Una Variable aleatoria X es una regla que asigna un valor numérico a cada resultado en el espacio mestrual de un experimento.

Una vareable aleatoria discreta puede tomar en específico, aislado valor numérico, como resultado de lanzar un dado, o el número de dolares en una cuenta bancaria escogido de forma aleatoria.

Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro de un continuo intervalo de tiempo, como la temperatura en el Parque Central, o la altura de un atleta en centrimetros.

Variable aleatoria discreta que sólo puede asumir finitamente muchos valores (como el resultado de lanzar un dado) se llama variables aleatorias finitas.

1. Variable aleatoria finita

En un experimento para simular lanzando tres monedas, sea X el número de caras que muestra despúes de cada tiro. X es una variable finita que puede asumir los cuatro valores: 0, 1, 2, y 3.

2. Variable aleatoria discreta infinita

Lance un dado hasta obtener un 6; X = al número de veces que veces que lo lanzó.

Los valore posibles para X son 1, 2, 3, 4, ... (¡si usted tiene muy mala suerte, podría lanzar un millon de veces el dado para obtener un 6!)

3. Variable aleatoria continua

Mida la lngitud de un objeto; sea X = longitud en cm.

La probabilidad P(X = x) es la probabilidad de que X realiza el valor x. Del mismo modo, la probabilidad P(a < X < b) es la probabilidad de que X se encuentre entre a y b.

Estas probabilidades pueden ser estimadas, o teoréticas (modeladas) (véa el capítulo 7 de Matematicas Finitas o el resumen de probabilidad para una discusión de los tipos de probabilidad.)

Para una variable aleatoria finita, la colección de números P(X = x) a medida que varia x se llama la distrubuición de probabilidad de X. Es frecuentemente útil representar gráficamente la distrubución de probabilidades por un histograma.

Pulse aquí para una utilidad en-línea que genera cualquier distrubución de probabilidad y también muestra el histograma.

Distribución de frecuencia relativa (o probabilidad estimada)

Sea X el número de caras que muestra después de un tiro de tres monedas (véase más arriba). La siguiente simulación muestra la distrubuición de frecuencia relativa de X.

Distribución de probabilidad empírica or modelada

Para el experimento anterior, la distribución de probabilidad empírica se muestra por el siguiente histograma.

Los valores de la distribución de probabilidad se cálcula por el número de combinaciones posibles que dan 0, 1, 2, o 3 caras.

Un ensayo de Bernoulli es un experimento con dos posibles resultados, llamado el éxito y el fracaso. Cada resultado tiene una probabilidad espesificada: p para el éxito y q para el fracaso (de modo que p+q = 1).

Si realizamos una secuencia de ensayos de Bernoulli independientementes y, a continuación, algunos de ellos como resultado el éxito y el resto en el fracaso, entonces la probabilidad de exactamente x éxitos en esa secuencia se da por

P(exactamente x éxitos en n ensayos) = C(n,x)p^xq^n-x.       Nota: q = 1-p

Si X es el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientemente de Bernoulli, con probabilidad p de éxitos y de fracaso q, entonces se dice ue tiene X una distribución binomial. Esta distrubución se calcula por la fórmula anterior

P(X = x) = C(n,x)p^xq^n-x

Para una utilidad en-línea que permite calcular y graficar la distribución de probabilidad para los ensayos de Bernoulli , pulce aquí.

La distribución de probabilidad y histograma para el lanzamiento de una moneda justa tres veces al aire ya hemos calculado más arriba y es tambien representado por una distrubución binomial.

Distrubución de probabilidad binomial estimada

Aquí hay una simulación de la moneda desleal lanzada para el experimento.

Un conjunto de valores específicos, o "resultados", x₁, x₂, . . ., x_n de una vareable aleatoria X se denomina una muestra. Si {x₁, x₂, . . ., x_n} es una muestra, entonces la media muestral de la colección es

x	=	x1 + x2 + . . .+ xn n
	=	∑xi n	,

La mediana muestral m es el puntaje de la media (en el caso de un tamaño impar de la muestra), o la media de los dos resuldados medios (en el caso de una muestra de tamaño par), cuando los resultados en una muestra se disponen en orden ascendentes.

Un modo mestrual es un puntaje que aparece con más frecuencia en la colección. (Puede ser más de un modo muestral.)

Si la muestra x₁, x₂, . . ., x_n estamos utilizando se compone de todos los valores de X a partir de toda una población (Por ejemplo, el puntaje SAT de cada estudiante de secundaria que tomaron la prueba), nos referimos a la media, mediana, más arriba como la media, mediana, y modo poblacional .

Escribimos la media poblacional como μ en lugar de .

Considere la siguiente colección de puntajes:

11.5, 3, 5.5, 0.5, 3, 10, 2.5, 4

La suma es ∑_i = 40, y n = 8, a fin de que

x

=

SX n

=

40 8

=

5.

Para obtener la mediana muestral, coloque los puntajes en orden creciente, y seleccione los dos puntajes de la media (porque n es par):

0.5, 2.5, 3, 3, 4, 5.5, 10, 11.5,

La mediana muestral es el promedio, 3.5, de los dos puntajes centrales.

Pues el puntaje de 3 aparece más frecuentamente, sabemos que el modo mestrual es 3.

Si X es una variable aleatoria finita con valores x₁, x₂, . . ., x_n, la media o valor esperado de X, escrito μ, o E(X), es

μ = E(X) = x₁.P(X = x₁) + x₂.P(X = x₂) + . . . + x_n.P(X = x_n)

= ∑ (x_i.P(X = x_i).

P(X ≤ m) ≥ 1/2 and P(X ≥ m) ≥ 1/2.

Un modo de X es un número m tal que P(X = m) es más grande. Este es el valor más problable de X o los valores más problables si tiene X varios valores con la misma probabilidad más grande. Para una variable aleatoria continua, un modo m es un número tal que la función de densidad de probabilidad es máxima cuando x = m.

El valor esperado, la mediana y el modo de una variable aleatoria es el promedio, mediana, y modo que esperiamos obtener si tenemos un gran número de los valores de X. En la inversa, si todo lo que sabemos acerca de X es una colección de valores de X, entonces el promedio, mediana y modo de aquellos resultados son nuestra mejor estimaciones del valor esperado, la mediana y el modo de X.

Supongamos que echamos tres veces una moneda al aire, con p = P(cara) = 0.8 y q = P(Cruz) = 0.2. Tome X = número de caras. Entonces la distrubución (véase más arriba) se da por

El valor esperado de X se da por

  E(X) = ∑ (x_i.P(X = x_i)
        = 0(.008) + 1(.096) + 2(.384) + 3(.512)
        = 2.4.

La mediana es 3, ya que P(X ≤ 3) = 1 ≥ 1/2 y P(X ≥ 3) = 0.512 ≥ 1/2. Además, 3 es el valor menos de X con esta propiedad.

3 es también el modo, ya que su probabilidad es mayor.

Varianza muestral y desviación estándar muestral

Dado un conjunto de números x₁, x₂, . . . , x_n la varianza muestral es

s2	=	∑ (xi - )2 n-1
	=	(x1 - )2 + (x2 - )2 + ... + (xn - )2 n-1

La desviación estándar muestral es la raíz cuadrada, s, de la varianza muestral.

Varianza muestral y desviación estándar de una población

La varianza de una ploblación y la desviación edtándar población son ligeramente diferentes en las formulas de las correspondientes estadísticas muestrales. Dado un conjunto de números x₁, x₂, . . . , x_n la varianza de la población σ², es

σ2	=	∑ (xi - )2 n
	=	(x1 - )2 + (x2 - )2 + ... + (xn - )2 n

La desviación estándar de la población, σ, es la raíz cuadrada de la varianza de la población.

Para leer más acerca de la diferencia entre la varianza y la desviación estandar de la población y de una muestra, vaya a nuestra pagina en línea de texto: Distrubuciónes muestrales.

Considere la siguiente colección de puntajes examinadas anteriormente.

11.5, 3, 5.5, 0.5, 3, 10, 2.5, 4

Vimos anteriormente que la media muestral es 5 (ver ejemplo "Media, Mediana, y modo de conjunto de datos" mas arriba). La siguiente tabla muestra los cuadros de la diferencias desde la media, que utilizamos para calcular la varianza muestral y la desviación estándar.

xi	11.5	3	5.5	0.5	3	10	2.5	4
x-	6.5	-2	0.5	-4.5	-2	5	-2.5	-1
(x-)2	42.25	4	0.25	20.25	4	25	6.25	1

La suma de los datos en la fila inferior es ∑ (x_i - )² = 103. Por lo tanto,

s2	=	∑ (xi - )2 n-1
	=	103 7		14.714

s = 14.714^1/2 3.836.

Para calcular la varianza de población, se divide 103 por n = 8 en lugar de 7, consiguiendo

σ² = 12.875
σ 3.588

Si X es una variable aleatoria, su varianza se define como

σ² = E( [X - μ]² ).

σ² = E(X²) - μ².

La varianza y la desvianción estándar de una variable aleatoria son las varianza muestral y la desviación estándar muestral de que esperamos obtener si tenemos un gran número de X-resultados. A la inversa, si todo lo que sabemos acerca de X es una colección de X-resultados, entonces la varianza muestral y la desviación estándar muestral de los resultados son nuestra mejor estimaciones de la varianza y desviación estándar de X.

Veamos de nuevo el experimento de echar tres veces una moneda al aire, con p = P(cara) = 0.8 y q = P(crúz) = 0.2. (X = número de caras.) La siguenta es la distrubución, incluyendo los valores de x².

Vimos anteriormente que μ = 2.4. Además,

  E(X²) = ∑ (x_i².P(X = x_i)
        = 0(.008) + 1(.096) + 4(.384) + 9(.512)
        = 6.24.

Por lo tanto,

σ2	=	E(X2) - μ2
	=	6.24 - 2.42 = 0.48,

y

σ = 0.48^1/2 0.6928.

Principio de página

La regla de Chebyshev

Para un conjunto de datos, lo suiguiente es cierto.

• Por lo menos 3/4 de los resultados entran dentro de 2 desviaciones estándar de la media (en el intervalo [-2s, +2s] para las muestras o [μ-2σ, μ+2σ] para las poblaciones).
• Por lo menos 8/9 de los resultados entran dentro de 3 desviaciones estándar de la media (en el intervalo [-3s, +3s] para las muestras o[μ-3σ, μ+3σ] para las poblaciones).
• Por lo menos 15/16 de los resultados entran dentro de 4 desviaciones estándar de la media (en el intervalo [-4s, +4s] para las muestra o [μ-4σ, μ+4σ] para las poblaciones).
  ...
• Por lo menos 1-1/k² de los resultados entran dentro de k de las desviaciones estándar de la media (en el intervalo [-ks, +ks] para las muetras o [μ-kσ, μ+kσ] para las poblaciones).

Regla Empiríca

Para un conjunto de datos, cuya distrubución de frecuencia es la "forma de campana" y simétrica (como en la figura), lo siguiente es cierto.

• Aproximadamente el 68% de los resultados entran dentro de 1 desviación estándar de la media (en el intervalo [-s, +s] para las muestras o [μ-σ, μ+σ] para las poblaciones).
• Aproximadamente el 95% de los resultados entran dentro de 2 desviación estándar de la mediasta (en el intervalo [-2s, +2s] para las muestras o [μ-2σ, μ+2σ] para las poblaciones).
• Aproximadamente el 99.7% de los resultados entran dentro de 3 desviación estándar dela media (en el intervalo [-3s, +3s] para las muestras o [μ-3σ, μ+3σ] de las poblaciones).

En cuanto a la distrubución binomial inmediatamente anterior, hemos

E(X) = 2.4;
s(X) = 0.48^1/2 0.69

La regla de Chebyshev's ahora dice:

k = 2:		P(1.02 ≤ X ≤ 3.78) ≥ 0.75
k = 3:		P(0.33 ≤ X ≤ 4.47) ≥ 0.89

Sin embargo, no podemos aplicar la regla empírica de la presente distrubución (mire la disribución de probabilidad en el cuadro anterior y observe que no es simétrica).

Ejemplo de la regla empírica

Si la media de una muestra con una distribución simétrica y en la forma de campana es de 20, con desviación estándar s = 2, entonces aproximadamente el 95% de los resultados se encuentran en el intervalo [16, 24].

Si X es el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli, con probabilidad de éxito p en cada ensayo y la preobabilidad q = 1p de fracaso, y entonces

μ = np

σ² = npq.

Si n es grande y p no está demasiado cerca a 0 o 1, entonces la mediana es aproximadamente igual a la media, np (que será también el modo en este caso).

En cuanto a la moneda del experimento anterior, con n = 3, p = P(cara) = 0.8 y q = P((cruz) = 0.2, nos encontramos que

μ = np = 3(0.8) = 2.4,

σ² = npq = 3(0.8)(0.2) = 0.48,

Una variable aleatoria continua X puede tomar cualquier valor real. La probabilidad P(a ≤ X ≤ b), se especifica por medio de una curva de densidad de preobabilidad , una curva situada por encima del eje x tal que la área total entre la curva y el eje x es igual a 1.

La probabilidad P(a ≤ X ≤ b) se da por la átra delimitada por la curva, el eje x, y las líneas x = a y x = b.

Para un análisis detallada de varios ejemplos (las distrubuciones uniforme, exponencial, normal y beta) mire la sección en-línea sobre las funciones de densidad de probabilidad .

Una distribución uniforme finita en una distribución en la que todos los valores de X son igualmente probables. Una distribución uniforme continua es aquella cuya función de densidad es una línea horizonta.

El experimento: Se tira al aire un dado y observa el número mas arriba.
La variable aleatoria: X = El número más arriba

La más importante tipo de variable aleatoria continua es la variable aleatoria normal. Es una variable con una curva de densidad en forma de campana dada por la siguiente ecuación.

Variable aleatoria estándar
La Variable aleatoria estándar Z es una variable aleatoria normal con medio 0 y desviación estándar 1. Las probabilidades de la forma

P(a ≤ Z ≤ b)

Para calcular áreas bajo la curva normales sin tener que usar una tabla, pruebe nuetra Utilidad para distribuciones normales.

Si Z es la variable normal estándar, entonces

P(0 ≤ Z ≤ 0.5) 0.1915.

Para texto en-linea sobre la distribución uniforme y su papel en disribuciones de medias mustrales vea nuestra página en linea: Distrubuciones muestrales.

Para una discución de esta y otras distrubuciones (uniforme, exponencial y distrubuciones beta) basada en el cálculo, vaya a la sección en-línea sobre las funciones de densidad de probabilidad.

Probabilidad de una variable con distrubución normal estar dentro de k desviaciones estándar de su media

Sea X una variable aleatoria normal con media y desviación estándar s. Entonces:

P(s ≤ X ≤ +s) = 0.6826

P(2s ≤ X ≤ +2s) = 0.9545

P(3s ≤ X ≤ +3s) = 0.9973

Aproximación normal a una distrubución binomial.
Si X es un el número de éxitos en una secuencia de n ansayos independientes de Bernoulli, con probabilidad de éxito p en cada ensayo, y si el rango de valores de X tres desviaciones estándar por encima y por debajo de la media se encuentra en su totalidad dentro de el rango de 0 a n (los posibles valores de X), entonces

P(a ≤ X ≤ b) es aproximadamente igual a P(a-0.5 ≤ Y ≤ b+0.5)