Prueba de la Regla de Potencias
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Resumen del Tema de Derivadas
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La regla de potencias
Si $a$ es un numero real, y $f(x) = x^a,$ entonces
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La prueba se divide en varios pasos. Sin embargo, puedes omitir el ultimo paso para una prueba rápida que utiliza la formula para la derivada de funciones exponenciales.
Paso 1: Prueba de la regla de potencias para exponentes enteros no-negativos
En este paso, supongamos que $f(x) = x^n,$ donde $n$ es un número entero positivo: 0, 1, 2, 3, .... Primero, si da la casualidad de que $n$ es cero, $f(x) = x^0 = 1,$ una constante, y así su derivada es cero, por el resultado demostrado en el texto. Así, supongamos que $n$ es un entero positivo. Para seguir con la prueba de este paso, debes reconocer un hecho poco agradable algebraico. Primero da un vistazo a estas identidades.(Utiliza la ley distributiva para desarrollar el lado derecho en cada caso.)
Estos ejemplos se generalizan para darnos la siguiente fórmula:
Diferencia de dos $nª$ en enésima potencias
Si $a$ y $b$ son número reales, y $n$ es un número entero positivo, entonces
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$f^{'}(x)$ | $=$ | $\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ |
$=$ | $\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - x^n}{h}$ |
$=$ | $\lim_{h \to 0}\frac{[(x+h) - x][(x+h)^{n-1} + (x+h)^{n-2} x + . . . + x^{n-1}]}{h}$ | ||
$=$ | $\lim_{h \to 0}\frac{h[(x+h)^{n-1} + (x+h)^{n-2} x + . . . + x^{n-1}]}{h}$ | Desde $(x+h) - x = h$ | |
$=$ | $\lim_{h \to 0}[(x+h)^{n-1} + (x+h)^{n-2} x + . . . + x^{n-1}]$ | Cancelar la $h$ |
Paso 2: Prueba de la regla de potencias para exponentes enteros negativos.
Aquí, vemos que $f(x) = x^{-n},$ donde $n = 0, 1, 2, 3, ... .$ Pues estamos obligados a justificar la regla de potencias para enteros negativos, ¡no podemos simplemente seguir adelante y utilizarlo! "Oficialmente," todo lo que podemos utilizar es la regla de potencias para enteros positivos (Paso 1), la regla del producto y la regla del cociente. (La regla del producto se prueba en el texto, y la regla del cociente se prueba aquí.) Lo que podemos hacer es lo siguiente: escribe $x^{-n}$ como $\frac{1}{x^n}$ y utiliza la regla del cociente. Aplicando la regla del cociente para $\frac{1}{x^n}$ da$\frac{d}{dx}\left\[ \frac {1}{x^n} \right\]$ | $=$ | $\frac{(0)(x^n) - (1)(nx^{n-1})}{(x^n)^2}$ |
$=$ | $\frac{-nx^{n-1}}{x^{2n}}$ | |
$=$ | $ -nx^{n-1-2n} = -nx^{-n-1}$, |
Paso 3: Prueba de la regla de potencias para exponentes racionales
Para este paso, supongamos que $f(x) = x^{p/q},$ donde $p$ y $q$ son números enteros (positivo o negativo), y debemos demostrar que
mientras que
Igualando estas derivadas nos da
$\frac{d}{dx} (x^{\frac{p}{q}})$ | $=$ | $\frac{px^{p-1}}{q(x^{\frac{p}{q}})^{q-1}}$ |
$=$ | $\frac{px^{p-1}}{qx^{p- \frac{p}{q}}}$ | |
$=$ | $\frac{p}{q} x^{p-1- (p- \frac{p}{q})}$ | |
$=$ | $\frac{p}{q} x^{\frac{p}{q}-1}.$ |
Paso 4: Prueba de la regla de potencias para exponentes reales arbitrarios (El caso general)
En realidad, este paso no requiere ninguno de los pasos anteriores, aunque se basa en el uso de las funciones exponenciales y sus derivadas.
Primero, necesitamos la igualdad $x^n = e^{nlnx}.$ (Puedes comprobar esto tomando el logaritmo natural de ambos lados.)
$\frac{d}{dx} x^n$ | $=$ | $\frac{d}{dx} e^{nlnx}$ | |
$=$ | $e^{nlnx} \frac{d}{dx} [n lnx]$ | Por la regla derivada de las funciones exponenciales | |
$=$ | $e^{nlnx} \left\[ \frac {n}{x} \right\]$ | Por la regla para la derivada de las funciones logarítmicas | |
$=$ | $x^{n} \left\[ \frac{n}{x} \right\]$ | Por la igualdad $x^n = e^{nlnx}$ | |
$=$ | $nx^{n-1}.$ |
Esto confirma la regla de potencias de todas las potencias reales.