Continuidad & Diferenciabilidad
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Parte B: Diferenciabilidad Ejercicios para este tema Índice de texto en línea Todo para Cálculo Aplicado Todo para Matemáticas Finitas Todo para Matemáticas Finitas & Cálculo Aplicado Utilidad: Evaluador & Graficador de Funciones English |
Parte A: Continuidad
Nota Para entender este tema, debes estar familiarizado con los límites, como se explica en el capítulo sobre derivadas en Cálculo Aplicado al Mundo Real. Si te gusta, puede revisar el material en el resumen del tema de derivadas y límites o, para estudiarlo más detalladamente, el tutorial en línea sobre límites.
Para comenzar, recordemos la definición (consultando la sección 6 del capítulo de derivadas en Cálculo Aplicado al Mundo Real) de lo que significa para que sea continúa una función en un punto o en un subconjunto de su dominio.
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Continua en un Punto
La función $f$ es continua en el punto a de su dominio si:
Si el punto a no está en el dominio de $f,$ no tiene sentido decir si o no $f$ es continua en $a.$ Continua en un subconjunto del dominio La función $f$ es continua en el subconjunto $S$ de su dominio si es continua en cada punto de $S.$ Ejemplos 1. Todas las funciones de forma cerrada son continuas en sus dominios (enteros). Una función de forma cerrada es cualquier función que se puede obtener por la combinación de constantes, potencias de $x,$ funciones exponenciales, radicales, logarítmicas, y funciones trigonométricas (y algunas otras funciones que no encontraremos aquí) en una sola formula matemática por medio de las operaciones aritméticas habituales y composición de funciones. Ejemplos de funciones de forma cerrada son:
2. La función $f(x) = 1/x,$ también de forma cerrada, es continua en cada punto de su dominio. (Nota que 0 no es un punto del dominio de $f,$ por tanto no hablamos de lo que podría significar ser continua o discontinua ahí). 3. La función
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Ejemplo 1 Reconociendo puntos de discontinuidad en una gráfica
Solución
De acuerdo con la definición, $f$ puede fallar en ser continua en un punto de su dominio si:| 1. | $lim$ $x→a$ | $f(x)$ no existe, o |
| 2. | $lim$ $x→a$ | $f(x$) existe, pero $≠ f(a)$ |
$x = 0:$ A partir de la gráfica, vemos que $f(0)$ no se define. Por lo tanto, 0 no está en el dominio de $f,$ así que no podemos decir que $f$ tiene a discontinuidad en $x = 0.$ (Algunos autores dirían que $f$ es discontinua en $x = 0,$ pero no consideramos tales puntos...)
$x = 1:$ En el punto donde $x = 1,$ el límite sí existe,
| $lim$ $x→1$ | $f(x) = 1,$ pero |
| $f(1)= 2$ |
Aquí está un ejemplo más interactivo.
Ejemplo 2 Reconociendo puntos de discontinuidad en una gráfica
Los siguientes ejemplos presentan las funciones especificadas algebraicamente en lugar de geométricamente.
Ejemplo 3 Identificación de puntos de discontinuidad en una función de forma no cerrada.
| $f(x)$ = |  | $x^2+4$ $x + 1$ $x^2 + 1$ | si $x ≤ 0$ si $0 < x ≤ 1$ si $x > 1$ |
. |
| $lim$ $x→0-$ | $f(x) = 4$ | Sustituye $x = 0$ en la primera (forma cerrada) formula |
| $lim$ $x→0+$ | $f(x) = 1$ | Sustituye $x = 0$ en la segunda (forma cerrada) formula |
Ejemplo 4 Ajustando una función
| $f(x) =$ | | $x^2 - x + 1$ $kx^2 + 1$ | si $x ≤ 1$ si $x > 1$ |
. |
Solución
Dado que el único lugar en el que algo puede ir mal es en $x = 1,$ miramos los límites izquierdo y derecho, y también como el valor de la función.| $lim$ $x→1^{-}$ | $f(x) = 1$ |
| $lim$ $x→1^{+}$ | $f(x) = k+1$ |
| $f(1) = 1$ | |
Ahora puedes seguir y tratar los ejercicios que tienen que ver con la continuidad de los ejercicios para este tema, o primero seguir a Parte B: Diferenciabilidad.