Funciones y modelos logísticos y logarítmicos

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(Se puede encontrar este tema en la Sección 2.4 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

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Recursos

Evaluador y gráficador de funciones

Gráficador Excel

Funciones logísticas: Básicos

La siguiente gráfica muestra la población total de Groenlandia, en miles, de 1950 a 2050 ($t = 0$ representa 1950):

#[Data for $t \geq 75$ are projections. Sources:][los datos para $t \geq 75$ son proyecciones. Fuentes:]# https://www.worldometers.info/world-population/greenland-population/ #[and][y]# Wikipedia

Durante los primeros 20 años del período que se muestra, la población de Groenlandia aumentó a una tasa acelerada que nos recuerda un crecimiento exponencial (ver el %%ExpFuncsTut). Sin embargo, después de ese tiempo, el crecimiento de la población se desaceleró y finalmente se estabilizó en alrededor de 57,000. Este tipo de comportamiento (crecimiento exponencial seguido de nivelación) es común en las curvas de población, así como en otras situaciones como la propagación de epidemias o la demanda para una nueva tecnología, y los tipos de funciones que usamos para modelarlo son las funciones logísticos.

Funcion logística

Las funciones logísticas tienen la siguiente forma:

$f(x) = \dfrac{N}{1 + Ab^{-x}}$ \t \gap[10] $A, N,$ %%and $b$ #[positive constants with][constantes positivas con]# $b \neq 1.$

Sus gráficas tienen forma de S, como se muestra a continuación; aumentando (como la gráfica de población anterior) cuando $b \gt 1$ y disminuyendo cuando $b \lt 1$:

#[Increasing when ][Aumentando cuando ]# $b \gt 1$

#[Decreasing when ][Disminuyendo cuando ]# $b \lt 1$

#[More features of the graphs][Más características de las gráficas]#

Ambas curvas están intercaladas entre las rectas horizontales $y = 0$ y $y = N$ y se aproximan a esas rectas para valores absolutos grandes de $x.$
Las curvas son simétricas con respecto al punto de inflexión indicado que ocurre cuando la curva es más empinada, en $x = \dfrac{\ln A}{\ln b}$ #[and][y]# $y = \dfrac{N}{2}.$
Las curvas cruzan el eje-$y$ cuando $\dfrac{N}{1 + A}.$

%%Examples

1. #[The logistic function][La función logística]# $f(x) = \dfrac{12}{1+2.3(1.5^{-x})}$ #[has][tiene]# $N= 12, A = 2.3,$ %%and $b = 1.5.$

#[As][Ya que]# $b \gt 1$, #[the graph rises with increasing $x.$][la gráfica aumenta con el aumento de $x.$]#
#[The limiting value of $f$ for large $x$ is $N = 12.$][El valor límite de $f$ para $x$ grande es $N = 12.$]#
#[$f$ is increasing most rapidly at the point of inflection,][$f$ aumenta más rápidamente en el punto de inflexión,]#
$x = \dfrac{\ln A}{\ln b} = \dfrac{\ln 2.3}{\ln 1.5} \approx 2.05.$ %%and $y = \dfrac{N}{2} = 6.$
#[The $y$-intercept occurs when][La intersección-$y$ ocurre cuando]#
$y = \dfrac{N}{1+A} = \dfrac{12}{1+2.3} \approx 3.64$

Graph:

2. #[One for you][Uno para ti]#

3. La gráfica que muestra los datos de población de Groenlandia sugiere una curva logística creciente. Aquí lo vemos con una curva logitica superpuesta.

$\displaystyle P(t) = \frac{57}{1+1.8(1.1^{-t})} \qquad$ $N = 57, A = 1.8, b = 1.1$

Podemos usar las propiedades de las curvas logísticas para hacer algunas inferencias sobre la población de Groenlandia:

Según el modelo,

Para valores grandes de $t$, los valores de $P(t)$ se aproximan a $N = 57,$ por lo que, a largo plazo, se puede predecir que la población de Groenlandia se estabilizará en alrededor de 57 000.
El punto de inflexión ocurre cuando
$t = \dfrac{\ln A}{\ln b} = \dfrac{\ln 1.8}{\ln 1.1} \approx 6.2,$
lo que indica que la población de Groenlandia estaba creciendo más rápido durante 1956 ($t = 6.2)$.
La intersecci&ocaute;n en el eje-$P$ es
$P = \dfrac{N}{1+A} = \dfrac{57}{1+1.8} \approx 20.4,$
lo que indica que la población de Groenlandia era de unos 20,400 en 1950 ($t = 0$).

#[Exponential approximation of logistic functions][Aproximación exponencial de funciones logísticas]#

#[Take a look once again at the graph of a logistic function for $b \gt 1$: ][Eche un vistazo una vez más a la gráfica de una función logística para $b \gt 1$:]#

$y = \dfrac{N}{1 + Ab^{-x}}$

#[Far to the left of the point of inflection, the curve looks like an exponential curve with the same base $b$:][Lejos a la izquierda del punto de inflexión, la curva parece una curva exponencial con el mismos base $b$:]#

#[Exponential curve:][Curva exponencial:]# $y = \left(\dfrac{N}{A}\right)b^x$

Observa que la fórmula para la aproximación exponencial se puede obtener de la ecuación original simplemente ignorando el "1" en el denominador:

$y = \dfrac{N}{Ab^{-x}}$ \t \gap[20] #[Logistic formula with the "1" dropped][Fórmula logística con el "1" eliminado]# \\ \\ $=\left(\dfrac{N}{A}\right)b^x\ \ $ \t \gap[20] #[Rules of exponents][Reglas de exponentes]#

Brevemente, la razón por la que abraza la curva logística tan de cerca es que, a la izquierda de la gráfica (cuando $y$ es mucho menor que el valor límite $N$), los valores de $Ab^{-x}$ son mucho mayores que 1, por lo que podemos ignorar el 1.

#[Application: Epidemics][Aplicación: Epidemias]#

La tercera ola "gamma" de la epidemia de COVID-19, que alcanzó su punto máximo en los EE. UU. durante diciembre de 2020, infectó a un total estimado de 45 millones de personas en los EE. UU. El 22 de agosto de 2020, se infectaron aproximadamente 900,000 personas y este número estaba creciendo en un 3,5% cada día.* Modela el número de personas infectadas con una función logística.

Respuesta
Nuestro modelo tendrá la forma $P(t) = \dfrac{N}{1+Ab^{-t}}$ donde $P(t)$ será el número de personas infectadas $t$ días después del 22 de agosto de 2020. Ya tenemos los valores de dos de los tres parámetros: $N$ y $b$:

$N = 45$ \gap[10] \t Número total, en milones, eventualmente infectado \\ $b = 1.035$ \gap[10] \t Creciendo en un 3,5% por día \\ Intersección $\dfrac{N}{1+A} = 0.9$ \gap[10] \t $P = 0.9$ millón cuando $t = 0$ \\ $\dfrac{45}{1+A} = 0.9$

Resolviendo la última ecuación para $A$ da $A = 49,$ por lo que nuestro modelo es

$\displaystyle N = \frac{45}{1+49(1.035)^{-t}}$ #[million people infected][millones de personas infectadas]#

* #[The estimates are based on our own modeling of the first year of the COVID-19 epidemic in the U.S., as detailed in][Las estimaciones se basan en nuestro propio modelo del primer año de la epidemia de COVID-19 en los EE. UU., como se detalla en]# la Sección 11.CS en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado (#[8th ed][8ª ed]#.)

#[Now that we have the model, we can use it to estimate when the the gamma wave peaked in the U.S.: At the point of inflection the curve is steepest, indicating the day with greatest fastest rate of growth of the epidemic; that is, the day whn the most new cases occurred. According to the model this happened when][Ahora que tenemos el modelo, podemos usarlo para estimar cuándo la onda gamma alcanzó su punto máximo en los EE. UU.: en el punto de inflexión, la curva es más pronunciada, lo que indica el día con la tasa de crecimiento más rápida de la epidemia; es decir, el día en que se presentaron más casos nuevos. Según el modelo esto sucedió cuando]#

$t =\dfrac{\ln A}{\ln b} = \dfrac{\ln 49}{\ln 1.035} \approx 113.1,$

#[corresponding to December 13, 2020. On that day, the model estimates that a total of][correspondiente al 13 de diciembre de 2020. En ese día, el modelo estima que un total de]#.

$P(113) = \dfrac{45}{1 + 49(1.035^{-113})} \approx 22.45$ #[million people][millones de personas]#

#[had been infected with the gamma variant. (If we include the alpha and beta variants, an estimated total of around 49.5 milion had in fact been infected in the U.S. by that date by one of the alpha, beta, or gamma variants acording to the Institute for Health Metrics and Evaluation (IHME).)][había sido infectado con la variante gamma. (Si incluimos las variantes alfa y beta, de hecho, un total estimado de alrededor de 49,5 millones habían sido infectados en los EE. UU. para esa fecha por una de las variantes alfa, beta o gamma según el Instituto de Métricas y Evaluación de la Salud (IHME).)]#

Ahora prueba algunos de los ejercicios en la Sección 2.4 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.