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Cálculo aplicado resumen del tema: técnicas de diferenciación
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Derivadas de Potencias, Sumas, y Múltiplos Constantes
Regla de potencias
Reglas de sumas y múltiplos constantes
En palabras: La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas. La derivada de c por una función es c por la derivada de la función. |
Ejemplos
¿Quiere praticar? Pruebe el tutorial interactivo o pruebe algunos ejercicios. |
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Análisis Marginal
Si Q(x) se representa cualquier cantidad como costo, ingreso, utilidad, o pérdida por la venta de x artículos, entonces Q'(x) se llama la cantidad marginal. Entonces, por ejemplo, el costo marginal mide la tasa de cambio del costo (el costo aproximado del siguiente artículo). El costo marginal es distinto del costo promedio, que mide el promedio de los x primeros artículos. El costo promedio es dado por
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Ejemplos
Si el costo de los primeros x artículos es C(x) = 4x0.2 - 0.1x libras esterlinas.Entonces e costo marginal es C'(x) = 0.8x-0.8 - 0.1 libras esterlinas por artículo.En paricular, C'(3) ≈ 0.23 (libras esterlinas por artículo) es el costo aproximado del tercer artículo (o el cuarto artículo). El costo promedio de los tres primeros artículos es
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Regla del producto
Regla del producto en palabras: Regla del cociente
Regla del cociente en palabras: |
Ejemplos
(Las derivadas de f y g son mostradas en color.)
Regla del cociente
¡Por supuesto debería simplificar las respuestas y no las dejar así! Clic aquí para un tutorial en línea sobre las reglas del producto y cociente. |
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Combinando las reglas: Experimento mental de cálculo
El experimento mental de cálculo (EMC) es una técnica para determinar si se toma una expresión algebraica como un producto, cociente, suma o diferencia. Dada una expresión, se considere los pasos que daría usted en calcular su valor. Si la ultima operación es una multiplicación, tomaría la expresión como un producto; si la ultima operación es una división, tomaría la expresión como un cociente, y así en forma sucesiva. Usando el experimento mental de cálculo para diferenciar una función
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Ejemplos
1. (3x2- 4)(2x+1) se puede calcular evaluando primero las expresiones entre paréntesis y multiplicando. Como el ultimo paso es multiplicación, se puede tratar la expresión como un producto. 2. (2x- 1)/x se puede calcular evaluando primero el numerador y el denominador, y por último dividendo el uno por el otro. Como al ultimo paso es división, podemos tratar la expresión como un cociente. 3. x2 + (4x- 1)(x+2) se puede calcular evaluando primero x2, después (4x- 1)(x+2), y por último sumando las dos respuestas. Entonces, podemos tratar la expresión como una suma. 4. (3x2- 1)5 se puede calcular evaluando primero el expresión entre paréntesis, y por último evaluando a la quinta potencia la respuesta. Entonces, podemos tratar la expresión como una potencia. Usando el EMC
Ahora estamos dejados con dos funciones más sencillas para diferenciar: x2, que es una potencia, pues usamos la regla de potencias, y (4x- 1)(x+2), que es un producto, pues usamos la regla del producto:
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Regla de la cadena
Si f es una función diferenciable de u y u, a su vez, es una función diferenciable de x, entonces la función compuesta f(u) es una función diferenciable de x, y además
Regla de la cadena en palabras:
Por ejemplo, si f(u) = u0.5, entonces
Reglas generalizadas de derivadas
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Ejemplos
(Examine primero las reglas generalizadas a la izquierda.) Clic aquí para un tutorial en línea sobre la regla de la cadena. |
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Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
La tabla siguiente resuma las derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales, y también las derivadas de sus homólogos que se surgen de la regla de la cadena (es decir, las funciones logarítmicas y exponenciales de una función).
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Ejemplos
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Derivadas de funciones trigonométricas
La tabla siguiente resuma las derivadas de las seis funciones trigonométricas y también las derivadas de sus homólogos que se surgen de la regla de la cadena (es decir, el seno, coseno, etc. de una función).
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Ejemplo
Clic aquí para texta en línea sobre las derivadas de las funciones trigonometricas. |
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Funciones implícitas y diferenciación implícita
Dado una ecuación en las variables x y y, podremos pensar de y como una función implícita de x. Podremos calcular dy/dx sin despejar primero a y es como se muestra a continuación:
Diferenciación logaritmica
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Ejemplo
Para determinar dy/dx dado que
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