorial juego adaptivo? ▶

Nota Para utilizar este tutorial, debes estar familiarizado con los conceptos de pendiente y intersección en$y$ de una recta en el plano de coordenadas. Consulte %%partAtut para revisar estos conceptos.

En %%partAtut estudiamos el significado de la pendiente $m$ y la intersección $b$ con el eje $y$ en una función lineal $f(x) = mx + b$, pero no pasamos mucho tiempo hablando de cómo obtener una función lineal en primer lugar.

Por supuesto, si te dan $m$ y $b$, no hay más trabajo que hacer; por ejemplo, la función lineal con $m = 3$ y $b = -4$ es $f(x) = 3x - 4$. Sin embargo, a menudo sucede que no se te proporciona la pendiente y la intersección en $y$ directamente.

Dado la pendiente y un punto

Si conoces la pendiente de una recta (así sabes qué tan inclinada es la recta) y las coordenadas de un solo punto en esa recta, entonces debes saber qué recta es, ya que solo puede haber solo una recta que pase por ese punto con esa pendiente en particular: Comienza en el punto dado, avanza una unidad hacia la derecha y $m$ unidades verticalmente (hacia arriba si $m$ es positivo o hacia abajo si $m$ es negativo) para obtener el segundo punto. Conectarlos da la recta deseada.

%%Q #[OK, so we would know how to draw it. But how do we get its equation?][Bien, entonces sabríamos cómo dibujarlo. Pero ¿cómo obtenemos su ecuación?]#
%%A #[As follows][Como sigue]#: #[Let's call the given point $(x_1, y_1).$ Then , if $(x, y)$ is any (other) point on the line, the slope has to be][Llamemos al punto dado $(x_1, y_1).$ Entonces, si $(x, y)$ es cualquier (otro) punto de la recta, la pendiente tiene que ser]#

$\dfrac{1}{1}$$m$ \t ${}= \dfrac{y - y_1}{x - x_1},$ \gap[30] #[so][por lo que]# \\ $y - y_1$ \t ${}=m(x-x_1).$

#[Solving for $y$ gives][Despejar a $y$ nos da]#

$y = y_1 + m(x-x_1).$ \t \gap[40] #[Traditional version of the point-slope formula][Versión tradicional de la fórmula punto-pendiente.]#

#[Distributing the $m$ gives][Distribuir la $m$ da]#

$y = mx + (y_1 - mx_1),$

#[so that the $y$-intercept is][por lo que la intersección en $y$ es]#

$b = (y_1 - mx_1),$

Fórmula punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por $(x_1, y_1)$ con pendiente $m$ es

$y = mx + b$ \gap[40] \t #[where][donde]# \\ $b = y_1 - mx_1$. \t #[value of $b$][valor de $b$]#

Cuando aplicar la formula punto-pendiente

Se aplica la formula punto-pendiente para hallar la ecuación de una recta siempre que se cuenta con la información de un punto en la recta y su pendiente. La formula no aplica si la recta es vertical, por lo que su pendiente no es definida.

Ecuación de una ecta vertical Si la recta es vertical, su pendiente no está definida, y la recta tiene la ecuación $x = c$, una constante. Por lo tanto, la recta vertical que pasa por el punto $(p,q)$ tiene la ecuación $x = p.$

Ejemplos

La recta que pasa por $(2,-3)$ con pendiente $4$ tiene

$y = mx + b = 4x - 11$.

Tu turno

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 1.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.