Tutorial: Conjuntos y operaciones de conjuntos

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Este tutorial: Parte A: Básicos, uniones, intersecciones, y complementos

Ir a Parte B: Productos cartesianos y conjuntos de resultados

(Se puede encontrar este tema en a Sección 6.1 del libro Matemáticas finitas o la Sección 7.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

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Fundamentos: Conjuntos, elementos

En pocas palabras, un conjunto es una colección de objetos distintos, llamados elementos, que pueden ser cualquier cosas que podamos concebir: objetos reales, números, letras, palabras, o incluso conjuntos mismos. La teoría de conjuntos es extremadamente importante en todas las matemáticas, y fue inventada porGeorg Cantor..

Conjuntos y elementos
Como se mencionó anteriormente, un conjunto es una colección de objetos distintos, llamados los elementos del conjunto. Usualmente usamos una letra mayúscula para nombrar un conjunto, y llaves rizadas {} para incluir los elementos de un conjunto. Por ejemplo,

$A = \{1, 3, 5, 7\}$ significa que $A$ es el conjunto que consta de los cuatro elementos 1, 3, 5, y 7

Si preferimos describir los elementos de un conjunto que enumerar todos sus miembros individuales, podemos en cambio usar la notación de constructor de conjunto, y escribir, para el conjunto anterior

$A = \{n \mid n \text{es un entero positivo impar} \leq 7 \} \qquad$ \t $A$ es el conjunto de todas las $n$ tal que $n$ ies un entero positivo impar $\leq 7.$

Aquí, la línea vertical significa "tal que", y leemos

"$\{n \mid \text{ bla bla bla} \}$" as "el conjunto de todas las $n$ tal que bla bla bla."

Escribimos $3 \in A$ para indicar que $3$ es un elemento del conjunto $A$ anterior. Por otro lado, como $4$ no es un elemento de $A$, escribimos $4 \notin A$.

Conjuntos como $\{1, 3, 5, 7\}$ arriba de llaman conjuntos finitos ya que solo tienen un número finito de elementos (cuatro en este caso). Por otro lado, $\{n \mid n \text{ es un entero positivo impar }$ contiene un número infinito de elementos: $1, 3, 5, 7, ...$ y se llama un conjunto ..

Ejemplos

1. \t %%Let $P = \{x, y, z, t\}$. \gap[20] \t $P$ es el conjunto (finito) que consiste en $x, y, z$, y $t$ \\ \t Entonces $z \in P$ pero $w \notin P$. \t $z$ es un elemento de $P$ pero $w$ no es un elemento de $P$. \\ \\ \t #[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:
\t En una diagrama de Venn, se representa conjuntos por rgiones (a menudo discos) y los elementos del conjunto están dentro de la región. \\ \\ 2. \t %%Let $Q = \{x \mid x \text{ es un entero negativo} \}$. \gap[20] \t $Q$ es en conjunto (infinito) de todas las $x$ tal que $x$ es in entero negative \\ \t Por lo que $Q = \{ -1, -2, -3, -4, ...\}$. \\ \t entonces $-378 \in Q$ pero $2 \notin Q$. \t $-378$ es un elemento de $Q$ pero $2$ no es un elemento de $Q$. \\ \\ \t #[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:

Algunos para ti

No importa el orden El orden en que escribimos los elementos de un conjunto no es importante, por lo que el conjunto $A$ anterior también puede escribirse como

Esto es el mismo conjunto que $\{1, 3, 5, 7 \}$.

%%Q #[Must sets always have elements? Can a set have no elements?][¿Los conjuntos deben tener siempre elementos?]#
%%A #[There is a set with no elements called the empty set or null set. This set is denoted by $\emptyset$. Thus,][Hay un conjunto con ninguos elementos al que se llama el conjunto vacio o el conjunto nula. Este conjunto se denota por $\emptyset$. Por lo tanto,]#

$\emptyset$ no tiene ningunos elementos.

Relaciones entre los conjuntos

Al igual que con los números, dos conjuntos se pueden relacionar entre sí de varias maneras:

Relaciones conjunto

Igualdad: Como un conjunto no es nada más que una colección de elementos, dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.

Ejemplos

1. \t $\{3, 1, 7, 5\} = \{1, 3, 5, 7\}$ \t No importa el orden \\ 2. \t $\{3, 1, 7, 5\} \neq \{3, 1, 7\}$ \t No tienen los mismos elementos. \\ 3. \t $\{3, 1, 7, 5\} = \{n \mid n \ \text{es un entero positivo impar} \leq 7 \} \}$ \gap[20] \t Tienen los mismos elementos.

Subconjunto: $B \subseteq A$ significa que $B$ es un subconjunto de $A$; cada elemento de $B$ también es un elemento de $A$. Así, en una representación por un diagrama de Venn, la región que representa $A$ incluye la región que representa $B$:

$B \subseteq A$

Al igual que con las desigualdades, podemos también escribir la relación $B \subseteq A$ al revés como $A \supseteq B$.

Nota Si $A$ es cualquier conjunto, entonces $A \subseteq A$ ya que ¡cada elemento de $A$ es un elemento de $A$!

Ejemplos

1. \t $\{3, 5, 7\} \subseteq \{1, 3, 5, 7\}$ \\ 2. \t $\{3, 5, 7\} \subseteq \{3, 5, 7\}$ \t %%If $A = B$, %%then $A \subseteq B$. \\ 3. \t $\emptyset \subseteq A$ para cada conjunto $A$. \gap[20] \t El conjunto vacio es un subconjunto de cada conjunto.

Subconjunto propio: $B \subset A$ significa que $B$ es un subconjunto propio de $A$: $B \subseteq A$ but $B \neq A$.

Al igual que con las desigualdades, podemos también escribir la relación $B \subset A$ al revés como $A \supset B$.

Nota Si $A$ es cualquier conjunto, entonces $A \subseteq A$ ya que ¡cada elemento de $A$ es un elemento de $A$!

Ejemplos

1. \t $\{3, 5, 7\} \subset \{1, 3, 5, 7\}$ \\ 2. \t $\{3, 5, 7\} \cancel{\subset} \{3, 5, 7\}$ \gap[40] \t Porque son iguales

Operaciones en conjuntos: unión, intersección, complemento, y producto cartesiano

Ya estamos familiarizados con la idea de que las operaciones en números, como la suma, la multiplicación, la división y tomar el recíproco, producen números nuevos desde los viejos. De la misma manera, también hay operaciones en conjuntos que producen conjuntos nuevos a partir de los viejos. Aquí hay algunos importantes:

Uniones y intersecciones

Uniones y intersecciones de conjuntos

Unión: Tomar la unión de dos conjuntos $A$ y $B$ significa combinar los elementos de ambos en un solo, posiblemente más grande, conjunto, que escribimos como $A \cup B$. Especificamente,

unión

$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ o } x \in B\}$

Ejemplos

1. \t $\{1, 3, 5\} \cup \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3, 5\}$ \t No se permiten repeticiones en un conjunto \\ \t

#[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:

\t $A = \{1, 3, 5\}, B = \{1, 2, 3\}$
$A \cup B = \{1, 2, 3, 5\}$ \\ 2. \t $A \cup A = A$ \t Ningunos elementos nuevos introducidos \\ 3. \t $A \cup \emptyset = A$ \t Ningunos elementos nuevos introducidos

Algunos para ti

Intersección: La intersección de dos conjuntos $A$ y $B$ es el solo conjunto de todos los elementos comunes a amb os (si los hay). Escribimos la intersección de $A$ y $B$ como $A \cap B$. Así, $A \cap B$ es el conjunto de todos los elementos que están simultáneamente en $A$ y $B$. En símbolos:

$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ y } x \in B\}$

Ejemplos

1. \t $\{1, 3, 5\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 3\}$ \t Solo los elementos comunes a ambos \\ \t

#[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:

\t $A = \{1, 3, 5\}, B = \{1, 2, 3\}$
$A \cap B = \{1, 3\}$ \\ 2. \t $A \cap A = A$ \t Todos los elementos en común \\ 3. \t $A \cap \emptyset = \emptyset$ \t Ningunos elementos en común

Algunos para ti

Equivalentes lógicos
Para que un elemento esté en $A \cup B$, debe estar en $A$ o en $B$.
Para que un elemento esté en $A \cap B$, debe estar en $A$ y en $B$.

Complementos

Hay otra operación que usamos con frecuencia: tomando el complemento de un conjunto $A$, que, en términos generales, es el conjunto de elementos no en $A$. Para ser más precisos, primero necesitamos especificar un conjunto universal $S$ que consista en todos los elementos de los conjuntos en discusión:

Si los conjuntos bajo consideración son conjuntos de sitios web, podemos especificar que $S$ sea el conjunto de todos los sitios web.
Si los conjuntos bajo consideración son conjuntos de números reales, podemos especificar que $S$ sea el conjunto de todos los números reales.
Si los conjuntos bajo consideración son conjuntos de números enteros, podemos especificar que $S$ sea el conjunto $\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 ... \}$ de todos los números enteros.

Complementos de elementos
Si $S$ es un conjunto unversal para los conjuntos baja consideración, entonces $A\prime$, el complemento de $A$ (en $S$) es el conjunto de todos los elementos de $S$ no en $A$.

#[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:

$S$

$\overbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}$

Ejemplos

1. \t %%Let $S = \{a, b, c, d, e, f, g\},\ A = \{a, b, c, d\}$. \\ \t Entonces $A\prime = \{e, f, g \}$ \gap[20] \t Elementos de $S$ no en $A$ \\ \\ \t #[Venn diagram representation][Representación diagrama de Venn]#:

$S$

$\overbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}$

\t $S = \{a, b, c, d, e, f, g\},\ A = \{a, b, c, d\}$
$A\prime=\{e,f,g\}$ \\ 2. \t %%Let $S = \{x \mid x $ es un entero no negativo$ \}$, \gap[20] \t $S = \{ 0, 1, 2, 3, 4, ...\}$ \\ \t %%and %%let $A = \{x \mid x $ es un entero par no negativo$ \}$. \gap[20] \t $A = \{ 0, 2, 4, 6, ...\}$ \\ \t Entonces $A' = \{ 1, 3, 5, 7, ...\}$. \t Elementos de $S$ no en $A$

Algunos para ti

Equivalente lógico
Para que un elemento esté en $A'$, debe estar en $S$ pero no en $B$.

Ahora sigue al parte B de este tutorial o prueba algunos de los ejercicios en a Sección 6.1 del libro Matemáticas finitas o la Sección 7.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.