Un experimento es un acontecimiento cuyo resultado es incierto.

El conjunto de todos los resultados posibles se llama el espacio muestral del experimento.

Dado un espacio muestral S, entonces un suceso E es un subconjunto de S. Los resultados en E se llaman los resultados favorables.

Decimos que ocurre E en un experimento particular si el resultado de aquel experimento es uno de los elementos de E, es decir, si es favorable el resultado del experimento.

Tutorial en-línea comenzando con este tópico

1. Experimento: Tire un dado al aire y observe el número orientado hacia arriba.
    Resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6
    Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    Un suceso: E: el resultado es par; E = {2, 4, 6}

2. Más abajo está un experimento que simula el lanzar de tres monedas justas y distinguibles. Para ver los resultados, pulse "Lanza monedas." El espacio muestral es el conjunto de ocho resultados posibles (a = Águila, s = Sol):

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

Sea E el suceso que salen águilas al menos dos veces.

E = {aaa, aas, asa, saa}

Si E y F son sucesos en un experimento, entonces:

E' es el suceso que E no ocurra.

E F es el suceso que ocurra E o F (o todos dos).

E F es el suceso que ocurran E y F todos dos.

E y F se llaman disjuntos o mutuamente exclusivos si (E F) es vacío.

Sea S el espacio muestral del experimento de lanzar monedas describido en la caja más arriba:

   S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

Sea E el suceso que salen águilas al menos dos veces;

   E = {aaa, aas, asa, saa},

   F = {aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}.

Entonces:

   E' = {ass, sas, ssa, sss}
   E F = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}
                = S
   E F = {aas, asa, saa}

No son mutuamente exclusivos E y F, pues E F ≠

Si está realizado N veces un experimento, y el suceso E ocurre fr(E) veces, entonces la razón

P(E)

=

fr(E) N

El número fr(E) se llama la frecuencia de E. N, el número de veces que está realizado el experimento, se llama el número de pruebas o el tamaño de muestra.

Si E consiste en un solo resultado, s, entonces llamamos a P(E) la frecuencia relativa del resultado s, y lo escribimos como P(s).

Tutorial en-línea sobre frecuencia relativa

En el experimento más arriba (lance tres monedas) sea E el sucedo que salen águilas al menos dos veces. Para computar la frecuencia relativa de E, deje nos realizar el experimento simulado más abajo.

Cada vez pulsa usted "Lanza monedas" la página web calculará fr(E) y también P(E).

Sea S = {s₁, s₂, ... , s_n} un espacio muestral y sea P(s_i) la probabilidad estimado del suceso {s_i}. Entonces

(a) 0 ≤ P(s_i) ≤ 1
(b) P(s₁) + P(s₂) + ... + P(s_n) = 1
(c) Si E = {e₁, e₂, ..., e_r}, entonces P(E) = P(e₁) + P(e₂) + ... + P(e_r).

En palabras:

(a) La frecuencia relativa de cada resultado es un número entre 0 y 1.
(b) La frecuencia relativa de todos los resultados suman 1.
(c) La frecuencia relativa de un suceso E es la suma de las probabilidades estimadas de los resultados individuales en E.

La probabilidad modelada se refiere a un modelo matemático que prueba predecir la frecuencia relativa de los resultados de un experimento, determinado por la naturaleza del experimento en vez de experimentación.

Idealmente, la frecuencia relativa se acerca a la probabilidad modelada a medida que el número N de pruebas sea más y más grande.

Notas

1. Usamos la misma anotación P(E) para la frecuencia relativa y la probabilidad modelada. La a cual referimos debería estar claro del contexto.
2. Probabilidad modelada satisface las mismas propiedades (muestran más arriba) que frecuencia relativa.

En el experimento más arriba hay ocho resultados en S, y la mitad son en E. Entonces, esperamos que E ocurra la mitad de las veces. En otras palabras, la probabilidad modelada de E es 0.5.

Si "lanza las monedas" en el experimento simulado más arriba un gran número de veces, la frecuencia relativa debe acercarse a 0.5. En la siguiente simulación, se puede lanzar las monedas 50 veces con cada clic del botón.

En un experimento en lo que todos los resultados son equiprobables (es decir, tienen la misma probabilidad de ocurrir), la probabilidad de un suceso E se expresa por

P(E)	=	número de resultados favoribles número total de resultados
	=	n(E) n(S)

En el experimento más arriba (lance tres monedas) hay ocho resultados equiprobables en S, y la mitad están en E (el sucedo que salen águilas al menos dos veces). Entonces,

P(E)	=	n(E) n(S)
P(E)	=	4 8 = 1 2 .

Pues comparten propiedades similares las distintas formas de probabilidad, referimos colectivamente a frecuencia relativa y probabilidad modelada simplemente como probabilidad. Lo que tienen en común es ;a idea de una distribución de probabilidad:

Un espacio muestral finito es simplemente un conjunto finito S. Una distribución de probabilidad es una asignación de un número P(s_i) a cada resultado s_i en un espacio muestral S ={s₁, s₂, ... , s_n} de modo que

  (a) 0 ≤ P(s_i) ≤ 1
  (b) P(s₁) + P(s₂) + ... + P(s_n) = 1.

P(s_i) se llama la probabilidad de s_i. Dado una distribución de probabilidad, obtenemos la probabilidad de un suceso E por sumar las probabilidades de los resultados en E.

Si P(E) = 0, llamamos a E un suceso imposible. El suceso es siempre imposible, pues tiene que suceder algo.

Notas

1. Todas las propiedades más arriba aplican a frecuencia relativa y también probabilidad modelada. Entonces, cuando hablamos solo de "probabilidad," podemos significar cualquiera de los dos, dependiendo del contexto.

Tutorial en-línea sobre distribuciones de probabilidad

1. Todos los ejemplos más arriba de frecuencia relativa y probabilidad modelada dan ejemplos de distribuciones de probabilidad.

2. Sea S = {a, s} y deje nos hacer las asignaciones P(a) = 0.2, P(s) = 0.8. Pues estos números están entre 0 y 1 y suman 1, especifican una distribución de probabilidad.

3. Sea otra vez S = {a, s}, podríamos hacer P(a) = 1, P(s) = 0, entonces "sol" estaría un resultado imposible.

4. La siguiente tabla da una distribución de probabilidad para el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Por lo tanto se puede decir que

P({1, 6}) = 0.3 + 0.1 = 0.4

P({2, 3}) = 0.3 + 0 = 0.3

P(3) = 0         Un resultado imposible

5. Si lanzamos tres monedas como en varios ejemplos más arriba, pero esta vez tomamos en cuenta solo el número de águilas que sale, de modo que S = {0, 1, 2, 3}. La distribución de probabilidad (modelada) se calcula por contando los números de combinaciones que producen 0, 1, 2, y 3 águilas:

La siguiente simulación calcula la distribución de frecuencia relativa del experimento más arriba. Encontrará que, después de muchos lanzados de las monedas, estas probabilidades convergen a las probabilidades modeladas mostradas más arriba.

Sucesos mutuamente exclusivos
Si E y F son sucesos mutuamente exclusivos, entonces

P(E F) = P(E) + P(F).

P(E) = P(E₁) + P(E₂) + . . . + P(E_n).

Principio aditivo general
Si E y F son cualquier dos sucesos, entonces

P(E F) = P(E) + P(F) - P(E F).

Sea S el espacio muestral del experimento de lanzar monedas más arriba;

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

Sea E el suceso que sale águilas exactamente una vez;

E = {ass, sas, ssa}

F = {aas, asa, saa}.

Entonces E y F son mutuamente exclusivos, y

P(E F) = P(E) + P(F) = 3/8 + 3/8 = 6/8.

Ahora sea E como más arriba, y sea F el suceso que sale águilas no más que una vez:

F = {ass, sas, ssa, sss}

P(E F) = P(E) + P(F) - P(E F)
      = 3/8 + 4/8 3/8 = 4/8.

Tenemos las siguientes propiedades para cualquier espacio muestral S y cualquier suceso E.

P(S) = 1	La probabilidad de sucede algo es 1.
P() = 0	La probabilidad de sucede nada es 0.
P(E') = 1-P(E)	La probabilidad de no sucede E es 1 menos la probabilidad de E.

Siguiendo con

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

Sea E el suceso que sale águilas exactamente una vez;

E = {ass, sas, ssa}.

P(E') = 1- P(E) = 1- 3/8 = 5/8.

Si E y F son dos sucesos, la probabilidad condicional, P(E | F), es la probabilidad que E ocurra, dado que (ya) ocurrió F, y se define por

P(E | F)

=

P(E F) P(F)

.

Podemos reescribir esta formula en una forma conocida como el principio multiplicativo:

P(E F) = P(F)P(E | F).

Probabilidad condicional estimada
Si E y F son sucesos y P es frecuencia relativa, entonces

P(E | F)

=

fr(E F) fr(F)

.

Probabilidad condicional para resultados equiprobables
Si todos los resultados en S son equiprobables, entonces

P(E | F)

=

n(E F) n(F)

.

Tutorial en-línea comenzando con este tópico

Sea S el original espacio muestral para el experimento más arriba;

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

Sea E el suceso que salen águilas exactamente una vez;

E = {ass, sas, ssa}

F = {aaa, aas, asa, ass}.

Entonces la probabilidad que salen águilas exactamente una vez, dado que la primera moneda ya salió águilas es

P(E | F)	=	P(E F) P(F)
	=	P{ass} P(F)
	=	1/8 1/2 = 1 4 .

Pues son equiprobables los resultados en este experimento, podemos también usar la formula

P(E | F)	=	n(E F) n(F)
	=	1 4 .

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Los sucesos E y F son independientes si

P(E | F) = P(E)

Los sucesos E y F se llaman dependientes cuando no son independientes. Dado cualquier número de sucesos mutuamente independientes (es decir, cada uno de ellos es independiente de la intersección de cualquier combinación de los demás), la probabilidad de su intersección es el producto de las probabilidades de los sucesos individuales.

Como de costumbre, sea S

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

Sea E el suceso que salen águilas exactamente una vez;

E = {ass, sas, ssa}

F = {aaa, aas, asa, ass}.

Para probar estos dos sucesos para independencia, comprobamos la formula

P(E F) = P(E)P(F).

P(E) = 3/8, P(F) = 1/2, y
E F = {ass}, entonces P(E F) = 1/8.

(3/8)(1/2) 1/8,

La forma corta del teorema de Bayes afirma que, si E y F son sucesos, entonces

P(F | E)

=

P(E | F)P(F) P(E | F)P(F) + P(E | F')P(F')

.

Podemos frecuentemente calcular P(F | E) en cambio por construir un árbol de probabilidad. (Para ver como hacerlo, vaya al tutorial siguiendo el enlace más abajo.)

Una forma ampliada del teorema de Bayes afirma que, si E es un suceso, y si F₁, F₂, y F₃ forman una partición del espacio muestral S, entonces

P(F1 | E)

=

P(E | F1)P(F1) P(E | F1)P(F1) + P(E | F2)P(F2) + P(E | F3)P(F3)

.

Una formula similar es válida para una partición de S en cuatro o más sucesos.

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Si P(E | F) = 0.95     P(E | F') = 0.15     P(F) = 0.1     P(F') = 0.9,   entonces

P(F | E)	=	P(E | F)P(F) P(E | F)P(F) + P(E | F')P(F')
	=	(0.95)(0.1) (0.95)(0.1) + (0.15)(0.9)
		0.4130.

Este ejemplo es basado en un escenario discutido en el tutorial (enlace en la caja a la izquierda).