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Tutorial: Solución de ecuaciones polinomiales

Versión juego adaptivo

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(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.6 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

¿Qué es un tutorial juego adaptivo?  ▶

Nota Para este tutorial, se presupone que ya saves cómo solucionar ecuaciones lineales y cuadráticas. Si sientes que necesitas revisar este tema, vuelve al %%solvepolytut.

Con frecuencia, en el cálculo se presentan ecuaciones que no son ecuaciones polinomiales de bajo grado. Muchas de estas ecuaciones de aspecto complicado pueden resolverse fácilmente usando algunas técnicas básicas para escribirlas primero en la forma $P \cdot Q = 0$ o $P/Q = 0,$ donde $P$ y $Q$ son expresiones más simples.
Ecuaciones que se reducen a la forma P·Q = 0

Si podemos manipular una ecuación de apariencia complicada en la forma $P \cdot Q = 0$ entonces podemos resolverla fácilmente si recordemos lo siguiente, que usamos en el tema anterior:
Resolver ecuaciones que se reducen a la forma P·Q = 0
Utilizamos el hecho que, si un producto es igual a 0, entonces al menos uno de los factores debe ser 0. Es decir, si
    $P \cdot Q = 0$,
entonces
    $P = 0$ o $Q = 0.$

Nota Esta discusión se aplica también a un producto de tres o más términos; por ejemplo, si
    $P \cdot Q \cdot R = 0$,
entonces
    $P = 0$, $Q = 0$, o $R = 0$.
Ejemplos
1.   \t $4x^7-x^5 = 0$ \gap[10] \\ \t $x^5(4x^2-1)=0$ \t \gap[10] Factoriza el lado izquierda. \\ \t $x^5=0$ o $(4x^2-1)=0.$ \t \gap[10] $P=0$ o $Q=0.$ \\ \t $x=0, x=-\frac{1}{2}$ #[or][o]# $x=\frac{1}{2}$ \t \gap[10] Solucionar las ecuaciones individuales. \\   \\   2.   \t $(2x+1)(x^2-4)-(x-3)(x^2-4) = 0$ \gap[10] \\ \t $[(2x+1) - (x-3)](x^2-4) = 0$ \t \gap[10] factor común $(x^2-4)$ \\ \t $(x+4)(x^2-4) = 0$ \t \gap[10] Simplifica. \\ \t $(x+4)(x-2)(x+2) = 0$ \t \gap[10] Factoriza el cuadrático. \\ \t $x=-4, x=2$ #[or][o]# $x=-2$ \t \gap[10] $P = 0$, $Q = 0$, #[or][o]# $R = 0$ \\  \\   3.   \t $x\sqrt{2x-1} = \sqrt{2x-1}$ \gap[10] \\ \t $x\sqrt{2x-1} - \sqrt{2x-1} = 0$ \\ \t $\sqrt{2x-1}(x - 1) = 0$ \t \gap[10] factor común $\sqrt{2x-1}$ \\ \t $\sqrt{2x-1}=0$ or $x-1=0.$ \t \gap[10] $P=0$ o $Q=0.$ \\ \t $2x-1=0$ or $x-1=0.$ \t \gap[10] #[If][Si]# $\sqrt{a} = 0,$ #[then][entonces]# $a = 0$ \\ \t $x=\frac{1}{2}$ #[or][o]# $x=1$ \t \gap[10] Solucionar las ecuaciones individuales.
Algunos para ti
Ecuaciones que se reducen a la forma P/Q = 0

Si podemos manipular una ecuación de apariencia complicada en la forma $\dfrac{P}{Q} = 0$ entonces podemos resolverla usando la siguiente observación:
Resolver ecuaciones que se reducen a la forma P/Q = 0
Utilizamos el hecho que, si $\displaystyle \frac{P}{Q}=0$, entonces $P=0$.

Nota
La expresión $\dfrac{P}{Q}$ no se define cuando $Q = 0$ por lo que necesitas eliminar todas las soluciones que hacen $Q$ igual a cero.
Ejemplos
1.   \t $\displaystyle \frac{x^2-1}{x-2} = 0$ \\ \t $x^2-1=0$ \t Si $\dfrac{P}{Q}=0$ entonces $P=0$. \\ \t $(x-1)(x+1) = 0$ \t Factoriza. \\ \t $x=-1$ #[or][o]# $x=1$ \t
Ninguna solución hace que el denominador de la expresión original sea cero, así que aceptamos ambas.
\\   \\   2.   \t $\displaystyle \frac{(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2)}{(x+1)^4 - (x-2)^2} = 0$ \\ \t $(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2) = 0$ \t Si $\dfrac{P}{Q}=0$ entonces $P=0$. \\ \t $(x+1)(x+2)[(x+2) - (x+1)] = 0$ \t Factoriza. \\ \t $(x+1)(x+2)(1) = 0$ \\ \t $x = -1$ #[or][o]# $x = -2$ \t
Ninguna solución hace que el denominador de la expresión original sea cero, así que aceptamos ambas.
\\   \\   3.   \t $\displaystyle \frac{(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2)}{x+2} = 0$ \\ \t $(x+1)(x+2)^2 - (x+1)^2(x+2) = 0$ \t Si $\dfrac{P}{Q}=0$ entonces $P=0$. \\ \t $x = -1$ #[or][o]# $x = -2$ \t Solucianos estga ecuación en el ejemplo anterior. \\ \t $x = -1$ \t
Rechazamos $x = -2$ porque hace que el denominador de la expresión original sea cero, por lo que $x$ no puede ser $-2$ en la ecuación original.
Algunos para ti
Combinación de técnicas

A continuación, trandrás que utilizar las técnicas anteriores con varias cosas que aprendiste acerca las funciones racionales en el %3.

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.6 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.
Última actualización: agosto 2022
Derechos de autor © 2022
Stefan Waner y Steven R. Costenoble

 

 

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