Tutorial: Logaritmos

Versión juego

(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.8 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

Adaptive game tutorial
Este tutorial juego adaptativo te ayudará a dominar este tema de una manera que se adapte a tu capacidad mientras practicas las preguntas.
Si esta es la primera vez que estudias la materia, puedes encontrar que requieres más ayuda, y como resultado tus resultados del juego podrían terminar más bajo, o incluso puedes "morir". ¡No te desanimes! Simplemente pulsa "Juego nuevo" para jugar el juego tantas veces como sea necesario con el fin de requerir menos ayuda y mejorar tus resultados.
También puedes probar la versión no-juego (vínculo de al lado), que no te da resultados, no es al azar o de adaptación y te da todas las respuestas, pero no te dará práctica adicional al nivel que necesitarías.
Para completar este juego tienes que responder a todas las preguntas correctamente; se te permite hacer varios intentos para ciertas preguntas.
Las preguntas son al azar: Puedes esperar a ver un montón de diferencias cada vez que cargas la página.
Pulsa "Puntos" en cualquier momento para mostrar los resultados que tienes actualmente.
El juego es automaticamente guardado. Reiniciar el juego en tu computaroda con el mismo navigador lanzará el juego guardado.
Pulsa "Nuevo juego" para desechar el juego guardado y empezar un juego nuevo.
Precaución: ¡Hacer clic en las pequeñas imágenes que aparecen de vez en cuando a la izquierda puede tener consecuencias inesperadas! Es posible que desees experimentar con ellos; ¡esto es un juego, después de todo!

%%Note Antes de continuar, asegúrete de sentirte cómodo con los exponentes; si no, primero visita el %%exponentstut.

Logaritmos son exponentes

Recuerdq del %%exponentstut que, en la expresión $b^n$, $b$ se llama la base y $n$ se llama el exponente. Por lo tanto, cuando, por ejemplo, excribimos

$2^3 = 8$, estámos diciendo que elevar el base 2 al exponents 3 nos da 8. Dico de otra manera (¡bastante retorcida!),

El exponente al que debes elevar el base 2 para obtener 8 es 3. En la idioma de logaritmos, estamos diciendo que

El logaritmo en base 2 de 8 es 3. y ecscribimos

$\log_2 8 = 3 \qquad$	#[The logarithm with base 2][El logarítmo en base 2]#	#[of 8][de 8]#	#[equals 3][es igual a 3]#.
	↑	↑	↑
#[The exponent to which you must raise the base 2][El exponente al que debes elevar el base 2]#		#[to obtain 8][para obtener 8]#	#[equals 3][es igual a 3]#.

Por lo tanto, como sugiere el título, los logaritmos son nada más que exponentes.

Logaritmo en base b

El logaritmo de $x$ en base $b$, $\log_bx$, es el exponente a la cual hay que elevar $b$ para obtener $x$. Simbólicamente,

$\log_bx = y$ \t #[means][significa]# \t $b^y=x$. \\ Forma logarItmica \t \t Form expnencial

#[Put another way][Dicho de otra manera]#,

$b^{\log_bx} = x$. \\ ¡Elevar $b$ al exponente a lo que necesita elevar $b$ para obtener $x$ es $x$!

%%Note
1. $\log_b x$ se define solo si tanto $b$ %%and $x$ son positivos, y $b \neq 1$.
2. $\log_{10} x$ se llama el logaritmo común de $x$ y a veces se escribe como $\log x$.

Vídeo sugerido para este tema: Video por INTERactúa

%%Examples

En la siguiente tabla enumeramos algunas ecuaciones exponenciales y sus formas logarítmicas equivalentes.

Form expnencial	Forma logarItmica
$4^2=16$	$\log_416=2$
$2^3=8$	$\log_28=3$
$10^3=1{,}000$	$\log_{10}1{,}000=3\ $ %%or $\ \log 1{,}000 = 3$
$5^1=5$	$\log_55=1$
$7^0=1$	$\log_71=0$
$4^{-2}=\dfrac{1}{16}$	$\log_4\left(\dfrac{1}{16}\right)=-2$
$10^{-1}=\dfrac{1}{10}$	$\log_{10}\left(\dfrac{1}{10}\right)=-1\ $ %%or $\ \log\left(\dfrac{1}{10}\right)=-1$
$25^{1/2}=5$	$\log_{25}5=\dfrac{1}{2}$

Álgebra de los logaritmos

Las leyes de los exponentes en el %%exponentstut se pueden traducir en reglas para manipular logaritmos:

Identidades logarítmicas

#[The following identities work for all positive bases $a \neq 1$ and $b \neq 1$, all positive numbers $x$ and $y$, and every real number $r$.][Las siguientes identidades son válidas para todas las bases positivas $a \neq 1$ y $b \neq 1$, todos los números positivos $x$ y $y$, y cada número real $r$.]#

Identidad	Ejemplos
$\log_b(xy)$${}= \log_bx + \log_by$ El logaritmo de un producto es la suma de los lgaritmos.	$\log_{5}6$${}= \log_5(3 \times 2)$${}= \log_{5}4 + \log_{5}2$ $\log_b4 + \log_b2$${}= \log(4\times 2)$${}=\log_b8$ $\log_2 12$${}= \log_2(2 \times 2 \times 3)$${}=\log_22 + \log_22 + \log_23$${}= 2\log_22 + \log_23$
$\log_b\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_bx - \log_by$ #[The logarithm of a quotient equals the difference of the logarithms.][El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos.]#	$\log_5\left(\dfrac{4}{3}\right)$${}=\log_b4 - \log_b3$ $\log_b12 - \log_b3$${}=\log_5\left(\dfrac{12}{3}\right)$${}= \log_b4$ $\log\left(\dfrac{4}{9}\right)$${}=\log4 - \log9$${}=\log4 - (\log3 + \log3)$${}=\log4 - 2\log3$
$\log_b(x^r) = r\log_bx$ El logaritmo de una potencia $r$ es igual a $r$ por el logaritmo.	$\log_2(4^3) = 3\log_{2}4$ $4\log_bx = \log_bx^4$ $\log_a(24) = \log_a(2^3 \times 3)$${}=\log_a(2^3) + \log_a 3$${}=3\log_a 2 + \log_a 3$
$\log_bb = 1$ #[and][y]# $\log_b1 = 0$ #[The base $b$ logarithm of $b$ is $1$, and the logarithm of $1$ is $0$.][El logaritmo de $b$ en base $b$ es $1$, y el logaritmo de $1$ es $0$.]#	$\log_{5}5=1$ $\log_61=0$
$\log_b\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\log_bx$ El logaritmo de un recíproco es el negativo del logaritmo.	$\log_4\left(\dfrac{1}{6}\right) = -\log_{4}5$ $-\log 4 = \log 0.25$
$\log_bx = \dfrac{\log_ax}{\log_ab}$ "Cambio del base:" El logaritmo de $x$ en base $b$ es el logaritmo de $x$ sobre el logaritmo del base.	$\log_47 = \dfrac{\log 7}{\log 4}$ $\log_23 = \dfrac{\log_53}{\log_52}$
$\log_b b^r = r$ #[and][y]# $b^{\log_b r} = r$ El logaritmo en base b de b elevado a una potencia es esa potencia, y b elevado al logaritmo en base b de una potencia es esa potencia.	$\log_4(4^7) = 7$ $\log 10^8 = 8$ $10^{\log 8} = 8$

Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me

Despejar a incógnitas en el exponente

Los logaritmos son muy útiles para resolver ecuaciones donde lo desconocido está en el exponente. Primero revisa el siguiente ejemplo y ambos métodos de solución, y luego prueba los otros por tu cuenta:

%%Example: #[Solve for $x$:][Despeja a $x$:]# $\quad 5^{2x} = \dfrac{1}{125}$.

#[Solution Method 1: Take the logarithm of both sides (always works).][Solución méodo 1: Toma el logarítmo de ambos lados (siempre funciona).]#

La dada ecuación \gap[20] \t $5^{2x} = \dfrac{1}{125}$ \\ Toma el logaritmo de ambos lados. \gap[20] \t $\log (3^{2x})=\log \left(\dfrac{1}{125}\right)$ \\ Usa el álgebra de logaritmos para simplificar. \gap[20] \t $2x\log 5 = -\log 125$ \\ Despeja a $x$. \gap[20] \t $x=-\dfrac{\log 125}{2\log 5}$

En este caso, podemos usar nuevamente el álgebra de logaritmos para obtener la respuesta en forma más simple:

$x=-\dfrac{\log 125}{2\log 5}$ \t ${}= -\dfrac{\log (5^3)}{2\log 5}$ \\ \t ${}= -\dfrac{3\log 5}{2\log 5}$ \t \gap[40] #[Logarithm of a power][Logaritmo de una potencia]# \\ \t ${}= -\dfrac{3}{2}$ \t \gap[40] #[Cancel the][Cancela el]# $\log 5$.

#[Solution Method 2: Convert to logarithmic form (works only if the the equation can be written in the form $b^c = A$, but leads to a simpler-looking answer more rapidly than Method 1).][Solución méodo 2: Convertir a forma logarítmico (funciona solo si se puede escribir la ecuación en la forma $b^c = A$, pero lleva a una respuesta simple más rápido que el método 1).]#

La data ecuación \gap[20] \t $5^{2x} = \dfrac{1}{125}$ \\ Asegúrate de que está escrita en la forma $b^c = A$. \gap[20] \t ¡Sí la está! \\ Reescríbela en forma logarítmico. \gap[20] \t $2x=\log_5\left(\dfrac{1}{125}\right)$ \\ Simplifica y/o evalua el logaritmo.* \gap[20] \t $2x=-\log_5 125 = -\log_5(5^3) = -3$ \\ Despeja a $x$. \gap[20] \t $x=-\dfrac{3}{2}$

* Si evaluar el logaritmo da como resultado un número irracional, a menudo es mejor dejarlo como un logaritmo en lugar de usar una aproximación decimal.

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.8 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.