Tutorial: Funciones trigonométricas, modelos y regresión

Versión juego adaptivo

Este tutorial: Parte A: Modelar con la función seno

Ir a Parte B: Las seis funciones trigonométricas

(Se puede encontrar este tema en la Sección 16.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

¿Qué es un tutorial juego adaptivo? ▶

¿Qué es la función seno?

Echa un vistazo la siguiente gráfica, que muestra la temperatura media mes a mes en Alemania durante un período de dos años.

La curva que se aproxima a las temperaturas trazadas es una curva sinusoidal, que es el tipo de curva que puede modelar muchos tipos de comportamiento cíclico, desde la propagación de la luz y resortes oscilantes en la física hasta patrones de ventas y empleo en la economía. Las curvas sinusoidales se basan en la función seno: imagina una bicicleta estacionaria con una rueda de radio es una unidad, con un marcador adherido a su llanta, como se muestra en la siguiente figura.

A medida que la rueda gira, la altura $h(t)$ del marcador sobre el centro de la rueda fluctúa entre $-1$ y $+1$. Cuanto más rápido gira la rueda, más rápida es la oscilación. Elijamos ahora nuestras unidades de medida para que la rueda tenga un radio de una unidad. Entonces se sabe que la circunferencia de la rueda (la distancia alrededor) es $2\pi$, donde $\pi = 3.14159265...$. Cuando el borde exterior de la rueda ha recorrido esta distancia, ha dado exactamente una vuelta, por lo que vuelve al punto de partida. Así, si en el tiempo $t=0$, el marcador comenzó en la posición $h(0)=0$, luego vuelve a cero después de una revolución. Si la llanta de la rueda gira a una velocidad de una unidad por segundo, la rueda de la bicicleta tardará $2\pi$ segundos en dar una vuelta completa, por lo que la rueda vuelve a estar donde empezó en ese momento.

Para ver cómo se comporta $h(t)$ con el tiempo, ejecute la siguiente simulación (o arrastre el punto en la rueda).

La función seno

Definición rueda de bicicleta
Si una rueda de 1 unidad de radio gira en sentido anti-horario a una velocidad de 1 unidad de longitud por segundo, y en el tiempo $t=0$ está en la posición que se muestra en las figuras anteriores, entonces su altura después de $t$ segundos está dada por

#[$h(t) = \sin(t).$][$h(t) = \text{sen}(t).$]#

Definición geométrica
El seno de un número real $t$ está dado por la coordenada $y$ (altura sobre el eje $x$) del punto $P$ en el siguiente diagrama, en el que $t$ es la longitud del arco que se muestra.

#[Notes][Notas]#:

El diagrama muestra cómo encontrar el seno de $t$ para $t$ positivo. Para $t$ negativo, giramos la rueda en sentido contrario a las agujas del reloj, de modo que el punto $P$ inicialmente se mueve hacia abajo, y la coordenada $y$ $\sin(t)$ es el negativo del valor para $t$ positivo (mueva el punto en la rueda interactiva en el sentido de las agujas del reloj para ver cómo). Entonces,
$\sin(-t) = -\sin(t)$.
También podemos pensar que la cantidad $t$ mide el ángulo $Q0P$ que abarca; la cantidad $t$ es entonces la medida en radianes del ángulo $QOP$, y $\text{sen}(t)$ también se llama el seno del ángulo $t$ radianes.

#[Graph][Gráfica]#:

y = #[sin][sen]#(t)

Observa cómo la gráfica de $y = \text{sen}(t)$ oscila entre un valor alto de $1$ y un valor bajo de $-1$; decimos que su oscilación tiene una amplitud de 1.

#[Examples][Ejemplos]#

Ya que la circunferencia de todo el círculo es $2\pi$, cuando $t = 2\pi$, el punto $P$ se ha movido alrededor de todo el círculo, devolviéndolo a su posición inicial en el eje-$x$ a una altura de $0$. De este modo,

#[$\sin(2\pi) = 0$][$\text{sen}(2\pi) = 0$]# \gap[20] \t $2\pi$ #[constitutes a complete revolution, or 360°.][constituye una completa revolución, o 360°.]#

Del mismo modo, cuando el punto $P$ se ha movido un cuarto del camino alrededor del círculo, una distancia de $\dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$, forma un ángulo de 90° con el eje $x$ positivo y está en su posición más alta, por lo que

#[$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$][$\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$]# \gap[20] \t $\dfrac{\pi}{2}$ #[constitutes a quarter of a revolution, or 90°.][constituye un cuarto de revolución, o 90°.]#

Un valor negativo de $t$ correspondería a mover el punto $P$ en el sentido de las agujas del reloj una distancia de $|t|$. Entonces, por ejemplo, $t = -\dfrac{\pi}{2}$ lo movería hacia abajo a la derecha, un cuarto de vuelta alrededor del círculo hasta el punto más bajo, por lo que

#[$\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1$][$\text{sen}\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1$]# \gap[20] \t $-\dfrac{\pi}{2}$ #[is the radian measure of the angle −90°.][es la medida en radianes del ángulo −90°.]#

Nota Es común escribir $\text{sen}(x)$ sin paréntesis como $\text{sen} x$ de la misma manera que escribimos $\log(x)$ como $\log x$ (y a menudo lo haremos aquí). Sin embargo, al ingresar $\text{sen}(x)$ como fórmula en hojas de cálculo y calculadoras (¡y también en este tutorial!), siempre se deben usar los paréntesis.

Algunos para ti

Transformar la función seno

Para usar la función de seno para modelar fenómenos del mundo real como temperaturas mensuales o ondas de luz que se propagan, necesitamos manipular la curva de seno en el sentido que hacemos con las funciones generales en Funciones nuevas a partir de viejas: funciones escaladas y desplazadas

Transformaciones de la función seno

Amplitud
Multiplicar $\text{sen}(x)$ por una constante positiva $A$ hace que su gráfica oscile entre $A$ y $-A$ en lugar de entre $1$ y $-1$. Por ejemplo, el siguiente gráfico muestra $2\sin(x)$ (marcado en rojo).

$y = \text{sen}(x) \qquad \qquad \qquad$$y = 2\text{sen}(x)$

Por eso decimos que la función $2\sen(x)$ de $x$ tiene amplitud $2$.

Desplazamiento vertical
Agregar una cantidad $C$ a $\text{sen}(x)$ hace que su gráfica se desplace hacia arriba en $C$. (Si $C$ es negativo, se entiende que esto significa un desplazamiento hacia abajo de $|C|$.) Por ejemplo, el siguiente gráfico muestra $1/2 + \text{sen}(x)$ (trazado en rojo).

$y = \text{sen}(x) \qquad \qquad \qquad$$y = 1/2 + \text{sen}(x)$

Desplazamiento horizontal
Si $a$ es positivo, entonces reemplazar $x$ por $x-a$ hace que la gráfica de $\text{sen}(x)$ se desplace hacia la derecha en $a$ unidades, y reemplazar $x$ por $x+a$ hace que la gráfica se desplace desplazar izquierda en $a$ unidades. Por ejemplo, el siguiente gráfico muestra $\text{sen}(x-\pi/4)$ (trazado en rojo).

$y = \text{sen}(x) \qquad \qquad \qquad$$y = \text{sen}(x-pi/4)$

Frecuencia angular
Si $\omega$ es positivo, entonces reemplazar $x$ por $\omega x$ resulta en $\text{sen}(\omega x)$, que oscila $\omega$ veces más rápido que $\text{sen}(x)$. Por ejemplo, la siguiente gráfica muestra $\text{sen}(2x)$ (trazado en rojo).

$y = \text{sen}(x) \qquad \qquad \qquad$$y = \text{sen}(2x)$

Por eso decimos que la función $\sen(2x)$ de $x$ tiene la frecuencia angular $2$.

Frecuencia angular y periodo

Vimos arriba que la gráfica de la función seno se repite cada $2\pi$ unidades. Esto significa que aumentar o disminuir $x$ en $2\pi$ da como resultado la misma coordenada $y$:

$\text{sen}(x \pm 2\pi) = \text{sen}(x)$

Por esto razon decimos que la función seno tiene un periodo de $P = 2\pi$.

También vimos que multiplicar $x$ por $2$ generaba una gráfica que oscila el doble de rápido que la de $\text{sen}(x)$, por lo que el período se reduce a la mitad. En otras palabras, el período de $\text{sen}(2x)$ es $P = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$.

Periodo $P=\pi:$
$\text{sen}(2(x \pm \pi)) = \text{sen}(2x)$

#[Recall that we called the multiple $2$ in $\sin(2x)$ its angular frequency of oscillation. In general we can say][Recuerda que llamamos al múltiplo $2$ en $\text{sen}(2x)$ su frecuencia angular de oscilación. Por lo general podems decir]#:

Relación entre la frecuencia angular y el período

#[The period $P$ and angular frequency $\omega$ of oscillation are related by][El periodo $P$ y la frecuencia angular $\omega$ de oscilación están relacionados por]#

$P = \dfrac{2\pi}{\omega}$.

#[For instance, the function $\sin(3x)$ has period of oscillation][Por ejemplo, la función $\text{sen}(3x)$ tiene periodo de oscilación]# $P = \dfrac{2\pi}{3}$.

#[We can rewrite the above formula by solving for $\omega$ to get][Podemos reescribir la fórmula anterior resolviendo $\omega$ para obtener]#

$\omega = \dfrac{2\pi}{P}$.

#[For instance, if we want a function with period 1, we need to multiply $x$ by][Por ejemplo, si queremos una función con período 1, necesitamos multiplicar $x$ por]# $\omega = \dfrac{2\pi}{1} = 2\pi$ #[to get][para obtener]#

#[$\sin(\omega x) = \sin(2\pi x). \qquad$][$\text{sen}(\omega x) = \text{sen}(2\pi x). \qquad$]# #[The function $\sin(2\pi x)$ has period 1.][La función $\text{sen}(2\pi x)$ has periodo 1.]#

#[Examples][Ejemplos]#

1. $f(x) = \sin\left(\dfrac{x}{4}\right)$ #[has period][tiene periodo]# $P = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{1/4} = 8\pi.$ \\2. $g(x) = \sin\left(\dfrac{x}{4} + 9\right)$ #[also has period][también tiene periodo]# $8\pi.$ \t

#[(2) is a horizontally shifted form of (1).][(2) es una forma desplazada horizontalmente de (1).]#

\\ 3. $f(t) = 8\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$ #[has period][tiene periodo]# $P = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12$. \t

#[The amplitude does not affect the period.][La amplitud no afecta el periodo.]#

\\ 4. $f(t) = 8\sin\left(\dfrac{\pi}{6}(t-4)\right)$ #[also has period 12.][también tiene periodo 12.]# \t

#[(4) obtained from (3) by shifting it to the right by 4 units.][(4) se obtiene de (3) desplazándolo hacia la derecha en 4 unidades.]#

Algunos para ti

Modelado con la función seno

Echa otro vistazo al gráfico que muestra la temperatura media en Alemania durante dos años:

La gráfica definitivamente se parece a la de $f(t) = \sin(t)$, pero con una amplitud de alrededor de 10 (la mitad de la distancia entre el punto más alto y el punto más bajo), un período de 12 en lugar de $2\pi$, y también desplazado hacia arriba y hacia la derecha. Por lo tanto, para modelar una curva como esta, necesitamos hacer una sucesión de transformaciones de los tipos anteriores.

En general, aplicando tal sucesión de estas transformaciones nos da lo siguiente:

Función seno generalizada

#[A generalized sine function has the following form.][Una función seno generalizada tiene la siguiente forma.]#

$f(x) = A\sin\left[\omega(x-\alpha)\right] + C$

#[Thus,][Por lo tanto,]#

$A = {}$ #[amplitude][amplitud]#
$\omega = {}$ #[angular frequency][frecuencia angular]#
$\alpha = {}$ #[phase shift (horizontal offset; the graph first crosses the baseline $\alpha$ units to the right of the $y$-axis).][cambio de fase (desplazamiento horizontal; la gráfica primero cruza la línea base $\alpha$ unidades a la derecha del eje $y$).]#
$C = {}$ #[vertical offset (the graph is moved $C$ units up).][desplazamiento vertical (la gráfica se mueve $C$ unidades hacia arriba).]#

La siguiente gráfica muestra cómo se ve esta curva, con algunas fórmulas para obtener $A,\ \omega,\ \alpha,$ y $C$ de la gráfica.

#[Graph of ][Gráfica de ]# $\bold{f(x) = A\sin\left[\omega(x-\alpha)\right] + C}$

$\displaystyle A = \frac{\text{valor alto} - \text{valor bajo}}{2} \qquad \omega = \frac{2\pi}{P} \qquad \alpha = \beta - \frac{P}{4}$
#[$C = {}$ height of baseline: Average of highest and lowest values][$C = {}$ altura de la línea base: promedio de los valores alto y bajo]#

Nota Aumentar o disminuir $\alpha$ (o $\beta$) por el período $P$ o múltiplos de $P$ no tiene efecto en la gráfica (y se permitirá en los ejercicios interactivos) ya que lo estaríamos moviendo horizontalmente esa distancia. Por conveniencia, estamos usando el valor no negativo más bajo para $\alpha$ como se muestra en la gráfica .

#[Example][Ejemplo]# Para modelar la temperatura media en Alemania, usamos las fórmulas arriba.

$\displaystyle A = \frac{\text{valor alto} - \text{valor bajo}}{2} \approx \frac{20 - 0}{2} = 10$ \\ $P = 12$ \\ $\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ \\ $\displaystyle \alpha = \beta - \frac{P}{4} \approx 6 - \frac{12}{4} = 3$ \\ $C = {}$ #[Average of highest and lowest values][promedio de los valores alto y bajo]# $\displaystyle \approx \frac{20+0}{2} = 10$.

#[Thus, our approximate model is][Por lo tanto, nuestro modelo aproximado es]#

$f(t)$ \t $\displaystyle {} = A\sin\left[\omega(t-\alpha)\right] + C$ \\ \t $\displaystyle {} =10\sin\left[\frac{\pi}{6}(t-3)\right] + 10$.

Aquí hay una aplicación para modelar una situación de la vida real.

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 16.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.