Tutorial: Solución de ecuaciones polinomiales

Este tutorial: Parte A: Solucionar ecuaciones lineales y cuadráticas

Ir a Parte B: Solucionar ecuaciones polinómicas cúbicas y de orden superior

Note Para este tutorial, se presupone que ya saves cómo factorizar las expresiones cuadráticas. Si sientes que necesitas revisar este tema, vuelve al %%factoringquadraticstut.

Expresiones polinómicas y ecuaciones polinómicas

En el %%factoringquadraticstut miramos expresiones de la forma

Ejemplo:

que se llaman expresiones cuadráticas o simplemente cuadráticos. También factorizamos muchas de ellas como productos de la forma $(dx + e)(fx + g)$: Por ejemplo,

$3x^2-4x-4 = (3x+2)(x-2).$Los factores $3x+2$ y $x-2$ son ejemplos de expresiones lineales. En general, expresiones lineales y cuadráticas son ejemplos de polinomios:

Polinomio y ecuación polinómica
Un polinomio es una expresión algebráica de la forma

$ax^n + bx^{n-1} + \cdots + rx + s$donde $a, b, \dots r$ y $s$ son constantes, llamadas los coeficientes del polinomio. Al máximo exponente de $x$ que aparece en la expresión con un coeficiente distinto de cero se le llama el grado del polinomio.

Ejemplos

$3x-2$ \gap[10] tiene grado 1, ya que la potencia más alto de $x$ que aparece con un coeficiente distinto de cero es $x = x^1.$ A los polinomios del grado 1 se les llama expresiones lineales. \\ \\ $2x - x^2$ \gap[10] tiene grado 2, ya que la potencia más alto de $x$ que aparece con un coeficiente distinto de cero es $x^2.$ A los polinomios del grado 2 se les llama cuadráticos. \\ \\ $0x^4+3x^2+1$ \gap[10] también tiene grado 2, ya que la potencia más alto de $x$ que aparece con un coeficiente distinto de cero es $x^2.$ \\ \\ $4x^3-x^2-5$ \gap[10] tiene grado 3. A los polinomios del grado 3 se les llama cúbicas. \\ \\ $x^4-1$ \gap[10] tiene grado 4. A los polinomios del grado 3 se les llama cuárticas.

Algunos para ti

Una ecuación poliomio de grado $n$ es una ecuación que se puede escribir en la forma

Polymonio de grado n = 0

Ejemplos

$3x-2 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 1. A las ecuaciones polinómicas del grado 1 se les llama ecuaciones lineales. \\ \\ $3x^2-2x+1 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 2. A las ecuaciones polinómicas del grado 2 se les llama ecuaciones cuadráticas. \\ \\ $4x^3-x^2-5 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 3. A las ecuaciones polinómicas del grado 3 se les llama ecuaciones cúbicas. \\ \\ $x^4-1 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 4. A las ecuaciones polinómicas del grado 4 se les llama ecuaciones cuárticas.

Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas por factorizar

Ya hemos visto cómo solucionar ecuaciones lineales, y también ecuaciones cuadráticas cuyos lados izquierdos factorizan, en el %%factoringquadraticstut. A continuación, repasamos aquel material:

Solution de ax + b = 0 Ej. −2x + 5 = 0

1. Restar la $b$ de ambos lados: (Si b es negativo, eso equivale a sumar un número a ambos lados.)

$ax + b \color{red}{\ \ - \ b}$ \t ${}= \color{red}{\ \ - \ b}$ \\ $ax $ \t ${}= - b$

$\color{slateblue}{-2x+5} \color{red}{\ \ - \ 5} $ \t $\color{slateblue}{{}= } \color{red}{\ \ - \ 5}$ \\ $\color{slateblue}{-2x}$ \t $\color{slateblue}{{}= -5}$

2. Dividir ambos lados por $a.$:

$\dfrac{ax}{\color{red}{a}}$ \t $= \dfrac{-b}{\color{red}{a}}$ \\ $x$ \t $= \dfrac{-b}{\color{red}{a}}$

$\dfrac{-2x}{\color{red}{-2}}$ \t ${}=\dfrac{-5}{\color{red}{-2}}$ \\ $x$ \t ${}=\dfrac{-5}{2}$

Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me

Algunas a probar para ti

Solution de ax² + bx + c = 0 cuando el cuadrático se factoriza Ej. 2x² + 5x - 3 = 0

1. Factoriza el lado izquierdo:

$\color{blue}{(px + q)}\color{red}{(rx + t)} = 0$

$\color{blue}{(2x-1)}\color{red}{(x+3)} = 0$

2. Ya que el producto de los dos factores es igual a cero, uno de ellos debe ser cero::

$\color{blue}{px + q = 0}$ #[or][o]# $\color{red}{rx + t= 0}$

$\color{blue}{2x-1 = 0}$ #[or][o]# $\color{red}{x+3 = 0}$

3. Resuelve la(s) resultante(s) ecuacion(es) lineal(es):

$\color{blue}{x = -\dfrac{q}{p}}$ #[or][o]# $\color{red}{x = -\dfrac{t}{r}}$

$\color{blue}{x = \dfrac{1}{2}}$ #[or][o]# $\color{red}{x= -3}$

Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me

Algunas a probar para ti

Despejar a $x:$ (Si hay más que una solución, separarlos por comas.)

Determinar cuándo un cuadrático factoriza

%%Q: ¿Cómo sé si o no puedo factorizar una expresión cuadrática, y cómo resolver una ecuación cuadrática si no factorisa?
%%A: La pregunta tiene dos partes. Empezamos por contestar la primera parte: Cómo reconecer si o no se puede factorizar una expresión cuadrática.

Prueba de factorización

El cuadrático $ax^2 + bx + c,$ en le que $a, b,$ y $c$ son números enteros, se factoriza como $(rx + s)(tx + u)$ con $r, s, t,$ y $u$ números enteros precisamente cuando la cantidad

$b^2 - 4ac$ es un cuadrado perfecto (es decir, es el cuadrado de un número entero). Cuando eso sucede, decimos que al cuadrático se factoriza sobre los enteros.

• Si la cantidad $b^2-4ac$ es positiva pero no un caudrado perfecto (por ejemplo, $b^2-4ac = 15$), entonces el cuadrático todavía se factoriza como $(rx + s)(tx + u),$ pero no sobre los enteros: ambos números $s$ y $u$ serán irracionales.
• Si $b^2-4ac$ es negativa, entonces el cuadrático no se factoriza en absoluto.

Ejemplos

1. $3x^2-4x+1$ tiene $a = 3, b = -4, c = 1,$ por lo que

$b^2-4ac = (-4)^2-4(3)(1) = 16-12 = 4,$ que es un cuadrado perfecto: $4 = 2^2.$ Por lo tanto, el cuadrático sí se factoriza sobre los enteros. De hecho,

$3x^2-4x+1 = (3x-1)(x-1).$

2. $x^2-4x+2$ tiene $a = 1, b = -4, c = 2,$ por lo que

$b^2-4ac = (-4)^2-4(1)(2) = 16-8 = 8,$ que no es un cuadrado perfecto: $8$ no se puede escribir como el cuadrado de un número entero. Por lo tanto, este cuadrático no se factoriza sobre los enteros.

Algunas a probar para ti

%%Q: Muy bien, eso contesta a la primera parte de mi pregunta anterior: como saber cuando factoriza una expresión cuadrática $ax^2+bx+c$. ¿Qué tal la segunda parte de la pregunta?: ¿Cómo resolver $ax^2+bx+c=0$ cuadrática si el lado izquierda no factoriza sibre los enteros?
%%A: La formula cuadrática se puede utilizar para obtener cualquieres soluciones posibles de $ax^2+bx+c=0$ si no el lado izquierdo factoriza:

Resolver ecuaciones cuadráticas con la fórmula cuadrática

Usar la fórmula cuadrática para resolver cuadráticas (funciona siempre)

Las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ son

$x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ A la cantidad $\Delta = b^2-4ac$ (que ¡ya hemos visto anteriormente!) el discriminante de la expresión cuadrática ($\Delta$ es la letra griega delta) y tenemos el siguiente principio general:

Si $\Delta$ es positivo, hay dos soluciones reales distintas.
Si $\Delta$ es cero, hay solo una solución real: $x = -\dfrac{b}{2a}.$ (¿Por qué?)
Si $\Delta$ es negativa, no hay ningunas soluciones reales.

Vídeo sugerido para este tema: Video Kz Videos Matemáticos

Ejemplos

1. $x^2-5x-12 = 0$ tiene $a = 2, b = -5,$ %%and $c = -12.$ El discriminante es

$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2-4(2)(-12) = 25 + 96 = 121,$

que es positiva, por lo que hay dos soluciones dinstintas:

$x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \t ${}= \dfrac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4(2)(-12)}}{2(2)}$ \\ \t ${}= \dfrac{5\pm\sqrt{121}}{4} = \dfrac{5\pm 11}{4}$ \\ \t ${}= \dfrac{16}{4}$ #[or][o]# $-\dfrac{6}{4}$ \\ \t ${}= 4$ #[or][o]# $-\dfrac{3}{2}$

Nota que en este caso el discriminante es un cuadrado perfecto: $121=11^2.$ Por lo tanto, podríamos también haber obtenido la respuesta por factorizar.

2. $x^2+ 2x - 1 = 0$ tiene $a = 1, b = 2,$ %%and $c = -1.$ El discriminante es

$\Delta = b^2-4ac = 2^2-4(1)(-1) = 4+4 = 8,$

que es positiva, por lo que hay dos soluciones dinstintas:

$x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \t ${}= \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4(1)(-1)}}{2(1)}$ \\ \t ${}= \dfrac{-2\pm\sqrt{8}}{2} = \dfrac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}$ \\ \t ${}= -1 + \sqrt{2}$ %%or $-1 - \sqrt{2}$

En este caso el discriminante no es un cuadrado perfecto, por lo que el lado izquierdo no factoriza sobre los enteros.

3. $4x^2 = 12x - 9$ se puede reescribir como $4x^2-12x+9 = 0$ que tiene $a = 4, b = -12,$ %%and $c = 9.$El discriminante es

$\Delta = b^2-4ac = (-12)^2-4(4)(9) = 144-144 = 0,$

que es positiva, por lo que hay una solución distinta:

$x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \t ${}= \dfrac{12\pm\sqrt{(-12)^2-4(4)(9)}}{2(4)}$ \\ \t ${}= \dfrac{12\pm\sqrt{144-144}}{8} = \dfrac{12\pm\sqrt{0}}{8}= \dfrac{12}{8}$ \\ \t ${}= \dfrac{3}{2}$

Nota que en este caso el discriminante es un cuadrado perfecto: $0 = 0^2,$ por lo que podríamos también haber obtenido la respuesta por factorizar.

4. $x^2+x+1 = 0$ tiene $a = 1, b = 1,$ %%and $c = 1.$ El discriminante es

$\Delta = b^2-4ac = 1^2-4(1)(1) = 1 - 4 = -3,$

que es negativa, por lo que no hay ningunas soluciones reales.

%%Note Las soluciones de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ se conocen también como las raices del cuadrático $ax^2 + bx + c.$

Factorización de quadráticos que son difícil factorizar

La fórmula cuadrática también se puede utilizar para factorizar expresiones cuadráticas. Esto es útil en los casos en que un cuadrático que sabemos que debe factorizar es sin embargo difícil o tedio factorizar, como, por ejemplo,

$36x^2+109x+80,$

cuyo discriminante es

$\Delta = b^2 - 4ac = (109)^2 - 4(36)(80) = 361,$

que pasa a ser un cuadrado perfecto:

$\sqrt{361} = 19,$

cuyo discriminante es

$\Delta = b^2 - 4ac = (109)^2 - 4(36)(80) = 361,$

que significa que factoriza, de alguna o otra manera, pero el método habitual de "ensayo y error" requiere observar todas las combinaciones de factores de $36$ y $80$, ¡y hay montones de ellos!

Factorizar expresiones cuadráticas con la fórmula cuadrática: Método seguro de Estéfan

Comprueba que $\Delta = b^2 - 4ac$ es un cuadrado perfecto. (Si los números son grandes, utiliza una calculadora para tomar la raíz cuadrada.)
Utiliza la fórmula cuadrática para obteners las raices en términos mínimos $\dfrac{p}{q}$ y $\dfrac{r}{s}.$
La factorización deseada es $k(qx-p)(sx-r),$ donde $k = \dfrac{a}{qs}.$
($k = \pm 1$ cuando el cuadrático original no tiene ningún factor común entero. )

Vídeo sugerido para este tema: Video por Matematicatuya
(Nota que el video es realmente sólo para el caso especial en el que $a, b,$ y $c$ no tienen ningún factor común con $a$ positiva, dando $k = 1$ en el Paso 3, por lo que el video no es correcto en general. No pude encontrar un video que lo hace correctamente en el caso general.)

Ejemplo

Vamos a utilizar este método para factorizar $36x^2+93x+60$.

$a = 36, b = 93, c = 60 \ \ \Rightarrow \ \ \Delta = b^2 - 4ac = (93)^2-4(36)(60) = 9,$ que es un cuadrado perfecto. ✓
Raices:
$\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{93 \pm \sqrt{9}}{2(36)} = \dfrac{-93 \pm 3}{72},$
dando
$\dfrac{-90}{72} = \dfrac{-5}{4} = \dfrac{p}{q} \qquad$ %%and $\qquad \dfrac{-96}{72} = \dfrac{-4}{3} = \dfrac{r}{s}$
$k = \dfrac{a}{qs} = \dfrac{36}{(4)(3)} = \dfrac{36}{12} = 3,$ por lo que la factorización deseada es
$36x^2+93x+60$ \t ${}=k(qx-p)(sx-r)$ \\ \t ${}= 3(4x-(-5))(3x - (-4))$ \\ \t ${}= 3(4x+5)(3x+4)$
¡Hecho!

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.6 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.