Tutorial: Logaritmos

Versión juego adaptivo

(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.8 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

¿Qué es un tutorial juego adaptivo? ▶

%%Note Antes de continuar, asegúrete de sentirte cómodo con los exponentes; si no, primero visita el %%exponentstut.

Logaritmos son exponentes

Recuerdq del %%exponentstut que, en la expresión $b^n$, $b$ se llama la base y $n$ se llama el exponente. Por lo tanto, cuando, por ejemplo, excribimos

$2^3 = 8$, estámos diciendo que elevar el base 2 al exponents 3 nos da 8. Dico de otra manera (¡bastante retorcida!),

El exponente al que debes elevar el base 2 para obtener 8 es 3. En la idioma de logaritmos, estamos diciendo que

El logaritmo en base 2 de 8 es 3. y ecscribimos

$\log_2 8 = 3 \qquad$	#[The logarithm with base 2][El logarítmo en base 2]#	#[of 8][de 8]#	#[equals 3][es igual a 3]#.
	↑	↑	↑
#[The exponent to which you must raise the base 2][El exponente al que debes elevar el base 2]#		#[to obtain 8][para obtener 8]#	#[equals 3][es igual a 3]#.

Por lo tanto, como sugiere el título, los logaritmos son nada más que exponentes.

Logaritmo en base b

El logaritmo de $x$ en base $b$, $\log_bx$, es el exponente a la cual hay que elevar $b$ para obtener $x$. Simbólicamente,

$\log_bx = y$ \t #[means][significa]# \t $b^y=x$. \\ Forma logarItmica \t \t Form expnencial

#[Put another way][Dicho de otra manera]#,

$b^{\log_bx} = x$. \\ ¡Elevar $b$ al exponente a lo que necesita elevar $b$ para obtener $x$ es $x$!

%%Note
1. $\log_b x$ se define solo si tanto $b$ %%and $x$ son positivos, y $b \neq 1$.
2. $\log_{10} x$ se llama el logaritmo común de $x$ y a veces se escribe como $\log x$.

Vídeo sugerido para este tema: Video por INTERactúa

%%Examples

En la siguiente tabla enumeramos algunas ecuaciones exponenciales y sus formas logarátmicas equivalentes.

Form expnencial	Forma logarItmica
$4^2=16$	$\log_416=2$
$2^3=8$	$\log_28=3$
$10^3=1{,}000$	$\log_{10}1{,}000=3\ $ %%or $\ \log 1{,}000 = 3$
$5^1=5$	$\log_55=1$
$7^0=1$	$\log_71=0$
$4^{-2}=\dfrac{1}{16}$	$\log_4\left(\dfrac{1}{16}\right)=-2$
$10^{-1}=\dfrac{1}{10}$	$\log_{10}\left(\dfrac{1}{10}\right)=-1\ $ %%or $\ \log\left(\dfrac{1}{10}\right)=-1$
$25^{1/2}=5$	$\log_{25}5=\dfrac{1}{2}$

Álgebra de los logaritmos

Las leyes de los exponentes en el %%exponentstut se pueden traducir en reglas para manipular logaritmos:

Identidades logarítmicas

#[The following identities work for all positive bases $a \neq 1$ and $b \neq 1$, all positive numbers $x$ and $y$, and every real number $r$.][Las siguientes identidades son válidas para todas las bases positivas $a \neq 1$ y $b \neq 1$, todos los números positivos $x$ y $y$, y cada número real $r$.]#

Identidad	Ejemplos
$\log_b(xy)$${}= \log_bx + \log_by$ El logaritmo de un producto es la suma de los lgaritmos.	$\log_{5}6$${}= \log_5(3 \times 2)$${}= \log_{5}4 + \log_{5}2$ $\log_b4 + \log_b2$${}= \log(4\times 2)$${}=\log_b8$ $\log_2 12$${}= \log_2(2 \times 2 \times 3)$${}=\log_22 + \log_22 + \log_23$${}= 2\log_22 + \log_23$
$\log_b\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_bx - \log_by$ #[The logarithm of a quotient equals the difference of the logarithms.][El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos.]#	$\log_5\left(\dfrac{4}{3}\right)$${}=\log_b4 - \log_b3$ $\log_b12 - \log_b3$${}=\log_5\left(\dfrac{12}{3}\right)$${}= \log_b4$ $\log\left(\dfrac{4}{9}\right)$${}=\log4 - \log9$${}=\log4 - (\log3 + \log3)$${}=\log4 - 2\log3$
$\log_b(x^r) = r\log_bx$ El logaritmo de una potencia $r$ es igual a $r$ por el logaritmo.	$\log_2(4^3) = 3\log_{2}4$ $4\log_bx = \log_bx^4$ $\log_a(24) = \log_a(2^3 \times 3)$${}=\log_a(2^3) + \log_a 3$${}=3\log_a 2 + \log_a 3$
$\log_bb = 1$ #[and][y]# $\log_b1 = 0$ #[The base $b$ logarithm of $b$ is $1$, and the logarithm of $1$ is $0$.][El logaritmo de $b$ en base $b$ es $1$, y el logaritmo de $1$ es $0$.]#	$\log_{5}5=1$ $\log_61=0$
$\log_b\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\log_bx$ El logaritmo de un recíproco es el negativo del logaritmo.	$\log_4\left(\dfrac{1}{6}\right) = -\log_{4}5$ $-\log 4 = \log 0.25$
$\log_bx = \dfrac{\log_ax}{\log_ab}$ "Cambio del base:" El logaritmo de $x$ en base $b$ es el logaritmo de $x$ sobre el logaritmo del base.	$\log_47 = \dfrac{\log 7}{\log 4}$ $\log_23 = \dfrac{\log_53}{\log_52}$
$\log_b b^r = r$ #[and][y]# $b^{\log_b r} = r$ El logaritmo en base b de b elevado a una potencia es esa potencia, y b elevado al logaritmo en base b de una potencia es esa potencia.	$\log_4(4^7) = 7$ $\log 10^8 = 8$ $10^{\log 8} = 8$

Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me

Despejar a incógnitas en el exponente

Los logaritmos son muy átiles para resolver ecuaciones donde lo desconocido está en el exponente. Primero revisa el siguiente ejemplo y ambos mátodos de solucián, y luego prueba los otros por tu cuenta:

%%Example: #[Solve for $x$:][Despeja a $x$:]# $\quad 5^{2x} = \dfrac{1}{125}$.

#[Solution Method 1: Take the logarithm of both sides (always works).][Solución méodo 1: Toma el logarítmo de ambos lados (siempre funciona).]#

La dada ecuacián \gap[20] \t $5^{2x} = \dfrac{1}{125}$ \\ Toma el logaritmo de ambos lados. \gap[20] \t $\log (3^{2x})=\log \left(\dfrac{1}{125}\right)$ \\ Usa el álgebra de logaritmos para simplificar. \gap[20] \t $2x\log 5 = -\log 125$ \\ Despeja a $x$. \gap[20] \t $x=-\dfrac{\log 125}{2\log 5}$

En este caso, podemos usar nuevamente el álgebra de logaritmos para obtener la respuesta en forma más simple:

$x=-\dfrac{\log 125}{2\log 5}$ \t ${}= -\dfrac{\log (5^3)}{2\log 5}$ \\ \t ${}= -\dfrac{3\log 5}{2\log 5}$ \t \gap[40] #[Logarithm of a power][Logaritmo de una potencia]# \\ \t ${}= -\dfrac{3}{2}$ \t \gap[40] #[Cancel the][Cancela el]# $\log 5$.

#[Solution Method 2: Convert to logarithmic form (works only if the the equation can be written in the form $b^c = A$, but leads to a simpler-looking answer more rapidly than Method 1).][Solución méodo 2: Convertir a forma logarítmico (funciona solo si se puede escribir la ecuación en la forma $b^c = A$, pero lleva a una respuesta simple más rápido que el método 1).]#

La data ecuacián \gap[20] \t $5^{2x} = \dfrac{1}{125}$ \\ Asegárate de que está escrita en la forma $b^c = A$. \gap[20] \t ¡Sá la está! \\ Reescríbela en forma logarítmico. \gap[20] \t $2x=\log_5\left(\dfrac{1}{125}\right)$ \\ Simplifica y/o evalua el logaritmo.* \gap[20] \t $2x=-\log_5 125 = -\log_5(5^3) = -3$ \\ Despeja a $x$. \gap[20] \t $x=-\dfrac{3}{2}$

* Si evaluar el logaritmo da como resultado un námero irracional, a menudo es mejor dejarlo como un logaritmo en lugar de usar una aproximacián decimal.

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.8 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.