Tutorial: Solución de ecuaciones polinomiales
Versión juego adaptivo
(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.6 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
Ecuaciones que se reducen a la forma P·Q = 0
Si podemos manipular una ecuación de apariencia complicada en la forma $P \cdot Q = 0$ entonces podemos resolverla fácilmente si recordemos lo siguiente, que usamos en el tema anterior:
Resolver ecuaciones que se reducen a la forma P·Q = 0
Utilizamos el hecho que, si un producto es igual a 0, entonces al menos uno de los factores debe ser 0. Es decir, si
Utilizamos el hecho que, si un producto es igual a 0, entonces al menos uno de los factores debe ser 0. Es decir, si
- $P \cdot Q = 0$,
- $P = 0$ o $Q = 0.$
- $P \cdot Q \cdot R = 0$,
- $P = 0$, $Q = 0$, o $R = 0$.
Ejemplos
1. \t $4x^7-x^5 = 0$ \gap[10]
\\ \t $x^5(4x^2-1)=0$ \t \gap[10] Factoriza el lado izquierda.
\\ \t $x^5=0$ o $(4x^2-1)=0.$ \t \gap[10] $P=0$ o $Q=0.$
\\ \t $x=0, x=-\frac{1}{2}$ #[or][o]# $x=\frac{1}{2}$ \t \gap[10] Solucionar las ecuaciones individuales.
\\ \\
2. \t $(2x+1)(x^2-4)-(x-3)(x^2-4) = 0$ \gap[10]
\\ \t $[(2x+1) - (x-3)](x^2-4) = 0$ \t \gap[10] factor común $(x^2-4)$
\\ \t $(x+4)(x^2-4) = 0$ \t \gap[10] Simplifica.
\\ \t $(x+4)(x-2)(x+2) = 0$ \t \gap[10] Factoriza el cuadrático.
\\ \t $x=-4, x=2$ #[or][o]# $x=-2$ \t \gap[10] $P = 0$, $Q = 0$, #[or][o]# $R = 0$
\\ \\
3. \t $x\sqrt{2x-1} = \sqrt{2x-1}$ \gap[10]
\\ \t $x\sqrt{2x-1} - \sqrt{2x-1} = 0$
\\ \t $\sqrt{2x-1}(x - 1) = 0$ \t \gap[10] factor común $\sqrt{2x-1}$
\\ \t $\sqrt{2x-1}=0$ or $x-1=0.$ \t \gap[10] $P=0$ o $Q=0.$
\\ \t $2x-1=0$ or $x-1=0.$ \t \gap[10] #[If][Si]# $\sqrt{a} = 0,$ #[then][entonces]# $a = 0$
\\ \t $x=\frac{1}{2}$ #[or][o]# $x=1$ \t \gap[10] Solucionar las ecuaciones individuales.
Algunos para ti
Ecuaciones que se reducen a la forma P/Q = 0
Si podemos manipular una ecuación de apariencia complicada en la forma $\dfrac{P}{Q} = 0$ entonces podemos resolverla usando la siguiente observación:
Resolver ecuaciones que se reducen a la forma P/Q = 0
Utilizamos el hecho que, si $\displaystyle \frac{P}{Q}=0$, entonces $P=0$. Nota
La expresión $\dfrac{P}{Q}$ no se define cuando $Q = 0$ por lo que necesitas eliminar todas las soluciones que hacen $Q$ igual a cero.
Utilizamos el hecho que, si $\displaystyle \frac{P}{Q}=0$, entonces $P=0$. Nota
La expresión $\dfrac{P}{Q}$ no se define cuando $Q = 0$ por lo que necesitas eliminar todas las soluciones que hacen $Q$ igual a cero.
Ejemplos
1. \t $\displaystyle \frac{x^2-1}{x-2} = 0$
\\ \t $x^2-1=0$ \t Si $\dfrac{P}{Q}=0$ entonces $P=0$.
\\ \t $(x-1)(x+1) = 0$ \t Factoriza.
\\ \t $x=-1$ #[or][o]# $x=1$ \t
Algunos para ti
Ninguna solución hace que el denominador de la expresión original sea cero, así que aceptamos ambas.
\\ \\
2. \t $\displaystyle \frac{(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2)}{(x+1)^4 - (x-2)^2} = 0$
\\ \t $(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2) = 0$ \t Si $\dfrac{P}{Q}=0$ entonces $P=0$.
\\ \t $(x+1)(x+2)[(x+2) - (x+1)] = 0$ \t Factoriza.
\\ \t $(x+1)(x+2)(1) = 0$
\\ \t $x = -1$ #[or][o]# $x = -2$ \t Ninguna solución hace que el denominador de la expresión original sea cero, así que aceptamos ambas.
\\ \\
3. \t $\displaystyle \frac{(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2)}{x+2} = 0$
\\ \t $(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2) = 0$ \t Si $\dfrac{P}{Q}=0$ entonces $P=0$.
\\ \t $x = -1$ #[or][o]# $x = -2$ \t Solucianos estga ecuación en el ejemplo anterior.
\\ \t $x = -1$ \t Rechazamos $x = -2$ porque hace que el denominador de la expresión original sea cero, por lo que $x$ no puede ser $-2$ en la ecuación original.
Combinación de técnicas
A continuación, trandrás que utilizar las técnicas anteriores con varias cosas que aprendiste acerca las funciones racionales en el %3.
Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.6 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.
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