Un conjunto es una colección de objetos, conocidos como los elementos del conjunto.

x A significa que x es un elemento del conjunto A.

x A significa que x no es un elemento del conjunto A.

B = A significa que A y B tienen los mismos elementos.

B A significa que B es un subconjunto de A; Cada elemento de B es también un elemento de A.

B A significa que B es un conjunto propio de A; es decir, B A, pero B ≠ A.

es el conjunto vacío, el conjunto con ningunos elementos, y es un subconjunto de cada conjunto.

Un conjunto finito es un conjunto que tiene un cierto número de elementos. Un conjunto infinito es un conjunto no está finito.

b {a, b, c, d}

e {a, b, c, d}

{1, 2, 4, 5} = {2, 1, 5, 4}

{1, 2, 3} {1, 2, 3}

{1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, ..., 1000} es un conjunto finito.

{1, 2, 3, ...} es un conjunto infinito.

Cada conjunto	es un subconjunto propio de sí mismo es un subconjunto de sí mismo no es un subconjunto de sí mismo
El conjunto vacío	es un subconjunto propio de cada conjunto no es un subconjunto de sí mismo es un subconjunto propio de cada conjunto salvo sí mismo

Si hacemos un tipo de experimento que tiene uno o más que uno resultados, podemos pensar de los resultados como los elementos de un conjunto de resultados asociado con el experimento. (Hay más análisis de conjuntos de resultados en el resumen de probabilidad.)

Como muestran los ejemplos, podemos con frecuencia representar el mismo conjunto de resultados en distintas maneras.

1. Si lanzamos una moneda al aire y observamos si sale cara o cruz, el conjunto de resultados puede expresar como

S = {águila, sol}

S = {a, s}.     (a = águila, s = sol)

2. Si tiramos un dado al aire cuyas caras son numerados 1 al 6, el conjunto de resultados se puede representar por

S = {

, , , , ,

},

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3. Si tiramos dos dados distinguibles (por ejemplo, un rojo y un verde) cuyas caras son numerados 1 al 6, el conjunto de resultados se puede representar por

S =

o simplemente

S =		(1, 1),	(1, 2),	(1, 3),	(1, 4),	(1, 5),	(1, 6),
		(2, 1),	(2, 2),	(2, 3),	(2, 4),	(2, 5),	(2, 6),
		(3, 1),	(3, 2),	(3, 3),	(3, 4),	(3, 5),	(3, 6),
		(4, 1),	(4, 2),	(4, 3),	(4, 4),	(4, 5),	(4, 6),
		(5, 1),	(5, 2),	(5, 3),	(5, 4),	(5, 5),	(5, 6),
		(6, 1),	(6, 2),	(6, 3),	(6, 4),	(6, 5),	(6, 6)

4. Si tiramos dos dados indistinguibles (es decir, dos dados idénticos) cuyas caras son numerados 1 al 6, el conjunto de resultados se puede representar por

S =		(1, 1),	(1, 2),	(1, 3),	(1, 4),	(1, 5),	(1, 6),
			(2, 2),	(2, 3),	(2, 4),	(2, 5),	(2, 6),
				(3, 3),	(3, 4),	(3, 5),	(3, 6),
					(4, 4),	(4, 5),	(4, 6),
						(5, 5),	(5, 6),
							(6, 6)

Cada diagrama en el siguiente figura representa la relación muestra de abajo.

Ni A ni B un subconjunto del otro

Para ilustrar una inclusión propio, es disco que representa B debe ser más pequeña que el disco que representa A. Generalmente usamos, por sencillez, el dibujo que representa B A para representar también B A.

La siguiente diagrama de Venn ilustra la relación entre los tres conjuntos

{marzo}, {marzo, abril, mayo}, y {junio, julio, agosto}.

La unión de A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A o en B (o en ambos).

A B = {x | x A o x B}

La intersección de A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A y también en B.

A B = {x | x A y x B}

Si A es un subconjunto de S, entonces A' es el complemento de A en S, el conjunto de todos los elementos de S que no están en A.

Podemos representar el complemento A' por la siguiente diagrama de Venn:

Sea S el conjunto de todos números enteros, y sea

A = {2, 4, 6, 8}

B = {5, 6, 7, 8}

C = {números enteros pares}

D = {1, 2, 3}.

Entonces

A B = {2, 4, 5, 6, 7, 8}

A B = {6, 8}

A C = A

C' = {0, 1, -1, -2, 3, -3, -4, 5, -5, . . .}

A (B C) = A.

A D = {		}
A D = {		}
D A' = {		}
A (B D) = {		}

Tenemos también las leyes de Morgan, que son consecuencias de las definiciones más arriba:

Pulse aquí y avance a la discusión después de Ejemplo 7 para ver los homólogos en lógica proposicional (¡y haga una visita al entero sitio de lógica ya que está en eso!).

El producto cartesiano de dos conjuntos, A y B, es el conjunto de todos pares ordenados (a, b) tal que a A y b B.

A × B = { (a, b) | a A y b B }.

En palabras:

1. Si A = {a, b} y B = {1, 2, 3}, entonces

2. Sea S = {a, s}.       (a representa águila, s representa sol)

En otras palabras, si S es el conjunto de resultados cuando lanzamos una moneda una vez, entonces S×S es el conjunto de resultados cuando lanzamos una moneda dos veces (o un par de monedas distinguibles una vez).

3. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}    El conjunto de resultados por tirar un dado

S × S

=

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

En otras palabras, si S es el conjunto de resultados cuando tiramos un dado una vez, entonces S×S es el conjunto de resultados cuando tiramos un dado dos veces (o un par de dados distinguibles una vez).

4. Sea A = {Mustang, Firebird} y B = {Rojo, Amarillo}. Entonces

que podemos escribir también como

Si A es un conjunto finito, entonces n(A), el número de elementos que contiene A, se llama la cardinalidad de A.

Si A y B son conjuntos finitos, entonces

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).

n(A B) = n(A) + n(B).

Si S es un conjunto universal finito y A es un subconjunto de S, entonces

n(A') = n(S) - n(A) y n(A) = n(S) - n(A').

Si A y B son conjuntos finitos, entonces

n(A×B) = n(A)^.n(B)

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1. Sea S el conjunto de todos naipes en una baraja estándar (inglés; es decir, 13 naipes de cada palo) y sea

Entonces

n(D C)	=	n(D) + n(C)	pues D C =
	=	13 +13 = 26
n(D T)	=	n(D) + n(T) - n(D T)
	=	13+4-1 = 16
n(D')	=	n(S) -n(D)
	=	52-13 = 39.

2. Sea

Un algoritmo decisión es un procedimiento con reglas precisas para cada paso.

Podemos utilizar algoritmos decisiones para ayudarnos contar el número de elementos posibles en cualquier conjunto como sigue:

A. Formule un algoritmo decisión
Si está preguntado cuantos elementos posibles hay, imagine que está contruyendo tal elemento, y describa un procedimiento paso a paso --- es decir, un algoritmo decisión --- para hacerlo. Enumere los pasos, mostrando el número de elecciones en cada paso.

B. Aplique la siguiente "prueba de fuego"
Pregúntese la siguiente: "¿Suponga siguiera el algoritmo dos veces, pero eligiera una o más que una distinta elecciones la segunda vez. Entonces llegara a un resultado distinto? Si la respuesta es siempre "si," entonces su algoritmo es válido. Si no es válido su algoritmo, necesita buscar un otro.

Aquí son dos algoritmos decisiones para contar el núero de distintas secuencias de cinco letras conteniendo dos "a"s, una "i", una "e", y una "d". El primero algoritmo no será válido, y no cumple la "prueba de fuego," y el segundo es válido.

Algoritmo decisión 1 (No válido)
Imagine que esté construyendo tal secuencia por meter las cinco letras, una a una, en cinco ranuras vacías:

		Resultado posible
1.	Meta la primera "s." (5 ranuras vacías de la que escoger)	s
2.	Meta la segunda "s." (4 ranuras sobrando de la que escoger)	s       s
3.	Meta la "i." (3 ranuras sobrando de la que escoger)	s i     s
4.	Mea la "e." (2 ranuras sobrando de la que escoger)	s i   e s
5.	Meta la "d." (1 ranura sobrando de la que escoger)	s i d e s

Prueba de fuego
Puedes obtener la misma secuencia "sides" por intercambiar las elecciones de pasos 1 y 2. Entonces, este algoritmo no cumple con la prueba de fuego, y no es válido por consiguiente.

Algoritmo decisión 2 (Válido)
Imagine que esté construyendo tal secuencia por asignar grupos de ranuras vacías a las cuatro letras distintas (comenzando con las letras que ocurren una vez por sencillez):

		Resultado posible
1.	Asigne una ranura para la "i." (5 ranuras vacías de la que escoger)	i
2.	Asigne una ranura para la "e." (4 ranuras sobrando de la que escoger)	e       i
3.	Asigne una ranura para la "d." (3 ranuras sobrando de la que escoger)	e d     i
4.	Asigne un par de ranuras para las "s". (1 par de ranuras sobrando de la que escoger)	e d s s i

Prueba de fuego
Cambiando una o más que una elección en cualquier paso dará una secuencia distinta. Entonces este algoritmo cumple con la prueba de fuego y por consiguiente es válido.

Si un algoritmo decisión requiere varios pasos, tal que Paso 1 tiene n₁ resultados, Paso 2 tiene n₂ resultados, ... , Paso r tiene n_r resultados, entonces el numero de resultados del algoritmo es n₁ × n₂ × ... × n_r.

Mire otra vez al segundo algoritmo decisión más arriba. El número de resultados de cada paso es como sigue:

Paso 1:   5 resultados posibles

Paso 2:   4 resultados posibles

Paso 3:   3 resultados posibles

Paso 4:   1 resultados posibles

Si un algoritmo decisión requiere una elección entre varias alternativas, entonces se obtiene el número de resultados del algoritmo por sumar los números de resultados de cada alternativa.

En este ejemplo, combinamos los principios multiplicativo y aditivo para calcular el número total de comidas con dos platos posible del siguiente menú:

Algoritmo decisión:

Paso 1: Escoja una sopa: 2 elecciones
Paso 2: Escoja un plato principal:

Alternativa 1: Rosbif: 2 elecciones de acompañamiento
Alternativa 2: Cerdo: 3 elecciones de acompañamiento

Una permutación de r objetos tomados de entre n objetos es una lista ordenada de r objetos escogido de un conjunto de n objetos. El número de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos se expresa por

P(n, r)	=	n × (n-1) × (n-2) × . . . × (n-r+1)
	=	n! (n-r)!	.

n! = 1×2×3×...×(n-1)× n

Una combinación de r objetos tomados de entre n objetos es un conjunto (no ordenado) de r objetos escogido de un conjunto de n objetos. El número de combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos se expresa por

C(n, r)	=	P(n, r) r!
	=	n! r! (n-r)!	.
	=	n×(n-1)×...×(n-r+1) r×(r-1) ×...×2×1	.

Notas

0! = 1   Cero factorial equivale 1.

Por lo tanto se puede decir que C(n, 0) = n! 0! n! = n! n! = 1

Si a y b suman n, entonces     C(n ,a) = C(n, b)   Vea los ejemplos

P(7, 3)

=

7×6×5

=

210.

C(7, 3)

=

7×6 ×5 3×2×1

=

35.

Pues 5 y 2 suman 7, tenemos

C(7, 5) = C(7, 2) =

7×6 2×1

=

21.

P(4, 1) =
P(4, 4) =
C(4, 2) =
C(4, 0) =
C(4, 4) =
C(100, 98) =

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