Tutorial: Logaritmos
Versión juego
(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.8 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
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Logaritmos son exponentes
Recuerdq del %%exponentstut que, en la expresión $b^n$, $b$ se llama la base y $n$ se llama el exponente. Por lo tanto, cuando, por ejemplo, excribimos
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$2^3 = 8$,
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El exponente al que debes elevar el base 2 para obtener 8 es 3.
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El logaritmo en base 2 de 8 es 3.
| $\log_2 8 = 3 \qquad$ | #[The logarithm with base 2][El logarítmo en base 2]# | #[of 8][de 8]# | #[equals 3][es igual a 3]#. |
| ↑ | ↑ | ↑ | |
| #[The exponent to which you must raise the base 2][El exponente al que debes elevar el base 2]# | #[to obtain 8][para obtener 8]# | #[equals 3][es igual a 3]#. | |
Logaritmo en base b
El logaritmo de $x$ en base $b$, $\log_bx$, es el exponente a la cual hay que elevar $b$ para obtener $x$. Simbólicamente,
$\log_bx = y$ \t #[means][significa]# \t $b^y=x$.
\\ Forma logarItmica \t \t Form expnencial
#[Put another way][Dicho de otra manera]#,
1. $\log_b x$ se define solo si tanto $b$ %%and $x$ son positivos, y $b \neq 1$.
2. $\log_{10} x$ se llama el logaritmo común de $x$ y a veces se escribe como $\log x$. Vídeo sugerido para este tema: Video por INTERactúa
$b^{\log_bx} = x$.
\\ ¡Elevar $b$ al exponente a lo que necesita elevar $b$ para obtener $x$ es $x$!
%%Note
1. $\log_b x$ se define solo si tanto $b$ %%and $x$ son positivos, y $b \neq 1$.
2. $\log_{10} x$ se llama el logaritmo común de $x$ y a veces se escribe como $\log x$. Vídeo sugerido para este tema: Video por INTERactúa
%%Examples
En la siguiente tabla enumeramos algunas ecuaciones exponenciales y sus formas logar’tmicas equivalentes.
| Form expnencial | Forma logarItmica |
| $4^2=16$ | $\log_416=2$ |
| $2^3=8$ | $\log_28=3$ |
| $10^3=1{,}000$ | $\log_{10}1{,}000=3\ $ %%or $\ \log 1{,}000 = 3$ |
| $5^1=5$ | $\log_55=1$ |
| $7^0=1$ | $\log_71=0$ |
| $4^{-2}=\dfrac{1}{16}$ | $\log_4\left(\dfrac{1}{16}\right)=-2$ |
| $10^{-1}=\dfrac{1}{10}$ | $\log_{10}\left(\dfrac{1}{10}\right)=-1\ $ %%or $\ \log\left(\dfrac{1}{10}\right)=-1$ |
| $25^{1/2}=5$ | $\log_{25}5=\dfrac{1}{2}$ |
Álgebra de los logaritmos
Las leyes de los exponentes en el %%exponentstut se pueden traducir en reglas para manipular logaritmos:
Identidades logarítmicas
#[The following identities work for all positive bases $a \neq 1$ and $b \neq 1$, all positive numbers $x$ and $y$, and every real number $r$.][Las siguientes identidades son válidas para todas las bases positivas $a \neq 1$ y $b \neq 1$, todos los números positivos $x$ y $y$, y cada número real $r$.]#
Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me
| Identidad | Ejemplos |
| $\log_b(xy)$${}= \log_bx + \log_by$
El logaritmo de un producto es la suma de los lgaritmos. |
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| $\log_b\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_bx - \log_by$
#[The logarithm of a quotient equals the difference of the logarithms.][El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos.]# |
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| $\log_b(x^r) = r\log_bx$
El logaritmo de una potencia $r$ es igual a $r$ por el logaritmo. |
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| $\log_bb = 1$ #[and][y]# $\log_b1 = 0$
#[The base $b$ logarithm of $b$ is $1$, and the logarithm of $1$ is $0$.][El logaritmo de $b$ en base $b$ es $1$, y el logaritmo de $1$ es $0$.]# |
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| $\log_b\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\log_bx$
El logaritmo de un recíproco es el negativo del logaritmo. |
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| $\log_bx = \dfrac{\log_ax}{\log_ab}$
"Cambio del base:" El logaritmo de $x$ en base $b$ es el logaritmo de $x$ sobre el logaritmo del base. |
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| $\log_b b^r = r$ #[and][y]# $b^{\log_b r} = r$
El logaritmo en base b de b elevado a una potencia es esa potencia, y b elevado al logaritmo en base b de una potencia es esa potencia. |
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Despejar a incógnitas en el exponente
Los logaritmos son muy œtiles para resolver ecuaciones donde lo desconocido est‡ en el exponente. Primero revisa el siguiente ejemplo y ambos mŽtodos de soluci—n, y luego prueba los otros por tu cuenta:
%%Example:
#[Solve for $x$:][Despeja a $x$:]# $\quad 5^{2x} = \dfrac{1}{125}$.
#[Solution Method 1: Take the logarithm of both sides (always works).][Solución méodo 1: Toma el logarítmo de ambos lados (siempre funciona).]#
La dada ecuaci—n \gap[20] \t $5^{2x} = \dfrac{1}{125}$
\\ Toma el logaritmo de ambos lados. \gap[20] \t $\log (3^{2x})=\log \left(\dfrac{1}{125}\right)$
\\ Usa el ‡lgebra de logaritmos para simplificar. \gap[20] \t $2x\log 5 = -\log 125$
\\ Despeja a $x$. \gap[20] \t $x=-\dfrac{\log 125}{2\log 5}$
En este caso, podemos usar nuevamente el ‡lgebra de logaritmos para obtener la respuesta en forma m‡s simple:
$x=-\dfrac{\log 125}{2\log 5}$ \t ${}= -\dfrac{\log (5^3)}{2\log 5}$
\\ \t ${}= -\dfrac{3\log 5}{2\log 5}$ \t \gap[40] #[Logarithm of a power][Logaritmo de una potencia]#
\\ \t ${}= -\dfrac{3}{2}$ \t \gap[40] #[Cancel the][Cancela el]# $\log 5$.
#[Solution Method 2: Convert to logarithmic form (works only if the the equation can be written in the form $b^c = A$, but leads to a simpler-looking answer more rapidly than Method 1).][Solución méodo 2: Convertir a forma logarítmico (funciona solo si se puede escribir la ecuación en la forma $b^c = A$, pero lleva a una respuesta simple más rápido que el método 1).]#
La data ecuaci—n \gap[20] \t $5^{2x} = \dfrac{1}{125}$
\\ Asegœrate de que está escrita en la forma $b^c = A$. \gap[20] \t ¡S’ la está! \\ Reescríbela en forma logarítmico. \gap[20] \t $2x=\log_5\left(\dfrac{1}{125}\right)$
\\ Simplifica y/o evalua el logaritmo.* \gap[20] \t $2x=-\log_5 125 = -\log_5(5^3) = -3$
\\ Despeja a $x$. \gap[20] \t $x=-\dfrac{3}{2}$
* Si evaluar el logaritmo da como resultado un nœmero irracional, a menudo es mejor dejarlo como un logaritmo en lugar de usar una aproximaci—n decimal.
Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.8 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
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