Tutorial: Números reales
Versión juego adaptivo
(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado) #[I don't like this new tutorial. Take me back to the older tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]#
Números reales
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. Consideramos tres tipos importantes de números reales: números enteros, números racionales, y números irracionales:
Números enteros, números racionales, números irracionales
Números enteros: Incluyen los nñumeros enteros; positivos, negativos, y cero:
- $0,\ \ $ $1,\ \ $ $-1,\ \ $ $2,\ \ $ $-2,\ \ $ $3,\ \ $ $-3,\ \ ...$
- $0.0,\ \ $ $1.0,\ \ $ $-1.0,\ \ $ $2.0,\ \ $ $-2.0,\ \ $ $3.0,\ \ $ $-3.0,\ \ ...$
- $\displaystyle \frac{5}{2} = 2.5$ or $\displaystyle 2.50000\cdots,\ \ $ $\displaystyle \frac{4}{3} = 1.3333\cdots,\ \ $ and $\displaystyle \ \frac{-21}{130} = -0.1\ 615384\ 615384 \cdots.$
- $\sqrt{2} = 1.4142135623730951\cdots,$ $\pi = 3.141592653589793\cdots,$ and $\ e = 2.718281828459045\cdots.$
- $0.1\ 01\ 001\ 0001\ 00001\cdots$
Ejemplos
Operaciones con los números reales
Las cinco operaciones más comunes del conjunto de los números reales son:
$4 + 3 - 4 \div 3 \times 2^3 \quad $ #[or][o]# $\quad 6 + 12(7 - 3 \cdot 6)/4 \cdot 5 \quad$ #[or][o]# $\quad \dfrac{12 - (-2)}{2 \cdot 4^2 - 5^2}$
usamos reglas para decidir el orden en que hacemos los operacionces:
Orden estándar de las operaciones
1. Paréntesis y barras de fracción†
2. Exponentes
3. Multiplicación y división
4. Suma y resta
†
Barras de fracción son las líneas horizontales que separan el numerador y el denominador en una fracción, como en $\dfrac{3-4}{6}$. Los signos de divión $\div$ y $/$ no cuentan como barras de fracción.
Recordando el orden de las operaciones: PEMDAS
Usa el orden estándar de las operaciones mostrado aquí para calcular primero los valores de todas las expresiones entre paréntesis o corchetes, y avancando de los paréntesis interiores hacía los exteriores. Cuando se trata de una barra de fracción, piense en todo el numerador y el denominador como si estuvieran encerrados entre paréntesis, así que calcule el numerador y el denominador por separado.
2. Exponentes
Eleva todos los números a las potencias indicadas.
3. Multiplicación y división
Haz todas las multiplicaciones y divisiones, avancando de izquierda a derecha. Nota sobre división: Cuando división de números enteros se lleva a una fracción, es frecuentemente mejor dejar el resultado como una fracción reducida en lugar de aproximarla por un decimal. (Así, a veces no hay ninguna cálculo hacer, como en $2/3,$ por ejemplo.)
4. Suma y resta
Haz las sumas y restas que quedan de izquierda a derecha.
P \gap[20] \t Panréntesis y barras de fracción \\ E \gap[20] \t Exponentes \\ MD \gap[20] \t Multiplicación y División (de izquierda a derecha) \\ AS \gap[20] \t Adición y Sustracción (de izquierda a derecha)
Video sugerido para este tema: Video por Numergente
%%Examples:
Ingresar fórmulas con tecnología
Toda buena calculadora o aplicación informática respeta el orden estándar de las operaciones. Cuando ingresamos fórmulas siempre debemos tener cuidado particular con división y multiplicación, y el uso de los paréntesis.
Ingresar fórmulas
Las siguentes convenciones se aplican a la mayoria de las formas de tecnología, como hojas de cálculo, calculadoras graficadoras, y, en buena parte, a lenguajes de programación (aunque el método de ingresar exponentes puede variar significamente de un lenguaje de programación a otro):
Nota
#[Operation][Operación]# | #[Symbol][Símbolo]# | #[Examples][Ejemplos]# |
#[Addition, Subtraction, Negative][Suma, Resta, Negativo]# | Los símbolos costumbrados: + and − | -3+5-8=-6 3-x+y |
#[Multiplication][Multiplicación]# | El asterisco: *. Ingresa $a \times b$ como a*b. | -4*5*2+6=-34 x*y-6*x |
#[Exponentiation][Exponenciación]# |
La virgula: ^. Ingresa $a^b$ como a^b.
Si el exponente incluya sumas, restas, y/o productos, enciérralo entre paréntesis. #[Enter][Ingresa]# $a^{b+c}$ #[as][como]# a^(b+c) #[Enter][Ingresa]# $a^{b}+c$ #[as][como]# a^b+c |
2^3=8 2^x+y |
Paréntesis |
Siempre paréntesis () normales; nunca paréntesis cuadrados [], ni corchetes {} Así, por ejemplo, ingresa $2[(4 + 3)/2]$ como 2*((4+3)/2). |
(2*(3+5)-2)/2=7 (2*(x+y))^4 |
Paréntesis redundante |
Los paréntesis son necesarios solo para cambiar el orden de operaciones en una fírmua que ingresas; de lo contrario no hacen nada. (a/b) = a/b y representa $\dfrac{a}{b}.$ (a)/(b) = a/b y representa $\dfrac{a}{b}.$ (a*b)/c = a*b/c y representa $\dfrac{ab}{c} = a\dfrac{b}{c}.$ (a^b)/c = a^b/c y representa $\dfrac{a^b}{c}.$ |
(1+3)/(2) = (1+3)/2 = $\dfrac{1+3}{2}$
#[but][pero]# 1+3/2 = $1 + \dfrac{3}{2}.$ (3^(4))/(2) = 3^4/2 = $\dfrac{3^4}{2}$ #[but][pero]# 3^(4/2) = $3^{4/2}.$ 1-(3^(4x)) = 1-3^(4x) = $1 - 3^{4x}$ #[but][pero]# 1-3^4x = $1 - 3^4x.$ |
División |
No hay barras de fracciones en las fórmulas tecnología. Para el símbolo de división usa la diagonal /. Si el numerador o denominador incluya sumas, restas, y/o productos, enciérralo entre paréntesis. Ingresa $\dfrac{a}{b}$ como a/b Ingresa $\dfrac{a}{b+c}$ como a/(b+c) Ingresa $\dfrac{a+b}{c}$ como (a+b)/c Ingresa $\dfrac{a+b}{c+d}$ como (a+b)/(c+d) |
4/(4+5)=4/9 4/4+5=6 (12+6)/3=6 12+6/3=14 |
- Calculadoras graficadoras populares usan un símbolo más corto para negativo, pero hojas de cálculo y lenguajes de programación siempre usan el mismo símbolo para resta y negativo.
- Calculadoras graficadoras populares se permiten omitir los asteriscos en productos, pero hojas de cálculo y lenguajes de programación no lo permiten.
#[Intervals][Intervalos]#
#[Subsets of the set of real numbers which happen to be unbroken segments are called intervals, and show up quite often and so we have a compact notation for them.][A subconjuntos del conjunto de los números reales que resultan ser segmentos continuos, nos llamamos intervalos, y se encunetra frecuentemente, por lo que tenemos una notación compacta para representarlos.]#
Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
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