Tutorial: Números reales

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Nota Se da por hecho que estas familiarizado con los números enteros, fracciones y decimales, y que sabes como sumar, restar, multiplicar, y dividirlos.

Números reales

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. Consideramos tres tipos importantes de números reales: números enteros, números racionales, y números irracionales:

Números enteros, números racionales, números irracionales

Números enteros: Incluyen los nñumeros enteros; positivos, negativos, y cero:

$0,\ \ $ $1,\ \ $ $-1,\ \ $ $2,\ \ $ $-2,\ \ $ $3,\ \ $ $-3,\ \ ...$ Se puede representarlos también en la forma decimal:

$0.0,\ \ $ $1.0,\ \ $ $-1.0,\ \ $ $2.0,\ \ $ $-2.0,\ \ $ $3.0,\ \ $ $-3.0,\ \ ...$ y así sucesivamente.

Números racionales: Estos son los números que se puede representar como fracciones de números enteros. Sus desarrollos en decimales terminan (con ceros) o repiten indefinidamente a partir de cualquier punto; por ejemplo,

$\displaystyle \frac{5}{2} = 2.5$ or $\displaystyle 2.50000\cdots,\ \ $ $\displaystyle \frac{4}{3} = 1.3333\cdots,\ \ $ and $\displaystyle \ \frac{-21}{130} = -0.1\ 615384\ 615384 \cdots.$ Observa que números enteros son automaticamente racionales; por ejemplo, 4 se puede representar como $\dfrac{4}{1}.$

Números irracionales: Estos son los números que no son racionales. Sus desarrollos en decimales nunca terminan ni repiten; por ejemplo,

$\sqrt{2} = 1.4142135623730951\cdots,$ $\pi = 3.141592653589793\cdots,$ and $\ e = 2.718281828459045\cdots.$ El número

$0.1\ 01\ 001\ 0001\ 00001\cdots$es también irracional; aunque su desarrolla decimal sigue un patrón, no es repetiva.

Nota Es imposible estar seguro de si una desarrolla decimal eventualmente se repite o no simplemente mirando una parte de ella como se muestra aquí. Por ejemplo, ¿quién puede decir que la desarrolla decimal arriba de $\sqrt{2}$ no comienza a repetirse después de, digamos, la posición decimal 1000ª? Todo lo que podemos decir al examinar parte de la desarrolla decimal es que parece no repetirse. Ten esto en cuenta cuando contestas las preguntas del concurso a continuación.

Video sugerido para este tema: Video por Atlanix

Ejemplos

Operaciones con los números reales

Las cinco operaciones más comunes del conjunto de los números reales son:•Adición • Sustracción • Multiplicación • División • Exponenciación."Exponenciación" significa elevar un número a una potencia; por ejemplo, $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Cuando escribimos una expresión conteniendo dos o más de estas operaciones, como

$4 + 3 - 4 \div 3 \times 2^3 \quad $ #[or][o]# $\quad 6 + 12(7 - 3 \cdot 6)/4 \cdot 5 \quad$ #[or][o]# $\quad \dfrac{12 - (-2)}{2 \cdot 4^2 - 5^2}$

usamos reglas para decidir el orden en que hacemos los operacionces:

Orden estándar de las operaciones

1. Paréntesis y barras de fracción†

Usa el orden estándar de las operaciones mostrado aquí para calcular primero los valores de todas las expresiones entre paréntesis o corchetes, y avancando de los paréntesis interiores hacía los exteriores. Cuando se trata de una barra de fracción, piense en todo el numerador y el denominador como si estuvieran encerrados entre paréntesis, así que calcule el numerador y el denominador por separado.

2. Exponentes

Eleva todos los números a las potencias indicadas.

3. Multiplicación y división

Haz todas las multiplicaciones y divisiones, avancando de izquierda a derecha. Nota sobre división: Cuando división de números enteros se lleva a una fracción, es frecuentemente mejor dejar el resultado como una fracción reducida en lugar de aproximarla por un decimal. (Así, a veces no hay ninguna cálculo hacer, como en $2/3,$ por ejemplo.)

4. Suma y resta

Haz las sumas y restas que quedan de izquierda a derecha.

† Barras de fracción son las líneas horizontales que separan el numerador y el denominador en una fracción, como en $\dfrac{3-4}{6}$. Los signos de divión $\div$ y $/$ no cuentan como barras de fracción.

Recordando el orden de las operaciones: PEMDAS

P \gap[20] \t Panréntesis y barras de fracción \\ E \gap[20] \t Exponentes \\ MD \gap[20] \t Multiplicación y División (de izquierda a derecha) \\ AS \gap[20] \t Adición y Sustracción (de izquierda a derecha)

Video sugerido para este tema: Video por Numergente

%%Examples:

A continuación, algunos cálculos para que hagas:

Ingresar fórmulas con tecnología

Toda buena calculadora o aplicación informática respeta el orden estándar de las operaciones. Cuando ingresamos fórmulas siempre debemos tener cuidado particular con división y multiplicación, y el uso de los paréntesis.

Ingresar fórmulas

Las siguentes convenciones se aplican a la mayoria de las formas de tecnología, como hojas de cálculo, calculadoras graficadoras, y, en buena parte, a lenguajes de programación (aunque el método de ingresar exponentes puede variar significamente de un lenguaje de programación a otro):

#[Operation][Operación]#	#[Symbol][Símbolo]#	#[Examples][Ejemplos]#
#[Addition, Subtraction, Negative][Suma, Resta, Negativo]#	Los símbolos costumbrados: + and −	-3+5-8=-6 3-x+y
#[Multiplication][Multiplicación]#	El asterisco: . Ingresa $a \times b$ como ab.	-452+6=-34 xy-6x
#[Exponentiation][Exponenciación]#	La virgula: ^. Ingresa $a^b$ como a^b. Si el exponente incluya sumas, restas, y/o productos, enciérralo entre paréntesis. #[Enter][Ingresa]# $a^{b+c}$ #[as][como]# a^(b+c) #[Enter][Ingresa]# $a^{b}+c$ #[as][como]# a^b+c	2^3=8 2^x+y
Paréntesis	Siempre paréntesis () normales; nunca paréntesis cuadrados [], ni corchetes {} Así, por ejemplo, ingresa $2[(4 + 3)/2]$ como 2*((4+3)/2).	(2(3+5)-2)/2=7 (2(x+y))^4
Paréntesis redundante	Los paréntesis son necesarios solo para cambiar el orden de operaciones en una fírmua que ingresas; de lo contrario no hacen nada. (a/b) = a/b y representa $\dfrac{a}{b}.$ (a)/(b) = a/b y representa $\dfrac{a}{b}.$ (ab)/c = ab/c y representa $\dfrac{ab}{c} = a\dfrac{b}{c}.$ (a^b)/c = a^b/c y representa $\dfrac{a^b}{c}.$	(1+3)/(2) = (1+3)/2 = $\dfrac{1+3}{2}$ #[but][pero]# 1+3/2 = $1 + \dfrac{3}{2}.$ (3^(4))/(2) = 3^4/2 = $\dfrac{3^4}{2}$ #[but][pero]# 3^(4/2) = $3^{4/2}.$ 1-(3^(4x)) = 1-3^(4x) = $1 - 3^{4x}$ #[but][pero]# 1-3^4x = $1 - 3^4x.$
División	No hay barras de fracciones en las fórmulas tecnología. Para el símbolo de división usa la diagonal /. Si el numerador o denominador incluya sumas, restas, y/o productos, enciérralo entre paréntesis. Ingresa $\dfrac{a}{b}$ como a/b Ingresa $\dfrac{a}{b+c}$ como a/(b+c) Ingresa $\dfrac{a+b}{c}$ como (a+b)/c Ingresa $\dfrac{a+b}{c+d}$ como (a+b)/(c+d)	4/(4+5)=4/9 4/4+5=6 (12+6)/3=6 12+6/3=14

Nota

Calculadoras graficadoras populares usan un símbolo más corto para negativo, pero hojas de cálculo y lenguajes de programación siempre usan el mismo símbolo para resta y negativo.
Calculadoras graficadoras populares se permiten omitir los asteriscos en productos, pero hojas de cálculo y lenguajes de programación no lo permiten.

#[Intervals][Intervalos]#

#[Subsets of the set of real numbers which happen to be unbroken segments are called intervals, and show up quite often and so we have a compact notation for them.][A subconjuntos del conjunto de los números reales que resultan ser segmentos continuos, nos llamamos intervalos, y se encunetra frecuentemente, por lo que tenemos una notación compacta para representarlos.]#

#[Interval Notation ][Notación de intervalo]#

#[Here is a list of types of intervals along with examples:][Lo siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos:]#

	#[Interval][Intervalo]#	#[Description][Descripción]#	#[Picture][Dibujo]#	%Example
#[Closed][Cerrado]#	$[a, b]$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $a \leq x \leq b$		$[0, 10]$ #[Includes $0$ and $10$][Incluya $0$ y $10$]#
#[Open][Abierto]#	$(a, b)$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $a < x < b$		$(-1, 5)$ #[Excludes $-1$ and $5$][Excluya $-1$ y $5$]#
#[Half-open][Semibierto]#	$(a, b]$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $a < x \leq b$		$(-3, 1]$ #[Excludes $-3,$ includes $1$][Excluya $-3,$ incluya $1$]#
	$[a, b)$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $a \leq x < b$		$[-4, 0)$ #[Includes $-4,$ excludes $0$][Incluya $-4,$ excluya $0$]#
#[Infinite][Infinito]#	$[a, +\infty)$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $a \leq x < +\infty$		$[-3, +\infty)$ #[Includes $-3$][Incluya $-3$]#
	$(a, +\infty)$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $a < x < +\infty$		$(0, +\infty)$ #[Excludes $0$][xEcluya $0$]#
	$(-\infty, b]$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $-\infty < x \leq b$		$(-\infty, 2]$ #[Includes $2$][Incluya $2$]#
	$(-\infty, b)$	#[Set of real numbers $x$ with][Conjunto de números reales $x$ tal que]# $-\infty < x < b$		$(-\infty, -1)$ #[Excludes $-1$][Excluya $-1$]#
	$(-\infty, +\infty)$	#[Set of all real numbers][Conjunto de todos los números reales]# $-\infty < x < +\infty$		$(-\infty, +\infty)$

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.