Tutorial: Máximos y mínimos
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Extremos relativos y absolutos
#[Let us start with a quick review and quiz on using the "Calculation Thought Experiment (CTE)" discussed in the %%prevsectut:][Empecemos con un repaso y concurso rápido sobre el uso del "Experimento mental de cálculo (EMC)" descrito en el %%prevsectut:]#
Extremos relativos: Definicián
$f$ tiene un máximo relativo en $x_0$ si hay algán intervalo $(x_0 - h, x_0 + h)$ (incluso uno muy pequeáo) para el cual $f(x_0) \geq f(x)$ para todo $x$ en $(x_0 - h, x_0 + h)$ para el que se define $f(x)$.
De manera similar, $f$ tiene un mánimo relativo en $x_0$ si hay algán intervalo $(x_0 - h, x_0 + h)$ (incluso uno muy pequeáo) para el cual $f(x_0) \leq f(x)$ para todo $x$ en $(x_0 - h, x_0 + h)$ para el que se define $f(x)$.
En conjunto, los máximos y mínimos se refiere como extremos. Si $f$ tiene un extremo relativo en $x_0,$ entonces el punto correspondiente $(x_0, f (x_0))$ en la gráfica de $f$ también se conoce como un máximo relativo o un mínimo relativo, según sea el caso.
Visualización de máximos y mínimos relativos
Uno para ti
Si un máximo relativo resulta ser el punto más alto en toda la gráfica de $f$, nos referimos a ál como un máximo absoluto. De manera similar, si un mánimo relativo resulta ser el punto más bajo en toda la gráfica de $f$, nos referimos a ál como un mánimo absoluto.
Extremos absolutos: Definicián
$f$ tiene un máximo absoluto en $x_0$ si $f(x_0) \geq f(x)$ para todo $x$ en el dominio de $f$.De manera similar, $f$ tiene un mánimo absoluto en $x_0$ si $f(x_0) \leq f(x)$ para todo $x$ en el dominio de $f$.
La proxima figura muestra unos extremos relativos y absolutos:
Localización de máximos y mínimos
No es siempre fácil saber de una gráfica exactamente donde están ubicados los puntos extremos. Por ejemplo, dibuja la curva $y = x^3(x^{1/2}-1)$ con $0 \leq x \leq 2$, y ve si puedes localizar exactamente el mínimo absoluto. (Puedes encontrar este ejemplo en los ejercicios en-linea de repaso.)
Para ayudarnos localizar puntos extremos, los clasificamos primero en tres tipos, y luego utilizamos cálculo para decirnos exactamente donde están:
Tipos de extrema y cómo ubicarlos
Si $f$ es diferenciable en su dominio, excepto en algunos puntos aislados, sus extremos se ubican entre las siguientes clases de puntos:
- Puntos estacionarios: Puntos $x$ en el interior del dominio donde $f'(x) = 0$. Para localizar los puntos estacionarios, haz que $f'(x) = 0$ y despeja a $x$.
- Puntos singulares: Puntos $x$ en el interior del dominio donde $f'(x)$ no se define. Para localizar los puntos singulares, busca valores de $x$ a los que $f'(x)$ no se define, pero $f(x)$ sí se define.
- Puntos extremos del dominio: Los valores $x$ del dominio que lo delimitan, si sean. Recuerda que los intervalos cerrados contienen sus puntos extremos, pero no los intervalos abiertos.
Ejemplos
Puntos estacionarios $f(x) = 2x^{3} - 24x$ tiene $f'(x)=6x^2-24$. Para ubicar puntos estacionarios, establece $f'(x) = 0$ y despeja a $x$:
$6x^2-24 = 0 \implies x^2 = 4$ \t ${}\implies x = \pm 2^{\ }$
Los puntos correspondientes en la gráfica son
$(-2, f(-2)) = (-2, 32)\ $ \t y $\ (2, f(2)) = (2, -32)$.
Uno para ti
Puntos singulares $f(x) = 5(x-2)^{3/5}$ tiene $f'(x)=\dfrac{15}{(x-2)^{2/5}}$.
El único valor de $x$ para el cual $f'(x)$ no se define es $x = 2$. Ya que $f'(2)$ no se define aunque $f(2)$ sí se define, hay un punto singular en $x = 2$. El punto correspondiente en la gráfica es
$(2, f(2)) = (2, 0)$.
Uno para ti
Prueba de la primera derivada
La prueba de la primera derivada proporciona una forma sistemática de verificar si un punto crítico es un máximo, un mínimo o ninguno, sin tener que usar una gráfica, o trazar suficientes puntos para poder decirlo. Se base en el hecho que es signo de la derivada te dice la dirección de la curva (ve la table en el ejemplo a continuación).
Prueba de la primera derivada
Suponga que $c$ es un punto crítico de $f$ de modo que $f$ es continuo cerca de $c$ y la derivada se define cerca y en ambos lados de $c$. Calcula el signo de la derivada a la izquierda y derecha del punto $c$.
- Si $f'$ es positiva a la izquierda de $c$ y negativa a la derecha, entonces $f$ tiene un máximo en $c$.
- Si $f'$ es negativa a la izquierda de $c$ y positiva a la derecha, entonces $f$ tiene un mínimo en $c$.
- Si $f'$ tiene el mismo signo en ambos lados de $c$, entonces $f$ no tiene ni un máximo ni un mínimo en $c$.
Ejemplo
vimos anteriormente que $f(x) = 2x^{3} - 24x$ tiene puntos estacionarios en $x = -2$ y $x = 2$. La siguiente tabla muestra los valores de $f'$ en puntos a cada lado de los puntos estacionarios.
vimos anteriormente que $f(x) = 2x^{3} - 24x$ tiene puntos estacionarios en $x = -2$ y $x = 2$. La siguiente tabla muestra los valores de $f'$ en puntos a cada lado de los puntos estacionarios.
Teorema del valor extremo
Cuando el dominio de una función continua es un intervalo cerrado, entonces el teorema del valor de extremo nos dice que siempre hay un máximo absoluto y también un mínimo absoluto. Observe que todos los ejemplos que hemos visto de funciones continuas donde no hay un máximo absoluto o un mínimo absoluto tienen un dominio diferente a un intervalo cerrado.
Teorema del valor extremo
Si $f$ es continuo en un intervalo cerrado $[a, b],$ entonces tendrá un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en ese intervalo. Cada extremo absoluto debe ocurrir en un punto extremo del dominio o en un punto crítico.
Debido al teorema, si hacemos una lista de los puntos extremos del dominio y los puntos críticos, cualquier punto que dí el valor más grande de $f$ en la lista es un máximo absoluto, mientras que cualquier punto que dé el valor más bajo de $f$ en la lista es un valor absoluto mínimo.
#[Note][Nota]# El teorema no dice nada sobre funciones cuyo dominio no es un intervalo cerrado; por ejemplo, $f(x) = x$ en el intervalo $[0, 1)$ tiene un mínimo absoluto en $0$ pero no un máximo absoluto (quiere tener un máximo absoluto en $1$ ¡pero $x = 1$ no está en el dominio!
Ejemplo
Veamos una vez más $f(x) = 2x^{3} - 24x$, pero esta vez con el dominio $[-3,4]$. Según el teorema, todo lo que necesitamos es una tabla de valores de $f$ en los puntos extremos del dominio y puntos críticos:
El valor más grande de $f(x)$ en la tabla es $32$, por lo que $f$ tiene un máximo absoluto de $32$ en $x = -2$ y $x = 4$. El valor más bajo de $f(x)$ en la tabla es $-32$, por lo que $f$ tiene un mínimo absoluto de $-32$ en $x = 2$.
Veamos una vez más $f(x) = 2x^{3} - 24x$, pero esta vez con el dominio $[-3,4]$. Según el teorema, todo lo que necesitamos es una tabla de valores de $f$ en los puntos extremos del dominio y puntos críticos:
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Ahora prueba los ejercicios en a Sección 5.1 del libro Cálculo aplicado o la Sección 12.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
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