Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A.

Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama a_ij o A_ij.

Aquí es una matriz 4×5. Mueva el ratón sobre las entradas para ver sus nombres.

A =		0	1	2	0	3
		1/3	-1	10	1/3	2
		3	1	0	1	-3
		2	1	0	0	1

Trasposición
La matriz traspuesta, A^T, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = A^T, entonces B es la matriz n×m con b_ij = a_ji.

Suma, Resta
Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)_ij = A_ij + B_ij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)_ij = A_ij - B_ij.

Multiplicación escalar
Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el múltiple escalar, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)_ij = c(A_ij).

Producto
Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)_ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.

Trasposición

0 1 2 T 1/3 -1 10

=

0 1/3 1 -1 2 10

Suma y múltiple escalar

0 1 1/3 -1

+

2

1 -1 2/3 -2

=

2 -1 5/3 -5

Producto

0 1 1/3 -1

1 -1 2/3 -2

=

2/3 -2 -1/3 5/3

Visite la Herramienta Matriz Álgebra para hacer los computaciones más arriba. Visite también el Tutorial sobre álgebra de matrices para mirar un análisis más detallado de estas operaciones.

La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:

I_ij = 1 si i = j y I_ij = 0 si i ≠ j.

Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.

Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.

La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4:

I =		1	0	0	0
		0	1	0	0
		0	0	1	0
		0	0	0	1

El fallo de la regla conmutativa para el producto entre matrices se muestra por el siguiente ejemplo:

A = 0 1 1/3 -1

B =

1 -1 2/3 -2

AB =	2/3 -2 -1/3 5/3
BA =	-1/3 2 -2/3 8/3

Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente: El sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn	=	b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn	=	b2
. . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn	=	bm

se puede escribir como la ecuación matriz

AX = B

donde

A =		a11	a12	a13	. . .	a1n
		a21	a22	a23	. . .	a2n
				. . . .	. . .
		am1	am2	am3	. . .	amn

X = [x₁, x₂, x₃, . . . , x_n]^T

B = [b₁, b₂, x₃, . . . , b_m]^T

El sistema

x	+	y	-	z	=	4
3x	+	y	-	z	=	6
x	+	y	-	2z	=	4
3x	+	2y	-	z	=	9

tiene forma matriz

	1	1	-1			x		=		4		.
	3	1	-1			y				6
	1	1	-2			z				4
	3	2	-1							9

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Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A^-1, con la propiedad

AA^-1 = A^-1A = I.

En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación

AX = B

X = A^-1B.

El sistema de ecuaciones

	1	2	4			x		=		1
	2	4	6			y				1
	4	6	8			z				-1

tiene la solución

	x		=		1	2	4		1		1
	y				2	4	6				1
	z				4	6	8				-1
			=		1	-2	1				1
					-2	2	-1/2				1
					1	-1/2	0				-1
			=		-2	.
					1/2
					1/2

Para determinar si una matriz n×n A es invertible o no, y encontrar A¹ si existe, escriba la matriz n×(2n) [A | I] (esta es A con la matriz unidad n×n a su lado).

Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida.

Si la forma reducida es [I | B] (es decir, tiene la matriz unidad en la parte izquierda), entonces A es invertible y B = A^-1. Si no puedes obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular.

La matriz

A =		1	2	4
		2	4	6
		4	6	8

es invertible. La matriz

B =		1	2	4
		2	4	6
		2	4	7

es singular.

La matriz 2×2

A =		a	b
		c	d

A1 =	1 ad - bc		d	-b		.
			-c	a

	1	2		1	=	1 (1)(4) - (2)(3)		4	-2
	3	4						-3	1

=		-2	1		.
		3/2	-1/2

Una matriz insumo-producto para una economía da, en su j^a columna, las cantidades (en dólares o otra moneda apropiada) del productos de cada sector usado como insumo por sector j (en un año o otra apropiada unidad de tiempo). Da también la producción total de cada sector de la economía durante un año (llamada el vector producción cuando está escrito como una columna).

La matriz tecnología es la matriz que se obtiene dividiendo cada columna por la producción total del sector correspondiente. Su ij^a entrada , el ij^o coeficiente tecnología, da el insumo de sector i para producir una unidad de producto del sector j. Un vector demanda es un vector columna que expresa la demanda total desde fuera la economía de los productos de cada sector. Sea A la matriz tecnología, X el vector producción, y D el vector demanda, entonces

(I - A)X = D,

X = (I - A)^-1D.

Estas mismas ecuaciones son válidas si D es un vector que representa cambio de demanda, y X es un vector que representa cambio de producción. Las entradas en una columna de (I - A)^-1 representan el cambio en producción de cada sector necesario para satisfacer una unidad de cambio de demanda en el sector que corresponde a aquella columna, tomando en cuenta todos los efectos directos y indirectos.