Tutorial: Expresiones racionales

Versión juego

(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.4 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

Adaptive game tutorial
Este tutorial juego adaptativo te ayudará a dominar este tema de una manera que se adapte a tu capacidad mientras practicas las preguntas.
Si esta es la primera vez que estudias la materia, puedes encontrar que requieres más ayuda, y como resultado tus resultados del juego podrían terminar más bajo, o incluso puedes "morir". ¡No te desanimes! Simplemente pulsa "Juego nuevo" para jugar el juego tantas veces como sea necesario con el fin de requerir menos ayuda y mejorar tus resultados.
También puedes probar la versión no-juego (vínculo de al lado), que no te da resultados, no es al azar o de adaptación y te da todas las respuestas, pero no te dará práctica adicional al nivel que necesitarías.
Para completar este juego tienes que responder a todas las preguntas correctamente; se te permite hacer varios intentos para ciertas preguntas.
Las preguntas son al azar: Puedes esperar a ver un montón de diferencias cada vez que cargas la página.
Pulsa "Puntos" en cualquier momento para mostrar los resultados que tienes actualmente.
El juego es automaticamente guardado. Reiniciar el juego en tu computaroda con el mismo navigador lanzará el juego guardado.
Pulsa "Nuevo juego" para desechar el juego guardado y empezar un juego nuevo.
Precaución: ¡Hacer clic en las pequeñas imágenes que aparecen de vez en cuando a la izquierda puede tener consecuencias inesperadas! Es posible que desees experimentar con ellos; ¡esto es un juego, después de todo!

Note Para este tutorial, se presupone que ya saves cómo multiplicar las expresiones algebráicas usando la ley distributiva. Si sientes que necesitas revisar este tema, vuelve a %%multFacttut.

¿Qué es una expresión racional?

Expresión racional

Una expresión racional es una expresión algebráica de la forma $\dfrac{P}{Q},$ en la que $P$ y $Q$ son expresiones más simples (usualmente polinomios), y el denominador $Q$ ne es cero.

Ejemplos

$\dfrac{1}{x-1}$ \t es racional con $\color{slateblue}{P = 1,\ \ Q = x-1}$ \\ \t \\ $\dfrac{x^2+3x+1}{x^2+3}\ \ $ \t es racional con $\color{slateblue}{P = x^2+3x+1,\ \ Q = x^2+3}$ \\ \t

Nota Como sucede con los números, podemos pensar en expresiones con ningún denominador (como números enteros y polinomios) como expresiones racionales dividiéndolos por 1:

$x$ se puede considerar como $\dfrac{x}{1},$ que es racional con $\color{slateblue}{P = x},$ y $\color{slateblue}{Q = 1}.$
$1$ se puede considerar como $\dfrac{1}{1},$ que es racional con $\color{slateblue}{P = 1},$ y $\color{slateblue}{Q = 1}.$
$x^2y-2xy^2+1$ se puede considerar como $\dfrac{x^2y-2xy^2+1}{1},$ que es racional con $\color{slateblue}{P = x^2y-2xy^2+1},$ y $\color{slateblue}{Q = 1}.$

Algunas a probar para ti

Álgebra de las expresiones racionales

Las reglas para maipular las expresiones racionales son los mismo que las reglas para manipular las fraciones. Vamos a mirar estas reglas una por una:

La regla de cancelación: Simplificar una expresión racional

Regla de cancelación

Si $R$ es cualquiera expresión distinta de cero que es un factor de ambos el numerador y el denominador, a continuación puedes cancelarlo para simplificar la expresión racional:

$\dfrac{P\color{indianred}{R}}{Q\color{indianred}{R}} = \dfrac{P}{Q} \qquad \quad \ \ $ Cancelar la R.

Precaución $R$ debe ser un factor y no un sumando; por ejemplo,

$\dfrac{P+\color{indianred}{R}}{Q+\color{indianred}{R}} \neq \dfrac{P}{R} \qquad$ No se puede cancelar un sumando.

Vídeo sugerido para este tema: Video por Matematicatuya

Ejemplos

$\dfrac{(x^2+3x+1)\color{indianred}{(x-1)}}{(x^2+3)\color{indianred}{(x-1)}}$ \t ${}= \dfrac{x^2+3x+1}{x^2+3}$ \t Cancelar los factores $\color{#6968d0}{x-1}$. \\ $\dfrac{\color{indianred}{x^2}}{\color{indianred}{x^2}(x-1)}$ \t ${}= \dfrac{1}{x-1}$ \t Cancelar los factores $\color{#6968d0}{x^2}$. \\ \t \\ $\dfrac{\color{indianred}{(x^2-1)}(x^2y-2xy^2+1)}{\color{indianred}{(x^2-1)}}$ \t ${}= \dfrac{x^2y-2xy^2+1}{1}$ \t Cancelar los factores $\color{#6968d0}{x^2-1}$. \\ \t ${}= x^2y-2xy^2+1$ \\ \t \\ $\dfrac{6x^2}{10x^4}$ \t ${}= \dfrac{3 \cdot \color{indianred}{2 \cdot x \cdot x}}{5 \cdot \color{indianred}{2 \cdot x \cdot x} \cdot x \cdot x}$ \t factorizar. \\ \t ${}= \dfrac{3}{5x^2}$ \t Cancelar los factores $\color{#6968d0}{2x^2}$. \\ \t \\ $\dfrac{x^3+x}{x^2+x}$ \t ${}= \dfrac{\color{indianred}{x}(x^2+1)}{\color{indianred}{x}(x+1)}$ \t factorizar. \\ \t ${}= \dfrac{x^2+1}{x+1}$ \t Cancelar los factores $\color{#6968d0}{x}$. \\ \t \\ $\dfrac{x^2+3x+2}{x+1}$ \t ${}= \dfrac{\color{indianred}{(x+1)}(x+2)}{\color{indianred}{x+1}}$ \t factorizar. \\ \t ${}= x+2$ \t Cancelar los factores $\color{#6968d0}{x+1}$.

Multiplicando y dividiendo expresiones racionales

Multiplicar expresiones racionales

Como es el caso con las fracciones ordinarias, multiplicamos dos expresiones racionales simplemente multiplicando sus numeradores y sus denominadores:

$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}} = \dfrac{\color{#026fc1}{P}\color{#c1026f}{R}}{\color{#026fc1}{Q}\color{#c1026f}{S}} \qquad $ \t Producto de los numeradores sobre Producto de los denominadores

Nota Antes de realmente calcular los productos arriba y abajo, primero debes simplificar por factorizar y cancelar como más arriba, si sea posible (vea los ejemplos que siguen).

Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me

Ejemplos

\\ $\dfrac{\color{#026fc1}{x+1}}{\color{#026fc1}{x}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{x-1}}{\color{#c1026f}{2x+1}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{(x+1)}\color{#c1026f}{(x-1)}}{\color{#026fc1}{x}\color{#c1026f}{(2x+1)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo. \\ \t ${}= \dfrac{x^2-1}{2x^2+1}$ \t Calcular los productos. \\ \t \\ $\color{#026fc1}{2} \times \dfrac{\color{#c1026f}{4x}}{\color{#c1026f}{x-1}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{2}}{\color{#026fc1}{1}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{4x}}{\color{#c1026f}{x-1}} $ \t Convertir en una expresión algebráica \\ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{2}\color{#c1026f}{(4x)}}{\color{#026fc1}{(1)}\color{#c1026f}{(x-1)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo. \\ \t ${}= \dfrac{8x}{x-1}$ \t Calcular los productos. \\ \t \\ $\dfrac{\color{#026fc1}{4x}}{\color{#026fc1}{x-1}} \times \color{#c1026f}{(x^2+1)} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{4x}}{\color{#026fc1}{x-1}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{x^2+1}}{\color{#c1026f}{1}} $ \t Convertir en una expresión algebráica \\ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{4x}\color{#c1026f}{(x^2+1)}}{\color{#026fc1}{(x-1)}\color{#c1026f}{(1)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo. \\ \t ${}= \dfrac{4x^3+4x}{x-1}$ \t Calcular los productos. \\ \t \\ $\dfrac{\color{#026fc1}{x-4}}{\color{#026fc1}{6x}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{4x^3}}{\color{#c1026f}{2x+1}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{(x-4)}\color{#c1026f}{4x^3}}{\color{#026fc1}{6x}\color{#c1026f}{(2x+1)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo. \\ \t ${}=\dfrac{(x-4)2x}{3(2x+1)}$ \t Simplify: Cancel $\color{#6968d0}{2x}$. \\ \t ${}= \dfrac{2x^2-8x}{6x+3}$ \t Calcular los productos. \\ \t \\ $\dfrac{\color{#026fc1}{x-1}}{\color{#026fc1}{x}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{2x^2-x}}{\color{#c1026f}{x^2-2x-1}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{(x-1)}\color{#c1026f}{(2x^2-x)}}{\color{#026fc1}{x}\color{#c1026f}{(x^2-2x-1)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo. \\ \t ${}=\dfrac{(x-1)(x)(2x-1)}{x(x-1)(x-1)}$ \t Factorizar. \\ \t ${}=\dfrac{2x-1}{x-1}$ \t Smplificar: Cancelar las $\color{#6968d0}{x}$ %%and $\color{#6968d0}{(x-1)}$.

Dividir expresiones racionales

Al igual que con las fracciones ordinarias, la división por una expresión racional significa multiplicar por su recíproco:

$\dfrac{\left(\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}}\right)}{\left(\dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}}\right)} = \dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{S}}{\color{#c1026f}{R}} \qquad$ \t

Voltear al denominador y multiplicar.

\\ $\qquad = \dfrac{\color{#026fc1}{P}\color{#c1026f}{S}}{\color{#026fc1}{Q}\color{#c1026f}{R}} \qquad \quad$ \t Calcular el producto.

Nota Como con productos, antes de realmente calcular los productos arriba y abajo, primero debes simplificar por factorizar y cancelar si sea posible.

Vídeo sugerido para este tema: Video por DigitalUANL

Ejemplos

$\dfrac{\left(\dfrac{\color{#026fc1}{x+1}}{\color{#026fc1}{x}}\right)}{\left(\dfrac{\color{#c1026f}{x-1}}{\color{#c1026f}{2x+1}}\right)} $

\t ${}=\dfrac{\color{#026fc1}{x+1}}{\color{#026fc1}{x}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{2x+1}}{\color{#c1026f}{x-1}}$ \t Voltear al denominador y multiplicar. \\ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{(x+1)}\color{#c1026f}{(2x+1)}}{\color{#026fc1}{x}\color{#c1026f}{(x-1)}}$ \t Calcular el producto. \\ \t ${}= \dfrac{2x^2+3x+1}{x^2-x}$ \\ \t \\

$\dfrac{1}{\left(\dfrac{\color{#c1026f}{2x-1}}{\color{#c1026f}{x^3}}\right)}$

\t ${}= 1 \times \dfrac{\color{#c1026f}{x^3}}{\color{#c1026f}{2x-1}}$ \t

Voltear al denominador y multiplicar.

\\ \t ${}= \dfrac{x^3}{2x-1}$ \\ \t \\

$\dfrac{\left(\dfrac{\color{#026fc1}{4x}}{\color{#026fc1}{x-1}}\right)}{\color{#c1026f}{x^2+1}} $

\t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{4x}}{\color{#026fc1}{x-1}} \times \dfrac{\color{#c1026f}{1}}{\color{#c1026f}{x^2+1}} $ \t Voltear al denominador y multiplicar. \\ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{4x}\color{#c1026f}{(1)}}{\color{#026fc1}{(x-1)}\color{#c1026f}{(x^2+1)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo. \\ \t ${}= \dfrac{4x}{x^3-x^2+x+1}$ \t Calcular los productos. \\ \t \\ $\dfrac{\color{#c1026f}{x^2+1}}{\left(\dfrac{\color{#026fc1}{4x}}{\color{#026fc1}{x-1}}\right)} $ \t ${}= \color{#c1026f}{(x^2+1)} \times \dfrac{\color{#026fc1}{x-1}}{\color{#026fc1}{4x}}$ \t Voltear al denominador y multiplicar. \\ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{(x^2+1)}\color{#c1026f}{(x-1)}}{\color{#026fc1}{(1)}\color{#c1026f}{(4x)}}$ \t Multiplicar arriba y abajo. \\ \t ${}= \dfrac{x^3-x^2+x+1}{4x}$ \t Calcular los productos.

Sumando y restando expresiones racionales

Al igual que las otras reglas que hemos visto, las reglas para sumar y restar las expresiones racionales son los mismos que para las fracciones ordinarias. Empezamos con el caso en el que las expresiones que estamos sumanso o restando tienen el mismo denominador.

Sumando y restando con denominador común:

$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#c1026f}{Q}} + \dfrac{\color{#026fc1}{R}}{\color{#c1026f}{Q}} = \dfrac{\color{#026fc1}{P} + \color{#026fc1}{R}}{\color{#c1026f}{Q}} \qquad $ \t La suma de los numeradores sobre el denominador común \\ \\ $\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#c1026f}{Q}} - \dfrac{\color{#026fc1}{R}}{\color{#c1026f}{Q}} = \dfrac{\color{#026fc1}{P} - \color{#026fc1}{R}}{\color{#c1026f}{Q}} \qquad $ \t La resta de los numeradores sobre el denominador común

Notas
1. Como con fracciones ordinarias, se aplica esta fórmula solo cuando las dos expresiones tienen el mismo denominador.
2. Al sumar o restar expresiones con el mismo denominador, no factorizes ni canceles antes de comenzar como lo harías con productos o cocientes; déjalos como están hasta después de sumar o restar.

Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me

Ejemplos

\\ $\dfrac{\color{#026fc1}{y}}{\color{#c1026f}{xy+1}} + \dfrac{\color{#026fc1}{x-1}}{\color{#c1026f}{xy+1}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{y + x - 1}}{\color{#c1026f}{xy+1}}$ \t Sumar los numeradores. \\ \t \\ $\dfrac{\color{#026fc1}{x^2+1}}{\color{#c1026f}{x-1}} - \dfrac{\color{#026fc1}{2x}}{\color{#c1026f}{x-1}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{x^2-2x+1}}{\color{#c1026f}{x-1}}$ \t Restar los numeradores. \\ \t ${}= \dfrac{(x-1)^2}{x-1}$ \t Factorizar. \\ \t ${}= x-1$ \t Smplificar: Cancelar las $\color{#6968d0}{(x-1)}$.

Cuando los denominadores son distintos podemos utilizar la siguente regla general, que funciona para todos los casos (incluyendo denominadores comunes) aunque no siempre da la forma más sencilla de la respuesta:

Sumando y restando: Caso general:

$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}} + \dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}} = \dfrac{\color{#026fc1}{P}\color{#c1026f}{S} + \color{#026fc1}{Q}\color{#c1026f}{R}}{\color{#026fc1}{Q}\color{#c1026f}{S}} \qquad \quad \ \ $	Multiplicar en cruz para obtener el numerador:	$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}}$ $\dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}}$
	Multiplicar en línea recta para obtener el denominator:	$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}}$ $\dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}}$

$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}} - \dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}} = \dfrac{\color{#026fc1}{P}\color{#c1026f}{S} - \color{#026fc1}{Q}\color{#c1026f}{R}}{\color{#026fc1}{Q}\color{#c1026f}{S}} \qquad \quad \ \ $	Multiplicar en cruz para obtener el numerador:	$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}}$ $\dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}}$
	Multiplicar en línea recta para obtener el denominator:	$\dfrac{\color{#026fc1}{P}}{\color{#026fc1}{Q}}$ $\dfrac{\color{#c1026f}{R}}{\color{#c1026f}{S}}$

Notas
1. Esta fórmula se aplica también a las fracciones ordinarias, y también cuando las dos expresiones tienen el mismo denominador (aunque cancelación es necesario para simplificar la respuesta en este caso).
2. Al sumar o restar expresiones con denominadores distintos, ayuda factorizar y/o cancelar antes de comenzar como lo harías con productos o cocientes. Esto la hace más fácil simplificar la respuesta final.
3. Si los denominadores son iguales, es mejor utilizar la regla de suma y resta con denominador común; de lo contrario tendr‡ que hacer un trabajo adicional para simplificar la respuesta.

Vídeo sugerido para este tema: Video por Matematicatuya

Ejemplos

$\dfrac{\color{#026fc1}{3}}{\color{#026fc1}{2x+1}} + \dfrac{\color{#c1026f}{4}}{\color{#c1026f}{x-5}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{3}\color{#c1026f}{(x-5)} + \color{#026fc1}{(2x+1)}\color{#c1026f}{4}}{\color{#026fc1}{(2x+1)}\color{#c1026f}{(x-5)}}$ \t Multiplicar en cruz para el numerador y multiplicar en línea recta para el denominator. \\ \t ${}= \dfrac{11x - 9}{(2x+1)(x-5)}$ \t Calcular el numerador. \\ \\ $\dfrac{\color{#026fc1}{2x}}{\color{#026fc1}{y-1}} - \dfrac{\color{#c1026f}{y+1}}{\color{#c1026f}{x}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{2x}\color{#c1026f}{(x)} - \color{#026fc1}{(y-1)}\color{#c1026f}{(y+1)}}{\color{#026fc1}{(y-1)}\color{#c1026f}{(x)}}$ \t Multiplicar en cruz para el numerador y multiplicar en línea recta para el denominator. \\ \t ${}= \dfrac{2x^2-y^2+1}{(2x+1)(x-5)}$ \t Calcular el numerador. \\ \\ $\dfrac{\color{#026fc1}{5}}{\color{#026fc1}{2x}} - \dfrac{\color{#c1026f}{3}}{\color{#c1026f}{2(x+5)}} $ \t ${}= \dfrac{\color{#026fc1}{5}\cdot \color{#c1026f}{2(x+5)} - \color{#026fc1}{(2x)}\color{#c1026f}{3}}{\color{#026fc1}{2x}\cdot \color{#c1026f}{2(x+5)}}$ \t Multiplicar en cruz para el numerador y multiplicar en línea recta para el denominator. \\ \t ${}= \dfrac{4x + 50}{4x(x+5)}$ \t Calcular el numerador. \\ \t ${}= \dfrac{2(2x + 25)}{4x(x+5)}$ \t Factorizar el numerador. \\ \t ${}= \dfrac{2x + 25}{2x(x+5)}$ \t Simplificar: Cancelar el 2.

Poniendolo todo junto

Un última concurso en lo que tendrás que combinar las reglas anteriores:

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.4 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.

←	Anterior Siguiente → Versión no juego Todos tutoriales Página principal Todo para cálculo Todo para mat.finitas Todo English