Tutorial: Expresiones racionales
¿Qué es una expresión racional?
Expresión racional
Una expresión racional es una expresión algebráica de la forma $\dfrac{P}{Q},$ en la que $P$ y $Q$ son expresiones más simples (usualmente polinomios), y el denominador $Q$ ne es cero.
Ejemplos
$\dfrac{1}{x-1}$ \t es racional con $\color{slateblue}{P = 1,\ \ Q = x-1}$
\\ \t
\\ $\dfrac{x^2+3x+1}{x^2+3}\ \ $ \t es racional con $\color{slateblue}{P = x^2+3x+1,\ \ Q = x^2+3}$
\\ \t
Nota
Como sucede con los números, podemos pensar en expresiones con ningún denominador (como números enteros y polinomios) como expresiones racionales dividiéndolos por 1:
$x$ se puede considerar como $\dfrac{x}{1},$ que es racional con $\color{slateblue}{P = x},$ y $\color{slateblue}{Q = 1}.$
$1$ se puede considerar como $\dfrac{1}{1},$ que es racional con $\color{slateblue}{P = 1},$ y $\color{slateblue}{Q = 1}.$
$x^2y-2xy^2+1$ se puede considerar como $\dfrac{x^2y-2xy^2+1}{1},$ que es racional con $\color{slateblue}{P = x^2y-2xy^2+1},$ y $\color{slateblue}{Q = 1}.$
Algunas a probar para ti
$1$ se puede considerar como $\dfrac{1}{1},$ que es racional con $\color{slateblue}{P = 1},$ y $\color{slateblue}{Q = 1}.$
$x^2y-2xy^2+1$ se puede considerar como $\dfrac{x^2y-2xy^2+1}{1},$ que es racional con $\color{slateblue}{P = x^2y-2xy^2+1},$ y $\color{slateblue}{Q = 1}.$
Álgebra de las expresiones racionales
Las reglas para maipular las expresiones racionales son los mismo que las reglas para manipular las fraciones. Vamos a mirar estas reglas una por una:
La regla de cancelación: Simplificar una expresión racional
Regla de cancelación
Si $R$ es cualquiera expresión distinta de cero que es un factor de ambos el numerador y el denominador, a continuación puedes cancelarlo para simplificar la expresión racional:
$\dfrac{P\color{indianred}{R}}{Q\color{indianred}{R}} = \dfrac{P}{Q} \qquad \quad \ \ $ Cancelar la R.
Precaución
$R$ debe ser un factor y no un sumando; por ejemplo,
$\dfrac{P+\color{indianred}{R}}{Q+\color{indianred}{R}}$ ≠ $\dfrac{P}{R} \qquad$ No se puede cancelar un sumando.
Vídeo sugerido para este tema: Video por Matematicatuya
Ejemplos
$\dfrac{(x^2+3x+1)\color{indianred}{(x-1)}}{(x^2+3)\color{indianred}{(x-1)}}$ \t ${}= \dfrac{x^2+3x+1}{x^2+3}$ \t Cancelar los factores $\color{#6968d0}{x-1}$.
\\ $\dfrac{\color{indianred}{x^2}}{\color{indianred}{x^2}(x-1)}$ \t ${}= \dfrac{1}{x-1}$ \t Cancelar los factores $\color{#6968d0}{x^2}$.
\\ \t
\\ $\dfrac{\color{indianred}{(x^2-1)}(x^2y-2xy^2+1)}{\color{indianred}{(x^2-1)}}$ \t ${}= \dfrac{x^2y-2xy^2+1}{1}$ \t Cancelar los factores $\color{#6968d0}{x^2-1}$.
\\ \t ${}= x^2y-2xy^2+1$
\\ \t
\\ $\dfrac{6x^2}{10x^4}$ \t ${}= \dfrac{3 \cdot \color{indianred}{2 \cdot x \cdot x}}{5 \cdot \color{indianred}{2 \cdot x \cdot x} \cdot x \cdot x}$ \t factorizar.
\\ \t ${}= \dfrac{3}{5x^2}$ \t Cancelar los factores $\color{#6968d0}{2x^2}$.
\\ \t
\\ $\dfrac{x^3+x}{x^2+x}$ \t ${}= \dfrac{\color{indianred}{x}(x^2+1)}{\color{indianred}{x}(x+1)}$ \t factorizar.
\\ \t ${}= \dfrac{x^2+1}{x+1}$ \t Cancelar los factores $\color{#6968d0}{x}$.
\\ \t
\\ $\dfrac{x^2+3x+2}{x+1}$ \t ${}= \dfrac{\color{indianred}{(x+1)}(x+2)}{\color{indianred}{x+1}}$ \t factorizar.
\\ \t ${}= x+2$ \t Cancelar los factores $\color{#6968d0}{x+1}$.
Multiplicando y dividiendo expresiones racionales
Multiplicar expresiones racionales
Como es el caso con las fracciones ordinarias, multiplicamos dos expresiones racionales simplemente multiplicando sus numeradores y sus denominadores:
$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}} = \dfrac{\color{#026fc1}{P}\color{#c1026f}{R}}{\color{#026fc1}{Q}\color{#c1026f}{S}} \qquad $ \t Producto de los numeradores sobre Producto de los denominadores
Nota
Antes de realmente calcular los productos arriba y abajo, primero debes simplificar por factorizar y cancelar como más arriba, si sea posible (vea los ejemplos que siguen).
Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me
Ejemplos
\\ $\dfrac{\color{#026fc1}{x+1}}{\color{#026fc1}{x}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{x-1}}{\color{#c1026f}{2x+1}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{(x+1)}\color{#c1026f}{(x-1)}}{\color{#026fc1}{x}\color{#c1026f}{(2x+1)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo.
\\ \t ${}= \dfrac{x^2-1}{2x^2+1}$ \t Calcular los productos.
\\ \t
\\ $\color{#026fc1}{2} \times \dfrac{\color{#c1026f}{4x}}{\color{#c1026f}{x-1}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{2}}{\color{#026fc1}{1}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{4x}}{\color{#c1026f}{x-1}} $ \t Convertir en una expresión algebráica
\\ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{2}\color{#c1026f}{(4x)}}{\color{#026fc1}{(1)}\color{#c1026f}{(x-1)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo.
\\ \t ${}= \dfrac{8x}{x-1}$ \t Calcular los productos.
\\ \t
\\ $\dfrac{\color{#026fc1}{4x}}{\color{#026fc1}{x-1}} \times \color{#c1026f}{(x^2+1)} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{4x}}{\color{#026fc1}{x-1}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{x^2+1}}{\color{#c1026f}{1}} $ \t Convertir en una expresión algebráica
\\ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{4x}\color{#c1026f}{(x^2+1)}}{\color{#026fc1}{(x-1)}\color{#c1026f}{(1)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo.
\\ \t ${}= \dfrac{4x^3+4x}{x-1}$ \t Calcular los productos.
\\ \t
\\ $\dfrac{\color{#026fc1}{x-4}}{\color{#026fc1}{6x}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{4x^3}}{\color{#c1026f}{2x+1}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{(x-4)}\color{#c1026f}{4x^3}}{\color{#026fc1}{6x}\color{#c1026f}{(2x+1)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo.
\\ \t ${}=\dfrac{(x-4)2x}{3(2x+1)}$ \t Simplify: Cancel $\color{#6968d0}{2x}$.
\\ \t ${}= \dfrac{2x^2-8x}{6x+3}$ \t Calcular los productos.
\\ \t
\\ $\dfrac{\color{#026fc1}{x-1}}{\color{#026fc1}{x}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{2x^2-x}}{\color{#c1026f}{x^2-2x-1}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{(x-1)}\color{#c1026f}{(2x^2-x)}}{\color{#026fc1}{x}\color{#c1026f}{(x^2-2x-1)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo.
\\ \t ${}=\dfrac{(x-1)(x)(2x-1)}{x(x-1)(x-1)}$ \t Factorizar.
\\ \t ${}=\dfrac{2x-1}{x-1}$ \t Smplificar: Cancelar las $\color{#6968d0}{x}$ %%and $\color{#6968d0}{(x-1)}$.
Dividir expresiones racionales
Al igual que con las fracciones ordinarias, la división por una expresión racional significa multiplicar por su recíproco:
$\dfrac{\left(\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}}\right)}{\left(\dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}}\right)} = \dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{S}}{\color{#c1026f}{R}} \qquad$ \t
Nota
Como con productos, antes de realmente calcular los productos arriba y abajo, primero debes simplificar por factorizar y cancelar si sea posible.
Vídeo sugerido para este tema: Video por DigitalUANL
Voltear al denominador y multiplicar.
\\ $\qquad = \dfrac{\color{#026fc1}{P}\color{#c1026f}{S}}{\color{#026fc1}{Q}\color{#c1026f}{R}} \qquad \quad$ \t Calcular el producto.
Ejemplos
\\
$\dfrac{\left(\dfrac{\color{#026fc1}{x+1}}{\color{#026fc1}{x}}\right)}{\left(\dfrac{\color{#c1026f}{x-1}}{\color{#c1026f}{2x+1}}\right)} $
\t ${}=\dfrac{\color{#026fc1}{x+1}}{\color{#026fc1}{x}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{2x+1}}{\color{#c1026f}{x-1}}$ \t Voltear al denominador y multiplicar.
\\ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{(x+1)}\color{#c1026f}{(2x+1)}}{\color{#026fc1}{x}\color{#c1026f}{(x-1)}}$ \t Calcular el producto.
\\ \t ${}= \dfrac{2x^2+3x+1}{x^2-x}$
\\ \t
\\ $\dfrac{1}{\left(\dfrac{\color{#c1026f}{2x-1}}{\color{#c1026f}{x^3}}\right)}$
\t ${}= 1 \times \dfrac{\color{#c1026f}{x^3}}{\color{#c1026f}{2x-1}}$ \t Voltear al denominador y multiplicar.
\\ \t ${}= \dfrac{x^3}{2x-1}$
\\ \t
\\ $\dfrac{\left(\dfrac{\color{#026fc1}{4x}}{\color{#026fc1}{x-1}}\right)}{\color{#c1026f}{x^2+1}} $
\t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{4x}}{\color{#026fc1}{x-1}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{1}}{\color{#c1026f}{x^2+1}} $ \t Voltear al denominador y multiplicar.
\\ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{4x}\color{#c1026f}{(1)}}{\color{#026fc1}{(x-1)}\color{#c1026f}{(x^2+1)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo.
\\ \t ${}= \dfrac{4x}{x^3-x^2+x+1}$ \t Calcular los productos.
\\ \t
\\ $\dfrac{\color{#c1026f}{x^2+1}}{\left(\dfrac{\color{#026fc1}{4x}}{\color{#026fc1}{x-1}}\right)} $ \t ${}= \color{#c1026f}{(x^2+1)} \times \dfrac{\color{#026fc1}{x-1}}{\color{#026fc1}{4x}}$ \t Voltear al denominador y multiplicar.
\\ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{(x^2+1)}\color{#c1026f}{(x-1)}}{\color{#026fc1}{(1)}\color{#c1026f}{(4x)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo.
\\ \t ${}= \dfrac{x^3-x^2+x+1}{4x}$ \t Calcular los productos.
Sumando y restando expresiones racionales
Al igual que las otras reglas que hemos visto, las reglas para sumar y restar las expresiones racionales son los mismos que para las fracciones ordinarias. Empezamos con el caso en el que las expresiones que estamos sumanso o restando tienen el mismo denominador.
Sumando y restando con denominador común:
1. Como con fracciones ordinarias, se aplica esta fórmula solo cuando las dos expresiones tienen el mismo denominador.
2. Al sumar o restar expresiones con el mismo denominador, no factorizes ni canceles antes de comenzar como lo harías con productos o cocientes; déjalos como están hasta después de sumar o restar. Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me
$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#c1026f}{Q}} + \dfrac{\color{#026fc1}{R}}{\color{#c1026f}{Q}} = \dfrac{\color{#026fc1}{P} + \color{#026fc1}{R}}{\color{#c1026f}{Q}} \qquad $ \t La suma de los numeradores sobre el denominador común
\\
\\ $\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#c1026f}{Q}} - \dfrac{\color{#026fc1}{R}}{\color{#c1026f}{Q}} = \dfrac{\color{#026fc1}{P} - \color{#026fc1}{R}}{\color{#c1026f}{Q}} \qquad $ \t La resta de los numeradores sobre el denominador común
Notas
1. Como con fracciones ordinarias, se aplica esta fórmula solo cuando las dos expresiones tienen el mismo denominador.
2. Al sumar o restar expresiones con el mismo denominador, no factorizes ni canceles antes de comenzar como lo harías con productos o cocientes; déjalos como están hasta después de sumar o restar. Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me
Ejemplos
\\ $\dfrac{\color{#026fc1}{y}}{\color{#c1026f}{xy+1}} + \dfrac{\color{#026fc1}{x-1}}{\color{#c1026f}{xy+1}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{y + x - 1}}{\color{#c1026f}{xy+1}}$ \t Sumar los numeradores.
\\ \t
\\ $\dfrac{\color{#026fc1}{x^2+1}}{\color{#c1026f}{x-1}} - \dfrac{\color{#026fc1}{2x}}{\color{#c1026f}{x-1}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{x^2-2x+1}}{\color{#c1026f}{x-1}}$ \t Restar los numeradores.
\\ \t ${}= \dfrac{(x-1)^2}{x-1}$ \t Factorizar.
\\ \t ${}= x-1$ \t Smplificar: Cancelar las $\color{#6968d0}{(x-1)}$.
Sumando y restando: Caso general:
Notas
1. Esta fórmula se aplica también a las fracciones ordinarias, y también cuando las dos expresiones tienen el mismo denominador (aunque cancelación es necesario para simplificar la respuesta en este caso).
2. Al sumar o restar expresiones con denominadores distintos, ayuda factorizar y/o cancelar antes de comenzar como lo harías con productos o cocientes. Esto la hace más fácil simplificar la respuesta final.
3. Si los denominadores son iguales, es mejor utilizar la regla de suma y resta con denominador común; de lo contrario tendr‡ que hacer un trabajo adicional para simplificar la respuesta. Vídeo sugerido para este tema: Video por Matematicatuya
| $\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}} + \dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}} = \dfrac{\color{#026fc1}{P}\color{#c1026f}{S} + \color{#026fc1}{Q}\color{#c1026f}{R}}{\color{#026fc1}{Q}\color{#c1026f}{S}} \qquad \quad \ \ $ | Multiplicar en cruz para obtener el numerador: |
$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}}$  $\dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}}$
|
| Multiplicar en línea recta para obtener el denominator: |
$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}}$  $\dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}}$
| |
| $\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}} - \dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}} = \dfrac{\color{#026fc1}{P}\color{#c1026f}{S} - \color{#026fc1}{Q}\color{#c1026f}{R}}{\color{#026fc1}{Q}\color{#c1026f}{S}} \qquad \quad \ \ $ | Multiplicar en cruz para obtener el numerador: |
$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}}$  $\dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}}$
|
| Multiplicar en línea recta para obtener el denominator: |
$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}}$  $\dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}}$
|
1. Esta fórmula se aplica también a las fracciones ordinarias, y también cuando las dos expresiones tienen el mismo denominador (aunque cancelación es necesario para simplificar la respuesta en este caso).
2. Al sumar o restar expresiones con denominadores distintos, ayuda factorizar y/o cancelar antes de comenzar como lo harías con productos o cocientes. Esto la hace más fácil simplificar la respuesta final.
3. Si los denominadores son iguales, es mejor utilizar la regla de suma y resta con denominador común; de lo contrario tendr‡ que hacer un trabajo adicional para simplificar la respuesta. Vídeo sugerido para este tema: Video por Matematicatuya
Ejemplos
$\dfrac{\color{#026fc1}{3}}{\color{#026fc1}{2x+1}} + \dfrac{\color{#c1026f}{4}}{\color{#c1026f}{x-5}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{3}\color{#c1026f}{(x-5)} + \color{#026fc1}{(2x+1)}\color{#c1026f}{4}}{\color{#026fc1}{(2x+1)}\color{#c1026f}{(x-5)}}$ \t
Multiplicar en cruz para el numerador y multiplicar en línea recta para el denominator.
\\ \t ${}= \dfrac{11x - 9}{(2x+1)(x-5)}$
\t
Calcular el numerador.
\\
\\ $\dfrac{\color{#026fc1}{2x}}{\color{#026fc1}{y-1}} - \dfrac{\color{#c1026f}{y+1}}{\color{#c1026f}{x}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{2x}\color{#c1026f}{(x)} - \color{#026fc1}{(y-1)}\color{#c1026f}{(y+1)}}{\color{#026fc1}{(y-1)}\color{#c1026f}{(x)}}$ \t
Multiplicar en cruz para el numerador y multiplicar en línea recta para el denominator.
\\ \t ${}= \dfrac{2x^2-y^2+1}{xy-x}$
\t
Calcular el numerador.
\\
\\ $\dfrac{\color{#026fc1}{5}}{\color{#026fc1}{2x}} - \dfrac{\color{#c1026f}{3}}{\color{#c1026f}{2(x+5)}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{5}\cdot \color{#c1026f}{2(x+5)} - \color{#026fc1}{(2x)}\color{#c1026f}{3}}{\color{#026fc1}{2x}\cdot \color{#c1026f}{2(x+5)}}$ \t
Multiplicar en cruz para el numerador y multiplicar en línea recta para el denominator.
\\ \t ${}= \dfrac{4x + 50}{4x(x+5)}$
\t
Calcular el numerador.
\\ \t ${}= \dfrac{2(2x + 25)}{4x(x+5)}$
\t
Factorizar el numerador.
\\ \t ${}= \dfrac{2x + 25}{2x(x+5)}$
\t
Simplificar: Cancelar el 2.
Poniendolo todo junto
Un última concurso en lo que tendrás que combinar las reglas anteriores:
Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.5 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.
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