Tutorial: Derivadas de potencias, sumas, y múltiples constantes
Versión juego
(Se puede encontrar este tema en a Sección 4.1 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado) #[I don't like this new tutorial. Take me back to the old tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]#
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Derivadas de potencias
%%Q Calcular la derivada de una función es un proceso bastante largo. ¿Hay un método más sencillo?%%A Para práctimamente todas las funciones que ya hemos visto, la respuesta corta es "sí." En este tutorial encontramos atajos que nos permiten escribir las derivadas de potencias de $x$ (incluyendo potencias fraccionales y negativas) además de sumas y múltiplos constantes de potencias de $x$, como polinomios. Empezamos con la regla que da la derivada de una potencia de $x$:
Regla de la potencia
Si $f(x) = x^n$, donde $n$ es cualquier constante, entonces $f'(x) = nx^{n-1}.$ En otras palabras, la derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$. La regla de la potencia en palabras
La derivada de $x$ elevada a una potencia constante es igual a la potencia multiplicada por $x$ elevada a la potencia menos 1. Prueba de la regla de la potencia
Want to see a proof of the power rule? #[][]# Click here.
Si $f(x) = x^n$, donde $n$ es cualquier constante, entonces $f'(x) = nx^{n-1}.$ En otras palabras, la derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$. La regla de la potencia en palabras
La derivada de $x$ elevada a una potencia constante es igual a la potencia multiplicada por $x$ elevada a la potencia menos 1. Prueba de la regla de la potencia
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%%Examples
Algunos para ti
1. \t !r! %%If $f(x) = x^2 \text{ entonces }f'(x)$ \t ${}= 2x^{2-1}$ \gap[10] \t %%If $f(x) = x^n$ %%then $f'(x) = nx^{n-1} \quad (n = 2)$
\\ \t \t ${}= 2x^1$
\\ \t \t ${}= 2x$.
\\
\\ 2. \t !r! %%If $f(x) = x^3 \text{ entonces } f'(x)$ \t ${}= 3x^{3-1}$ \gap[10] \t %%If $f(x) = x^n$ %%then $f'(x) = nx^{n-1} \quad (n = 3)$
\\ \t \t ${}= 3x^2$.
\\
\\ 3. \t !r! %%If $f(x) = x^{-3} \text{ entonces }f'(x)$ \t ${}= -3x^{-3-1}$ \gap[10] \t Funciona para exponentes negativos también. $(n = -3)$.
\\ \t \t ${}= -3x^{-4}$.
\\
\\ 4. \t !r! %%If $f(x) = x \text{ entonces }f'(x)$ \t ${}= 1x^{1-1}$ \gap[10] \t $x = x^1$, así $n = 1$.
\\ \t \t ${}= x^0$
\\ \t \t ${}= 1$.
\\
\\ 5. \t !r! %%If $f(x) = 1 \text{ entonces }f'(x)$ \t ${}= 0x^{0-1}$ \gap[10] \t $1 = x^01$, así $n = 0$
\\ \t \t ${}= 0$.
\\
Aquí hay una tabla que muestra estos resultados. Te sugerimos que hagas una copia de la tabla; lo agregaremos a medida que avancemos.
Potencias de x en el denominador
Advertencia La regla de la potencia no aplica a potencias de $x$ en el denominador; por ejemplo, la siguiente declaración es incorrecta:
-
%%If $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^3}$, %%then $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{3x^2}\qquad$
✗ #[WRONG!][¡INCORRECTA!]#
%%A El truco es escribir la expresión dada en forma de potencia* antes de tomar su derivada:Así, por ejemplo, calculamos la derivada arriba correctamente como sigue:
$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^3}$ \t $\displaystyle {} = x^{-3}\quad$ \t Primero convertir e la forma potencia.
%%Therefore,
\\ $\displaystyle f'(x)$ \t $\displaystyle {}= -3x^{-4}\quad$ \t Ahora usa la regla de la potencia (La potencia es en el numerador por lo que la regla de la potencia aplica.)
\\ \t $\displaystyle {} = -\frac{3}{x^{4}}\quad$ \t Convierte de nuevo a la forma exponente positivo original si lo deseas.
Lidiar con potencias de x en el denominador
Como dijimos anteriormente, la regla de la potencia no se aplica a potencias de $x$ en el denominador. Para hallar la derivada de $f(x) = \dfrac{1}{x^n}$, reesribir $f(x)$ como $x^{-n}$ y aplica la regla de la potencia, que sí apply to powers of $x$ in the numerator.
Como dijimos anteriormente, la regla de la potencia no se aplica a potencias de $x$ en el denominador. Para hallar la derivada de $f(x) = \dfrac{1}{x^n}$, reesribir $f(x)$ como $x^{-n}$ y aplica la regla de la potencia, que sí apply to powers of $x$ in the numerator.
%%Examples
Algunos para ti
1. \t $f(x) = \dfrac{1}{x}$
\\ \t Reescribir:
\\ \t !r! $f(x)= x^{-1}, \text{ así }f'(x)$ \t ${} = -x^{-1-1}$ \gap[10] \t Regla de la potencia
\\ \t \t ${}= -x^{-2}$
\\ \t \t ${}= -\dfrac{1}{x^2}$ \t Convierte de nuevo a la forma exponente positivo original si lo deseas
\\
\\ 2. \t $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$
\\ \t Reescribir:
\\ \t !r! $f(x)= x^{-2}, \text{ así }f'(x)$ \t ${} = -2x^{-2-1}$ \gap[10] \t Regla de la potencia
\\ \t \t ${}= -2x^{-3}$
\\ \t \t ${}= -\dfrac{2}{x^3}$ \t Convierte de nuevo a la forma exponente positivo original si lo deseas
\\ 3. \t $f(x) = \dfrac{1}{x^{0.3}}$
\\ \t Reescribir:
\\ \t !r! $f(x)= x^{-0.3}, \text{ así }f'(x)$ \t ${} = -0.3x^{-0.3-1}$ \gap[10] \t Regla de la potencia
\\ \t \t ${}= -0.3x^{-1.3}$
\\ \t \t ${}= -\dfrac{0.3}{x^{1.3}}$ \t Convierte de nuevo a la forma exponente positivo original si lo deseas
\\
\\ 4. \t $f(x) = \dfrac{1}{x^{-1/2}}$
\\ \t Reescribir:
\\ \t !r! $f(x)= x^{1/2}, \text{ así }f'(x)$ \t ${} = \dfrac{1}{2}x^{1/2-1}$ \gap[10] \t Regla de la potencia
\\ \t \t ${}= \dfrac{1}{2}x^{-1/2}$
\\ \t \t ${}= \dfrac{1}{2x^{1/2}}$ \t Convierte a la forma exponente positivo original si lo deseas
\\
Aquí hay la tabla anterior extendida para mostrar estos resultados. Otra vez, sugerimos que hagas una copia de la tabla, agregándola a medida que avancemos.
Notación diferencial
Notación diferencial se basa en abreviar la frase "la derivada respecto a $x$." Por ejemplo, aprendimos más arriba que, si $f(x) = x^3$, entonces $f\prime(x) = 3x^2$. Cuado decimos "$f\prime(x) = 3x^2$," indicamos lo siguiente:
-
"La derivada de $x^3$ respecto a $x$ es igual a $3x^2$.
Derivada respecto a x
La notación $\dfrac{d}{dx}$ significa la derivada respecto a $x$. Así, por ejemplo,
La notación $\dfrac{d}{dx}$ significa la derivada respecto a $x$. Así, por ejemplo,
$\dfrac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} \quad$ \t La derivada, respecto a $x$, de $x^n$ es igual a $nx^{n-1}$.
\\ $\dfrac{d}{dx}[x^3] = 3x^2 \quad$ \t La derivada, respecto a $x$, de $x^3$ es igual a $3x^2$.
\\ $\dfrac{d}{dx}[1] = 0 \quad$ \t La derivada, respecto a $x$, de $1$ es igual a $0$.
\\ $\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{1}{x}\right] = -\dfrac{1}{x^2} \quad$ \t La derivada, respecto a $x$, de $\dfrac{1}{x}$ es igual a $-\dfrac{1}{x^2}$.
Derivadas de sumas, diferencias, y múltiplos constantes
#[We can find the derivative of more complicated expressions using the following: ][A continuación, podemos determinar las derivadas de funciones más complicadas aplicando las siguientes reglas:]#
Regla para sumas, diferencias, y múltiplos constantes
Si existen $f\prime(x)$ y $g\prime(x)$, y si $c$ es una constante, entonces
La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.
En otras palabras, para hallar la derivada de una suma (o diferencia) de varias funciones, simplemente halla la derivada de cada función, y suma (o resta) las respuestas. La derivada de $c$ por una función es $c$ por la derivada de la función.
En otras palabras, para hallar la derivada de una constante por una función, simplemente halla la derivada de la función, y multiplica por la constante.
Si existen $f\prime(x)$ y $g\prime(x)$, y si $c$ es una constante, entonces
-
a. $\displaystyle [f(x) \pm g(x)]\prime = f'(x) \pm g\prime(x)$
b. $\displaystyle [c\,f(x)]\prime = c\,f\prime(x) $
-
a. $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] \pm \frac{d}{dx}[g(x)]$
b. $\displaystyle \frac{d}{dx}[c\,f(x)] = c\frac{d}{dx}[f(x)] $
La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.
En otras palabras, para hallar la derivada de una suma (o diferencia) de varias funciones, simplemente halla la derivada de cada función, y suma (o resta) las respuestas. La derivada de $c$ por una función es $c$ por la derivada de la función.
En otras palabras, para hallar la derivada de una constante por una función, simplemente halla la derivada de la función, y multiplica por la constante.
%%Examples
1. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[1+x^3]$ \t ${}= 0 + 3x^2$ \gap[10] \t
Propeidad a.
\\ \t \t ${}= 3x^2$
\\
\\ 2. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[x^2-x^3+x^5]$ \t ${}= 2x-3x^2+5x^4$ \gap[10] \t
Propeidad a se aplica también a tres o más términos.
\\
3. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[4x^3]$ \t $\displaystyle {}= 4\frac{d}{dx}[x^3]$ \gap[10] \t
Propeidad b (saca la constante).
\\ \t \t ${}= 4(3x^2)$
\\ \t \t ${}= 12x^2$ \t El efecto es multiplicar el exponente (3) por el coeficiente (4).
\\
4. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[12]$ \t $\displaystyle {}= \frac{d}{dx}[12 \cdot 1]$ \gap[10] \t
Reescribir 12 como 12 × 1.
\\ \t \t $\displaystyle {}= 12\frac{d}{dx}[1]$ \gap[10] \t Propeidad b (saca la constante).
\\ \t \t ${}= 12(0)$ \t La derivada de 1 es 0.
\\ \t \t ${}= 0$ \t Por lo general, la derivada de cualquier constante es cero.
\\
5. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{4}{x}\right]$ \t $\displaystyle {}= \frac{d}{dx}\left[4 \cdot \frac{1}{x}\right]$ \gap[10] \t
Reescribir el cociente como un producto.
\\ \t \t $\displaystyle {}= 4\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right]$ \t Propeidad b (saca la constante).
\\ \t \t $\displaystyle {}= 4\left[-\frac{1}{x^2}\right]$ \t Ve la tabla de derivadas más arriba.
\\ \t \t $\displaystyle {}= -\frac{4}{x^2}$
\\
\\ 6. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[5x^3-4x+7]$ \t ${}= 5(3x^2) - 4(1) + 7(0)$ \gap[10] \t
Algunos para ti
Combinando las propiedades
\\ \t \t $\displaystyle {}= 15x^2-4$
Ahora prueba los ejercicios en a Sección 4.1 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
Derechos de autor © 2018 Stefan Waner y Steven R. Costenoble
$x^{-1/2} \qquad 4x^{-2} \qquad \dfrac{2}{3}x^{-1} \qquad 3 + x - x^2 \qquad \frac{3}{4}x - 2x^{1/2}$
#[are all in power form, but not][son todos en la forma potencia, pero no]#$\dfrac{3x}{4} \qquad \dfrac{1}{x^3} \qquad \dfrac{2}{4x^{-3}} \qquad x + \dfrac{1}{x} \qquad \dfrac{2}{3x^{-1}}$
(Ve el%%powerformtut para detalles y práctia)