Tutorial: Conjuntos y operaciones de conjuntos

Versión juego adaptivo

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Este tutorial: Parte B: Productos cartesianos y conjuntos de resultados

(Se puede encontrar este tema en a Sección 6.1 del libro Matemáticas finitas o la Sección 7.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

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Productos cartesianos

Supongamos que estás en el concesionario comprando una motocicleta nueva, y está te queda decidir sobre la capacidad del motor y el color. El conjunto de capacidades que estás considerando es

$V = \{$ 250, 350, 650, 750 $\}$ (en cc). y el conjunto de colores disponibles es

$C = \{$ rojo, blanco, verde $\}$. ¿Cómo se puede representar el conjunto de todas las alternativas de motocicletas que resultan?

Aquí, elegir una motocicleta significa elegir dos elementos: una capacidad del conjunto $V$ y un color del conjunto $C$. Por ejemplo, si eliges 250 de $V$ y verde de $C$, terminarás con una moto verde de 250 cc. Podemos representar matemáticamente esta opción en particular como un par ordenado "(250, verde)". El primer elemento del par representa la primera elección realizada (una capacidad) y el segundo elemento representa la segunda elección realizada (un color).

Si pasamos por todas las alternativas posibles, obtenemos el siguiente conjunto de todos los resultados posibles:

Mostramos los elementos en cuatro filas para mayor comodidad.

Llamamos a este conjunto el producto cartesiano de los conjuntos $V$ y $C$, y lo escribimos como $V \times C$. Así,

$\displaystyle V \times C = \begin{Bmatrix}(250, \text{rojo}), & (250, \text{blanco}), & (250, \text{verde),} \\ (350, \text{rojo}), & (350, \text{blanco}), & (350, \text{verde}), \\ (650, \text{rojo}), & (650, \text{blanco}), & (650, \text{verde}), \\ (750, \text{rojo}), & (750, \text{blanco}), & (750, \text{verde}) \end{Bmatrix}$

Producto cartesiano
El producto cartesiano de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto de todos los pares ordenados $(a, b)$ con $a \in A$ y $b \in B$:

$A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A \text{ and } b \in B \}$.

Ejemplos

1. \t !2! %%Let $A = \{a,b\}$ %%and $B = \{1,2,3\}$, Entonces \\ \t !2!

$A \times B = \{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}$. \\ \\ \t #[Visualizing the cartesian product][Visualizando el producto cartesiano]#:
\t Los elementos del producto cartesiano nos recuerdan la forma en que representamos los puntos en el plano cartesiano con dos coordenadas. Aquí, la "coordenada-$x$" es un elemento de $A$, y el "coordenada-$y$" es un elemento de $B$. Por lo tanto, colocamos los elementos de $A$ a lo largo del eje $x$ y los elementos de $B$ a lo largo del eje $y$, y luego observamos la cuadrícula de coordenadas resultante, donde cada punto de intersección tiene coordenadas que representan un elemento de $A \times B$. \\ \\ 2. \t %%If \\ \t \gap[40] $S = \{$%%H, %%T$\} \qquad$ \\ \t entonces \\ \t !2! \gap[40] $S \times S = \{$(%%H, %%H), (%%H, %%T), (%%T, %%H), (%%T, %%T)$\} \qquad$ \\ \\ 3. \t !3! Sea R el conjunto de todos los números reales. Entonces \\ \\ \t !2! \gap[40] R × R $ = \{ (x, y) \mid x \text{ y } y $ números reales $\}$, \\ \\ \t !3! que reconocemos como una representación del plano cartesiano.

Algunos para ti

Conjuntos y resultados

A menudo nos interesa el resultado de algún tipo de actividad o "experimento". Por ejemplo:

Lanza una moneda y observa qué lado está boca arriba: hay dos posibles resultados: %%heads (%%H) o %%tails (%%T), así se puede escribir el conjunto de resultados posibles como $S = \{\text{c},\text{s}\}$.
Lanza un dado y observa el número hacia arriba. Podemos representar el conjunto de los seis resultados como $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Supongamos, por ejemplo, que nuestro experimento consiste en una secuencia de dos pasos, como lanzar una moneda o tirar un dado dos veces seguidas. En tales casos, los resultados serán pares de los resultados de los pasos individuales. Por ejemplo, si lanzamos una moneda dos veces seguidas, podríamos obtener %%heads seguidas de %%tails, que podemos representar como (%%H, %%T), o dos %%heads seguidas, presentadas por (%%H, %%H). Tenga en cuenta que estos resultados son solo elementos del producto cartesiano $\{$%%H, %%T$\} \times \{$%%H, %%T$\}$.

Productos cartesianos y experimentos de varios pasos
Si un experimento consta de dos pasos con conjuntos de resultados individuales $A$ para el primer paso y $B$ para el segundo, entonces el conjunto de resultados para el experimento de dos pasos es $A \times B$.

Del mismo modo, si un experimento consta de tres pasos con conjuntos de resultados individuales $A, B$ and $C$ respectivamente, entonces el conjunto de resultados para el experimento de tres pasos es $A \times B \times C$, el conjunto de triples $(a,b,c)$ with $a \in A, b \in B$, and $c \in C$:

$A \times B \times C = \{(a,b,c) \mid a \in A, b \in B, c \in C \}$. Podemos generalizar esta observación a cualquier número de pasos, como verás en el #[decisions algorithms tutorial][tutorial sobre algoritmos de decisión]#.

Ejemplos

\\ 1. \t %%If \\ \t \gap[40] $S = \{$%%H, %%T$\} \qquad$ \\ \t !r! #[The set of outcomes of tossing a coin once][El conjunto de resultados al lanzar una moneda una vez]# \\ \t entonces \\ \t !2! \gap[40] $S \times S = \{$(%%H, %%H), (%%H, %%T), (%%T, %%H), (%%T, %%T)$\} \qquad$ \\ \t !r! #[The set of outcomes of tossing a coin twice][El conjunto de resultados al lanzar una moneda dos veces]# \\ \\ 2. \t %%If \\ \t \gap[40] $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \qquad$ \\ \t !r! #[The set of outcomes of rolling a die once][El conjunto de resultados al tirar un dado una vez]# \\ \t entonces \\ \t !2! \gap[40] \t \\ \t !r! El conjunto de resultados al tirar un dado dos veces \\ \t !3! Así, por ejemplo, el resultado $(2, 3)$ representa un 2 seguida de un 3 cuando tiras un dado dos veces. \\ \\ 3. \t Mira nuevamente el ejemplo de comprar una motocicleta al comienzo de este tutorial. \\ \t La decisión de qué motocicleta elegir puede considerarse como un experimento de dos pasos:

Elija una capacidad del conjunto $V=\{$ 250, 350, 650, 750 $\}$.
Elija un color del conjunto $C = \{$ rojo, blanco, verde $\}$.

El conjunto de resultados es, por lo tanto,

que es exactamente el conjunto al que llegamos en la discusión anterior S

Algunos para ti

Dados distinguibles e indistinguibles.

Vimos anteriormente que el conjunto de resultados cuando lanzamos un dado dos veces puede representarse mediante un producto cartesiano.

$\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \times \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \begin{Bmatrix} (1,1), & (1,2), & (1,3), & (1,4), & (1,5), & (1,6), \\ (2,1), & (2,2), & (2,3), & (2,4), & (2,5), & (2,6), \\ (3,1), & (3,2), & (3,3), & (3,4), & (3,5), & (3,6), \\ (4,1), & (4,2), & (4,3), & (4,4), & (4,5), & (4,6), \\ (5,1), & (5,2), & (5,3), & (5,4), & (5,5), & (5,6), \\ (6,1), & (6,2), & (6,3), & (6,4), & (6,5), & (6,6) \end{Bmatrix}$. Obtenemos el mismo conjunto de resultados si lanzamos los dos dados simultáneamente pero los distinguimos de alguna manera, como si fuera uno es rojo y el otro verde, entonces podemos pensar en la primera coordenada como el resultado del dado rojo y la segunda como el resultado del dado verde. Así, por ejemplo, el resultado $(3, 2)$ indicaría que el dado rojo muestra un 3 y el dado verde muestra un 2, mientras que $(2, 3)$ indicaría que el dado rojo muestra un 2 y el dado verde muestra un 3.

Sin embargo, ¿qué pasaría si los dos dados fueran idénticos y los colocáramos en una caja cerrada y luego sacudiéramos la caja? Cuando miramos hacia adentro después, no hay manera de saber qué dado es cuál. (Si hacemos una pequeña marca en uno de los dados o de alguna manera lo seguimos mientras rebota, estamos distinguiendo los dados). Consideramos dos dados como indistinguibles Si no intentamos distinguirlos. Así, por ejemplo, los dos resultados diferentes $(2,3)$ y $(3,2)$ representarían el mismo resultado (un dado muestra un 2 y el otro un 3). Debido a que un conjunto de resultados debe contener cada elemento solo una vez, podemos eliminar $(3,2)$. Siguiendo este enfoque se obtiene el siguiente conjunto más pequeño de resultados:

Conjunto de resultados para un par de dados indistinguibles $\displaystyle = \begin{Bmatrix} (1,1), & (1,2), & (1,3), & (1,4), & (1,5), & (1,6), \\ \ & (2,2), & (2,3), & (2,4), & (2,5), & (2,6), \\ \ & \ & (3,3), & (3,4), & (3,5), & (3,6), \\ \ & \ & \ & (4,4), & (4,5), & (4,6), \\ \ & \ & \ & \ & (5,5), & (5,6), \\ \ & \ & \ & \ & \ & (6,6) \end{Bmatrix}$. Del mismo modo, el conjunto de resultados para un par de monedas indistinguibles sería

#[We eliminated (%%T, %%H), as it is the same as (%%H, %%T).][Eliminaos (%%T, %%H), ya que es lo mismo que (%%H, %%T).]#

Ahora prueba los ejercicios en a Sección 6.1 del libro Matemáticas finitas o la Sección 7.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.