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Cálculo aplicado resumen del tema: introducción a la derivada

Herramientas: Evaluador y Graficador de Funciones | Graficador Excel | Graficador Excel de Primera y Segunda Derivada

Tópicos: Razón Promedio de Cambio | La Derivada | Enfoque Numérico | Enfoque Geométrico | Enfoque Algebraico | Velocidad

Razón promedio de cambio de f(x) durante el intervalo [a, b]: Cociente de las Diferencias

La razón promedio de cambio de f(x) durante el intervalo [a, b] es

    Razón promedio de cambio=
    Δf

    Δx
    		=
    f(b) - f(a)

    b - a
    		.
La razón promedio de cambio se le llama también el cociente de las diferencias de f(x) durante el intervalo [a, b]. Sus unidades de medida son unidades de f(x) por unidad de x.
Formulación Alternativa: Razón promedio de cambio de f(x) durante el intervalo [a, a+h]
(b se remplaza por a+h en el anunciado anterior.)

La razón promedio de cambio de f(x) durante el intervalo [a, a+h] es

    Razón promedio de cambio =
    f(a+h) - f(a)

    h
    		.

Unidades:
Las unidades de la razón promedio de cambio son unidades de f por unidad de x.

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 Ejemplo

Si f(x) = 2x2 - 4x + 1, entonces la razón promedio de cambio de f(x) durante el intervalo [2, 4] es

    Razón promedio de cambio =
    f(4) - f(2)

    4 - 2
    =
    17 - 1

    2
    		=8.

Interpretación:
Si, por ejemplo, f(x) se representa los beneficios de su compañía (en millones de dólares) y x se representa el año desde enero 2003, entonces las unidades de medida de la razón promedio de cambio son millones de dólares al año. De esta manera, su compañía ganó un beneficio promedio de $8 millón al año durante el periodo enero 2005 (t = 2) a enero 2007 (t = 4).

Se puede usar la siguiente pequeña utilidad para calcular la razón promedio de cambio de la función anterior f(x) durante otros intervalos. Introduca las coordenadas-x (a y b en la formula), deje blanco todo el resto, y pulse "Calcula." (Se puede también cambiar la función a alguna función que se quiere, usando formato normal de tecnología.)

f(x) =
a =     b =
Raz. Promedio de Cambio:
   

Se puede utilizar también el evaluador de funciones para computar razones promedios de cambio.

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Razón Instantánea de Cambio de f(x) a x = a: La Derivada

La razón instantánea de cambio de f(x) a x = a se define como el límite de las razones promedio del cambio en los intervalos [a, a+h] (calculados por los cocientes de las diferencias) cuando h tiende a 0.

    Razón instantánea de cambio =
    lim
    h→0
    f(a+h) - f(a)

    h
    		.
A la esta razón instantánea de cambio también se le llama la derivada de f(x) evaluado a x = a, y se le escribe como f'(a) (se lee "f prima de a"). Sus unidades de medida son unidades de f(x) por unidad de x. Entonces,
    f'(a) =
    lim
    h→0
    f(a+h) - f(a)

    h
    		.

Nota:

  • f'(a) = Razón instantánea de cambio de f al punto a.
  • f'(x) = Razón instantánea de cambio de f al punto x.
De esta manera, la derivada f'(x) es una función de x, pues puede cambiar su valor con x.

Como es un límite f'(x), hay la posibilidad que no exista. Es decir, las cantidades [f(x+h) - f(x)]/h pueden acercarse a un número fijado o no cuando h tiende a cero. Si todo vaya bien y existe el límite, decimos que f es diferenciable a x. Si no, decimos que f no es diferenciable a x.

Aquí, resumimos tres maneras para obtener la derivada a un punto: numérica, geométrica, y algebraica.

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 Ejemplos

Si f(x) = 2x2 - 4x + 1, como más arriba. Entonces, la razón instantánea de f(x) a x = 2 es

    f'(2) = 4.
(Veremos más abajo como se obtiene esta contesta.)

Interpretación
Si, por ejemplo, f(x) se representa los beneficios de su compañía (en millones de dólares) y x se representa el año desde enero 2003, entonces las unidades de medida de la razón instantánea de cambio son las mismas que las de la razón promedio: millones de dólares al año. De esta manera, los beneficios de su compañía crecían a una tasa de 4 millones de dólares al año a principios de 2005 (t = 2).

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Enfoque Numérico

Para calcular numéricamente un valor aproximado de f'(a) (para un valor especifico a) se puede usar:

  1. Una tabla de valores
  2. Una "aproximación rápida"
El primer método demuestra aproximaciones cada vez más mejor, a veces dejándole la oportunidad adivinar el valor exacto, y el segundo método da un solo cálculo aproximado.

Usando una tabla
En una tabla, se calcula una secuencia de valores de los cocientes de las diferencias

    f(a+h) - f(a)

    h
con valores de h cada vez más pequeño y se decide a cual número tienden los valores. (Mire el ejemplo en frente.)

Usando una aproximación rápida
Se elige un solo valor pequeño de h y se calcula el cociente de las diferencias:

    f'(a) ≈
    f(a + 0.0001) - f(a)

    0.0001
    		Cociente adelante de las diferencias
Aquí, hemos elegido h = 0.0001. Cuanta más pequeño h, más exacto la aproximación. (Mire el ejemplo en frente.)

Una otra aproximación rápida: Cociente balanceado de las diferencias
Con frecuencia la siguiente formula alternativa produce un resultado más exacto:

    f'(a) ≈
    f(a+0.0001) - f(a-0.0001)

    0.0002
    		Cociente balanceado de las diferencias

Calculador de Derivadas (Cociente balanceado de las diferencias)
Introduzca una función, introduzca el punto a, ajuste h como quiere, y pulse "Calcula".

f(x) =
a =     h =
f'(a)
   

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 Ejemplos

Para continuar con el ejemplo f(x) = 2x2 - 4x + 1, calculamos un valor aproximado de f'(2).

Usando una tabla: El cociente de las diferencias (con a = 2) es

f(2+h) - f(2)

h
=
2(2+h)2-4(2+h)+1 - (2(2)2-4(2)+1)

h
La siguiente tabla demuestra el valor de este cociente de las diferencias con diversos valores de h que se tienden a cero.

h10.10.010.001
Cociente de las diferencias64.24.024.002

Cuando h se dismunue, podremos ver que el valor se acerca cada vez más a 4. Entonces, concluimos

    f'(2) ≈ 4.

Usando una aproximación rápida (cociente adelante de las diferencias):
Usamos la formula (con a = 2)

    f'(2)≈
    f(2+0.0001) - f(2)

    0.0001
    =
    f(2.0001) - f(2)

    0.0001
    =
    1.00040002 - 1

    0.0001
    		=4.0002.
(Se pudiera haber usado la utilidad más arriba para hacer esta cálculo. Para el cociente balanceado, se puede usar la utilidad en frente.)

Observe que el cociente adelante de las diferencias no se da el valor exacto (4), pero en el caso de funciones cuadráticas como esta, el cociente balanceado de las diferencias da siempre el valor exacto.

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Enfoque Geométrico: La Derivada como Pendiente

Recta secante y tangente
La pendiente de la recta secante por los puntos en la gráfica de f donde x = a y x = a+h se determina como la pendiente de la recta PQ en la siguiente diagrama:

msec = Pendiente de recta secante por P y Q=
f(a+h) - f(a)

h

Esta es también la formula de la razón promedio de cambio de f durante el intervalo [a,a+h]. Entonces,

Pendiente de la recta secante = Razón promedio de cambio

La pendiente de la recta tangente en el punto en la curva de f donde x = a se determina por mover el punto Q cada vez más cerca a P; es decir, por dejar que h acercarse a 0:


   

mtan = Pendiente de recta tangente=
lim
h→0
f(a+h) - f(a)

h
=f'(a)

Esta es también la formula de la razón instantánea de cambio de f al punto a. Entonces,

Pendiente de la recta tangente = Razón instantánea de cambio = Derivada

Podemos aproximar la pendiente de la recta tangente que pasa por el punto en el que x = a con el cociente balanceado de diferencias:

    mtan≈
    f(a+0.0001) - f(a0.0001)

    0.0002
    		.

Acercando
Podremos interpretar la derivada o la pendiente de la recta tangente en un punto especifico de la gráfica como la pendiente de la línea (casi) recta obtenido por acercándose lo suficiente en este punto de la gráfica. (Mire en frente.)

Texto en Línea: Gráfica de la Derivada
Clic aquí por texto en línea para hacer un bosquejo de la gráfica de f' basada en el conocimiento de la gráfica de f.

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 Ejemplos

Vamos a considerar otra vez el ejemplo f(x) = 2x2 - 4x + 1,

    Pendiente de la recta secante que pasa por los puntos donde x = 2 y x = 3
    = Razón promedio de cambio de f(x) en [2, 3]
    = 6   (mire la calculación en la tabla más arriba)
    Pendiente de la recta tangente por el punto donde x = 2
    = Razón instantánea de cambio de f(x) en x = 2
    = 4    (mire la aproximación rápida más arriba)

Aquí es la gráfica que demuestra las dos rectas:

Se puede observar directamente en la gráfica que la pendiente de la recta tangente es 4, pues esta línea sube 4 unidades por cada unidad de crecimiento de x.

Acercando

Aquí es una ilustración por acercándonos en el punto de una gráfica donde x = 0.75:


       

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Enfoque Algebraico: Calculando la Derivada Algebraicamente

Para computar la derivada de una función algebraicamente, se avanza como sigue:

  1. Se escribe la definición de la derivada,
    f'(x) =
    lim
    h→0
    f(x+h) - f(x)

    h
    		.
  2. Se substituye f(x+h) y f(x)
    Se puede utilizar un valor especifico en lugar de x si esté pedido, por ejemplo, a computar f'(3), o, en cambio, se puede dejarlo como x si esté pedido a computar la función derivada f'(x) .
  3. Se simplifica el numerador para sacar "h" como factor común. Después, se elimina la h y se calcula el límite para llegar a la respuesta.
    A veces, se debe que hacer más que solo simplificar el numerador para calcular el límite...

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 Ejemplo

Regresando a nuestro primer ejemplo, f(x) = 2x2 - 4x + 1, déjenos calcular f'(x) algebraicamente siguiendo las tapas a la izquierda

    f'(x) =
    lim
    h→0
    f(x+h) - f(x)

    h
    		Formula de la derivada
    =
    lim
    h→0
    (2(x+h)2-4(x+h)+1) - (2x2-4x+1)

    h
    		Sustituya f(x+h) y f(x)
    =
    lim
    h→0
    2x2+4xh+2h2-4x-4h+1-2x2+4x-1

    h
    		 Desarrolle
    =
    lim
    h→0
    4xh+2h2-4h

    h
    		 Elimine 2x2, 4x, 1
    =
    lim
    h→0
    h(4x+2h-4)

    h
    		Saque h como factor común
    =
    lim
    h→0
    		(4x+2h-4)
    		Elimine la h
    =4x-4Haga que h tiende a 0

Entonces,  f'(x) = 4x-4.

Vaya a la tutorial de razones promedio de cambio para practicar calculaciones como lo más arriba, o a la tutorial de la computación de la derivada algebraicamente y desplaza hacia abajo a la caja de diálogo llamada "Calculación Algebraica de la Derivada". El botón "Ayuda" muestra la solución completa.

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Velocidad

Para un objeto que se mueve en línea recta con posición s(t) en el momento t, la velocidad promedio entre el momento t y el momento t+h es dado por la razón promedio de cambio de la posición s(t) respecto al tiempo:

vpromedio=
s(t+h) - s(t)

h
.

La velocidad instantánea en el momento t es la razón instantánea de cambio de la posición s(t) respecto al tiempo:

      v(t)=s'(t)=
    lim
    h→0
    s(t+h) - s(t)

    h
    		.

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 Ejemplos

Si la posición de un objeto que se mueve es

s(t) = t2 -2t+4 km
en el momento t horas, entonces su velocidad en el momento t es
s'(t) = 2t-2 km/h.
Entonces, por ejemplo, su velocidad en el momento t = 3 horas es
s'(3) = 4 km/h.

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Ultima actualización: abril 2010
Derechos de autor © Stefan Waner
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