Funciones trigonometrícas
por
Stefan Waner y Steven R. Costenoble

Sección: 2. Las Seis Funciones Trigonometrícas

1. Modelos con la función seno

Ejercicos para la sección 2

3. Derivadas de Funciones Trigonometrícas

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Las dos funciones trigonometrícas básicas son: seno (que ya hemos estudiado), y coseno. Tomando proporciones y valores inversos de estas funciones, podemos obtener otras cuatro funciones, llamadas tangente, secante, cosecante, y cotangente.

Coseno

Cuadrado de la distancia de $P$ a $(0, 0) = 1$
$(\sen t)^2 + (\cos t)^2 = 1$

La ecución se puede expresar como

$\sen^2t + \cos^2t = 1,$

Esta ecuación es una de las relaciones importantes entre las funciones seno y coseno.

Identidad trigonométrica fundamental $\sen^2t + \cos^2t = 1$

Ahora vemos la gráfica de la función coseno. La gráfica, como se podría esperar, es idéntica a la gráfica de la función seno, excepto que está desplazada por un "desplazamiento de fase" (vea la figura).

Esto da el siguiente nuevo par de identidades.

Nuevas relaciones entre seno y coseno Se puede obtener la curva cosenoide desplazando la cueva senoide hacia la izquierda, una distancia igual a $\pi/2.$ Por lo contrario, se puede obtener la cueva senoide de la curva cosenoide desplazandola $\pi/2$ dos unidades a la derecha. $\cos t = \sen(t + \pi/2)$ $\sen t = \cos(t - \pi/2)$ Formulación alternativa También se puede obtener la cueva cosenoide invirtiendo primero la cuerva senoide de manera vertical (sustituyendo $t$ por $-t$) y desplazándola hacia la derecha una distancia igual a $\pi/2.$ Con esto obtenemos dos fórmulas alternativas (que son más fáciles de recordar): $\cos t = \sen(\pi/2 - t)$ $\sen t = \cos(\pi/2 - t)$

Pregunta
Ya que se puede formular la función coseno en términos de la función seno, ¿para qué se necesita la función coseno?

Respuesta
Desde el punto de vista tecnico, para nada; no se necesita la función coseno, y nos podemos arreglar sólo con la función seno. Por otra parte, conviene tener a la mano la función coseno porque comienza en el punto máximo y no en cero. Estas dos funciones, y sus relaciones, desempeñan papeles importantes e las matemáticas.

La función coseno en general (Curva general de coseno) Observa que el punto base está en el punto máximo de la cuerva. Todas las constantes tienen el mismo significado en la cueva senoide en general: $A$ es la amplitud (la altura de cada punto máximo sobre la línea base). $C$ es el desplazamiento vertical (la altura de la línea base). $P$ es el periodo o longitud de onda (la longitud de cada ciclo). $ω$ es la frecuencia angular, y esta definida por $ω = 2\pi/P$ $α$ es el desplazamiento de fase (el desplazamiento horizontal del punto de base; donde la curva alcanza su máximo)

(a) Represente este flujo de efectivo con una función coseno del tiempo $t$ en años, en la que $t = 0$ represente a 1955.
(b) Convierta el resultado de la parte (a) en un modelo con la función seno.

* Fuente: Investment Company Institute/The New York Times, 2 de febrero de 1997. p. F8.

Solución

$P(t) = A \cos[ω(t-α)] + C.$

$ω = 2\pi/P = 2\pi/40 = \pi/20 \approx 0.157.$

Al armar el modelo se obtiene

$P(t) = A \cos[ω(t-α)] + C$
       $= 12.5\cos(0.157t) + 2.5,$

(b) Para pasar de una representación con coseno a una con seno se puede usar una de las ecuaciones antes dadas. Aquí, usemos la fórmula

$\cos x = \sen(x + \pi/2).$

En consecuencia,

$P(t) = 12.5\cos(0.157t) + 2.5$
       $= 12.5\sen(0.157t + \pi/2) + 2.5.$

Las demás funciones trigonométricas

Como mencionamos anteriormente, podemos usar razones y recíprocas del seno y el coseno para obtener cuatro nuevas funciones con su propio nombre. Que son:

Tangente, Cotangente, Secante, y Cosecante $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ tangente $\cotan x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$ cotangente $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ secante $\cosec x = \frac{1}{\sin x}$ cosecante

Solución

Donde

$\sec x = 1/\cos x,$

podemos entrar esta función como

	$Y_1 = 1/\cos(x).$

Pregunta
¿Qué hacen aquí las líneas verticales?

$\cos x = 0.$

Si has estudiado la sección en límites en el capítulo 3 de Cálculo Aolicado al Mundo Real, o capítulo 10 de Matemáticas Finitas y Cálculo Aolicado al Mundo Real, reconocerás este fenómeno en términos de límites; Por ejemplo,

$x$$\pi/2^{-}$ $\sec x = ∞$
$x$$\pi/2^{+}$ $\sec x = -∞$

Antes de seguir...

Aquí están las graficas de las cuatro funciones. Podrías intentar reproducirlas y pensar sobre las asíntotas

$\tan x = \sen x/\cos x$

$\cotan ;x = \cos x/\sen x$

$\sec x = 1/\cos x$

$\cosec x = 1/\sen x$

Las funciones trigonométricas como proporciones en un triángulo rectángulo

Volvamos a la figura que define el seno y el coseno, pero esta vez, pensemos de estas dos cantidades como longitudes de los lados de un triángulo rectángulo:

También pensamos en la cantidad t como una medida del ángulo que se muestra en lugar de la longitud de un arco. Mirando la figura, nos encontramos con que

$\sen t =$ longitud del lado opuesto del ángulo $t = \frac{\text{opuesto}}{1} = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$

$\cos t =$ longitud del lado adyacente al ángulo $t = \frac{\text{adyacente}}{1} = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$

$\tan t = \frac{\sen t}{\cos t} = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$

Esto nos da las seis fórmulas siguientes

Las funciones trigonométricas como proporciones en un triángulo rectángulo

1. Modelos con la función seno

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3. Derivadas de Funciones Trigonometrícas

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