Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede expresar en la forma

ax + by = c

donde a, b y c son números reales, y donde a y b no son ambas cero.

La gráfica de tal ecuación es una recta. (Vea el resumen de funciones para un análisis de rectas.)

Las siguientes ecuaciones son lineales:

3x - y = 4
4x = 0

Las siguientes ecuaciones no son lineales:

3x² - y = 4
4xy = 0

Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas x y y consiste en una pareja de números: un valor de x y un valor de y, que satisfacen la ecuación. En un sentido más amplio, una solución de un sistema de dos o más ecuaciones lineales es una solución que satisface a la vez todas las ecuaciones en el sistema.

Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales gráficamene, por dibujar las gráficas y determinar donde se cruzan, o algebráicamente, por combinar las ecuaciones para eliminar cada incógnita salvo que una, y entonces despejarla.

Un sistema de dos ecuaciones lineales tiene:

(1) Una sola (única) solución. Ocurre este caso cuando las dos rectas correspondientes no están paralelas, y entonces se cruzan en un solo punto.

(2) Ninguna solución. Ocurre este caso cuando las dos rectas son paralelas y distintas.

(3) Un número infinito de soluciones. Ocurre este caso cuando las dos ecuaciones representan la misma recta. En este caso, se represente las soluciones por designar una variable como arbitraria y despejar a la otra.

El sistema

2x - y	=	0
x + y	=	1

El sistema

2x - y	=	0
4x - 2y	=	1

El sistema

x - y	=	2
-2x + 2y	=	-4

x = 2 + y, y arbitraria.

En la ecuación lineal

ax + by + cz + . . . + dw = e,

La matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales es la matriz cuyos renglones (o filas) son los coeficientes de las ecuaciones incluyendo los lados derechos.

Vaya al tutorial de este tema para ver más sobre la matriz ampliada.

Las operaciones elementales de renglón son las siguientes:

1. Reemplazar R_i por aR_i donde a es un número distinto de cero (En palabras: multiplicar o dividir un renglón por un número distinto de cero).
2. Reemplazar R_i por aR_i ± bR_j donde a es un número distinto de cero (reemplazar un renglón por una combinación lineal con otro renglón).
3. Intercambiar dos renglones

Por uso de operaciones de estos tres tipos, se puede poner cualquier matriz en forma reducida. Una matriz es reducida, o en forma escalonada reducida si:

P1. El primer elemento diferente de cero de cada renglón, (llamado el elemento destacado de aquel renglón) es 1.
P2. Las columnas de los elementos destacados son despejadas (esto es, contienen cero en cada posición por encima y debajo del elemento destacado.) El proceso de despejar a una columna por uso de operaciones de renglón se llama pivotar.
P3. El elemento destacado en cada renglón está a la derecha del elemento destacado del renglón anterior, y los renglones de cero (si hay) están en la parte inferior de la matriz.

El procedimiento de reducir una matriz hasta a la forma escalonada reducida se llama también reducción Gauss-Jordan .

Vaya al tutorial para prácticar operaciones de renglón.

Multiplicación de un renglón por un número distinto de cero
Se escribe, por ejemplo, la instrucción 3 R₂ al lado de Renglón 2 para significar "Multiplica Renglón 2 por 3."

1 -2 5 3 0 9 3 R2

1 -2 5 9 0 27

Reemplazo de un renglón por una combinación con un otro renglón
Se escribe, por ejemplo, la instrucción 3 R₁-2 R₂ al lado de Renglón 1 para significar: "Reemplaza Renglón 1 por tres veces Renglón 1 menos dos veces Renglón 2.
En palabras: "Tres veces la parte superior menos dos veces la parte inferior."

1 -2 5 3 R1-2 R2 3 0 9

-3 -6 -3 3 0 9

Intercambio de dos renglones
Se escribe, por ejemplo, la instrucción R₁↔ R₂ para significar el intercambio de Renglón 1 y Renglón 2.

1 -2 5 3 0 9

R1↔R2

3 0 9 1 -2 5

Por lo general, hay tres posibilidades para un sistema de ecuaciones lineales: ninguna solución, una sola solución, o un número infinito de soluciones. Un sistema que tiene una o más soluciones se llama consistente. Si no hay soluciones, el sistema se llama inconsistente. Un sistema con menos ecuaciones que incógnitas se llama indeterminado. Aquellos son los sistemas que frecuentemente tienen un número infinito de soluciones. Un sistema en que el número de ecuaciones excede el número de incógnitas se llama superdeterminado. En un sistema superdeterminado, cualquier cosa puede pasar, pero tal sistema es frecuentemente inconsistente.

Pruebe la herramienta Gauss-Jordan y pivotador para sus computaciones con matrices. Funciona en modo de fracción, número entero, y decimal. Si prefiere una versión Excel, pulse aquí.

El sistema

2x	-	y	+	3z	=	0
x	+	y	-	3z	=	1

x = 1/3; y = 2/3 + 3z, z arbitraria.

El sistema

x	+	y	-	z	=	4
3x	+	y	-	z	=	6
x	+	y	-	2z	=	4
3x	+	2y	-	z	=	9

x = 1, y = 3, z = 0.