Tutorial: Conjuntos y operaciones de conjuntos
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Este tutorial: Parte A: Básicos, uniones, intersecciones, y complementos
(Se puede encontrar este tema en la Sección 7.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
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Fundamentos: Conjuntos, elementos
En pocas palabras, un conjunto es una colección de objetos distintos, llamados elementos, que pueden ser cualquier cosas que podamos concebir: objetos reales, números, letras, palabras, o incluso conjuntos mismos. La teoría de conjuntos es extremadamente importante en todas las matemáticas, y fue inventada porGeorg Cantor..
Conjuntos y elementos
Como se mencionó anteriormente, un conjunto es una colección de objetos distintos, llamados los elementos del conjunto. Usualmente usamos una letra mayúscula para nombrar un conjunto, y llaves rizadas {} para incluir los elementos de un conjunto. Por ejemplo,
Como se mencionó anteriormente, un conjunto es una colección de objetos distintos, llamados los elementos del conjunto. Usualmente usamos una letra mayúscula para nombrar un conjunto, y llaves rizadas {} para incluir los elementos de un conjunto. Por ejemplo,
- $A = \{1, 3, 5, 7\}$
$A = \{n \mid n \text{es un entero positivo impar} \leq 7 \} \qquad$ \t $A$ es el conjunto de todas las $n$ tal que $n$ ies un entero positivo impar $\leq 7.$
Aquí, la línea vertical significa "tal que", y leemos - "$\{n \mid \text{ bla bla bla} \}$"
Ejemplos
1. \t %%Let $P = \{x, y, z, t\}$. \gap[20] \t $P$ es el conjunto (finito) que consiste en $x, y, z$, y $t$
\\ \t Entonces $z \in P$ pero $w \notin P$. \t $z$ es un elemento de $P$ pero $w$ no es un elemento de $P$.
\\
\\ \t #[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:
\t En una diagrama de Venn, se representa conjuntos por rgiones (a menudo discos) y los elementos del conjunto están dentro de la región. \\ \\ 2. \t %%Let $Q = \{x \mid x \text{ es un entero negativo} \}$. \gap[20] \t $Q$ es en conjunto (infinito) de todas las $x$ tal que $x$ es in entero negative \\ \t Por lo que $Q = \{ -1, -2, -3, -4, ...\}$. \\ \t entonces $-378 \in Q$ pero $2 \notin Q$. \t $-378$ es un elemento de $Q$ pero $2$ no es un elemento de $Q$. \\ \\ \t #[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:
Algunos para ti
\t En una diagrama de Venn, se representa conjuntos por rgiones (a menudo discos) y los elementos del conjunto están dentro de la región. \\ \\ 2. \t %%Let $Q = \{x \mid x \text{ es un entero negativo} \}$. \gap[20] \t $Q$ es en conjunto (infinito) de todas las $x$ tal que $x$ es in entero negative \\ \t Por lo que $Q = \{ -1, -2, -3, -4, ...\}$. \\ \t entonces $-378 \in Q$ pero $2 \notin Q$. \t $-378$ es un elemento de $Q$ pero $2$ no es un elemento de $Q$. \\ \\ \t #[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:
No importa el orden
El orden en que escribimos los elementos de un conjunto no es importante, por lo que el conjunto $A$ anterior también puede escribirse como
- $A = \{3, 1, 7, 5 \}$ Esto es el mismo conjunto que $\{1, 3, 5, 7 \}$.
%%A #[There is a set with no elements called the empty set or null set. This set is denoted by $\emptyset$. Thus,][Hay un conjunto con ninguos elementos al que se llama el conjunto vacio o el conjunto nula. Este conjunto se denota por $\emptyset$. Por lo tanto,]#
-
$\emptyset = \{\} \qquad \qquad$ $\emptyset$ no tiene ningunos elementos.
Relaciones entre los conjuntos
Al igual que con los números, dos conjuntos se pueden relacionar entre sí de varias maneras:
Relaciones conjunto
Igualdad: Como un conjunto no es nada más que una colección de elementos, dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
Ejemplos
1. \t $\{3, 1, 7, 5\} = \{1, 3, 5, 7\}$ \t No importa el orden
\\ 2. \t $\{3, 1, 7, 5\} \neq \{3, 1, 7\}$ \t No tienen los mismos elementos.
\\ 3. \t $\{3, 1, 7, 5\} = \{n \mid n \ \text{es un entero positivo impar} \leq 7 \} \}$ \gap[20] \t Tienen los mismos elementos.
Subconjunto: $B \subseteq A$ significa que $B$ es un subconjunto de $A$; cada elemento de $B$ también es un elemento de $A$. Así, en una representación por un diagrama de Venn, la región que representa $A$ incluye la región que representa $B$:
Al igual que con las desigualdades, podemos también escribir la relación $B \subseteq A$ al revés como $A \supseteq B$.
Nota Si $A$ es cualquier conjunto, entonces $A \subseteq A$ ya que ¡cada elemento de $A$ es un elemento de $A$!
$B \subseteq A$
Ejemplos
1. \t $\{3, 5, 7\} \subseteq \{1, 3, 5, 7\}$
\\ 2. \t $\{3, 5, 7\} \subseteq \{3, 5, 7\}$ \t %%If $A = B$, %%then $A \subseteq B$.
\\ 3. \t $\emptyset \subseteq A$ para cada conjunto $A$. \gap[20] \t El conjunto vacio es un subconjunto de cada conjunto.
Subconjunto propio:
$B \subset A$ significa que $B$ es un subconjunto propio de $A$: $B \subseteq A$ but $B \neq A$.
Al igual que con las desigualdades, podemos también escribir la relación $B \subset A$ al revés como $A \supset B$.
Nota Si $A$ es cualquier conjunto, entonces $A \subseteq A$ ya que ¡cada elemento de $A$ es un elemento de $A$!
Ejemplos
1. \t $\{3, 5, 7\} \subset \{1, 3, 5, 7\}$
\\ 2. \t $\{3, 5, 7\} \cancel{\subset} \{3, 5, 7\}$ \gap[40] \t Porque son iguales
Operaciones en conjuntos: unión, intersección, complemento, y producto cartesiano
Ya estamos familiarizados con la idea de que las operaciones en números, como la suma, la multiplicación, la división y tomar el recíproco, producen números nuevos desde los viejos. De la misma manera, también hay operaciones en conjuntos que producen conjuntos nuevos a partir de los viejos. Aquí hay algunos importantes:
Uniones y intersecciones
Uniones y intersecciones de conjuntos
Unión: Tomar la unión de dos conjuntos $A$ y $B$ significa combinar los elementos de ambos en un solo, posiblemente más grande, conjunto, que escribimos como $A \cup B$. Especificamente,
- $A \cup B$ es la unión de $A$ y $B,$ el conjunto de todos los elementos que están en $A$ o en $B$ (o en ambos). En símbolos:
- $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ o } x \in B\}$
Ejemplos
1. \t $\{1, 3, 5\} \cup \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3, 5\}$ \t No se permiten repeticiones en un conjunto
\\ \t
$A \cup B = \{1, 2, 3, 5\}$ \\ 2. \t $A \cup A = A$ \t Ningunos elementos nuevos introducidos \\ 3. \t $A \cup \emptyset = A$ \t Ningunos elementos nuevos introducidos
Algunos para ti
#[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:
\t $A = \{1, 3, 5\}, B = \{1, 2, 3\}$$A \cup B = \{1, 2, 3, 5\}$ \\ 2. \t $A \cup A = A$ \t Ningunos elementos nuevos introducidos \\ 3. \t $A \cup \emptyset = A$ \t Ningunos elementos nuevos introducidos
Intersección: La intersección de dos conjuntos $A$ y $B$ es el solo conjunto de todos los elementos comunes a amb os (si los hay). Escribimos la intersección de $A$ y $B$ como $A \cap B$. Así, $A \cap B$ es el conjunto de todos los elementos que están simultáneamente en $A$ y $B$. En símbolos:
- $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ y } x \in B\}$
Ejemplos
1. \t $\{1, 3, 5\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 3\}$ \t Solo los elementos comunes a ambos
\\ \t
$A \cap B = \{1, 3\}$ \\ 2. \t $A \cap A = A$ \t Todos los elementos en común \\ 3. \t $A \cap \emptyset = \emptyset$ \t Ningunos elementos en común
Algunos para ti
#[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:
\t $A = \{1, 3, 5\}, B = \{1, 2, 3\}$$A \cap B = \{1, 3\}$ \\ 2. \t $A \cap A = A$ \t Todos los elementos en común \\ 3. \t $A \cap \emptyset = \emptyset$ \t Ningunos elementos en común
Equivalentes lógicos
Para que un elemento esté en $A \cup B$, debe estar en $A$ o en $B$.
Para que un elemento esté en $A \cap B$, debe estar en $A$ y en $B$.
Para que un elemento esté en $A \cup B$, debe estar en $A$ o en $B$.
Para que un elemento esté en $A \cap B$, debe estar en $A$ y en $B$.
Complementos
Hay otra operación que usamos con frecuencia: tomando el complemento de un conjunto $A$, que, en términos generales, es el conjunto de elementos no en $A$. Para ser más precisos, primero necesitamos especificar un conjunto universal $S$ que consista en todos los elementos de los conjuntos en discusión:
- Si los conjuntos bajo consideración son conjuntos de sitios web, podemos especificar que $S$ sea el conjunto de todos los sitios web.
- Si los conjuntos bajo consideración son conjuntos de números reales, podemos especificar que $S$ sea el conjunto de todos los números reales.
- Si los conjuntos bajo consideración son conjuntos de números enteros, podemos especificar que $S$ sea el conjunto $\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 ... \}$ de todos los números enteros.
Complementos de elementos
Si $S$ es un conjunto unversal para los conjuntos baja consideración, entonces $A\prime$, el complemento de $A$ (en $S$) es el conjunto de todos los elementos de $S$ no en $A$.
Si $S$ es un conjunto unversal para los conjuntos baja consideración, entonces $A\prime$, el complemento de $A$ (en $S$) es el conjunto de todos los elementos de $S$ no en $A$.
- $A\prime = \{x \in S \mid x \notin A\}$
#[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:
$S$ |
$\overbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}$ |
Ejemplos
1. \t %%Let $S = \{a, b, c, d, e, f, g\},\ A = \{a, b, c, d\}$.
\\ \t Entonces $A\prime = \{e, f, g \}$ \gap[20] \t Elementos de $S$ no en $A$
\\
\\ \t #[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:
\t $S = \{a, b, c, d, e, f, g\},\ A = \{a, b, c, d\}$
$A\prime=\{e,f,g\}$ \\ 2. \t %%Let $S = \{x \mid x $ es un entero no negativo$ \}$, \gap[20] \t $S = \{ 0, 1, 2, 3, 4, ...\}$ \\ \t %%and %%let $A = \{x \mid x $ es un entero par no negativo$ \}$. \gap[20] \t $A = \{ 0, 2, 4, 6, ...\}$ \\ \t Entonces $A' = \{ 1, 3, 5, 7, ...\}$. \t Elementos de $S$ no en $A$
Algunos para ti
$S$ |
$\overbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}$ |
\t $S = \{a, b, c, d, e, f, g\},\ A = \{a, b, c, d\}$
$A\prime=\{e,f,g\}$ \\ 2. \t %%Let $S = \{x \mid x $ es un entero no negativo$ \}$, \gap[20] \t $S = \{ 0, 1, 2, 3, 4, ...\}$ \\ \t %%and %%let $A = \{x \mid x $ es un entero par no negativo$ \}$. \gap[20] \t $A = \{ 0, 2, 4, 6, ...\}$ \\ \t Entonces $A' = \{ 1, 3, 5, 7, ...\}$. \t Elementos de $S$ no en $A$
Equivalente lógico
Para que un elemento esté en $A'$, debe estar en $S$ pero no en $B$.
Para que un elemento esté en $A'$, debe estar en $S$ pero no en $B$.
Ahora sigue al parte B de este tutorial o prueba algunos de los ejercicios en la Sección 7.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
Derechos de autor © 2018 Stefan Waner y Steven R. Costenoble