Funciones trigonométricas
por
Stefan Waner y Steven R. Costenoble

Sección: 3. Derivadas de funciones trigonométricas

2. Las seis funciones trigonométricas

Ejercicios Para la Sección 3

4. Integrales de Funciones Trigonométricas

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Derivada de $\sen x$ La derivada de la función seno se da por $\frac{d}{dx} \sen x = \cos x.$

Eso es todo lo que hay que hacer!

Pregunta
¿De dónde vino esto?

Respuesta
Lo justificaremos al final de esta sección. (Si no puedes esperar, presiona la perla para ir ahí ahora).

Ejemplo 1

(a) $y = x \sen x$	(b) $y = \cosec x$	(c) $y = \frac{x^2+x}{\sen x}$
(d) $y = \sen(3x^2 -1)$

Solución

$y = (x)(\sen x).$

Por lo tanto, por la regla del producto,

$ \frac{dy}{dx} = (1)(\sen x) + (x)(\cos x) = \sen x + x \cos x $

$y = \cosec x = \frac{1}{\sen x}.$

Por lo tanto, por la regla del cociente,

$\frac{dy}{dx} = \frac{(0)(\sen x) - (1)(\cos x)}{\sen^2x}$     (recordemos que $\sen^2x$ es sólo $(\sen x)^2$)
    $= \frac{-\cos x}{\sen^2x}$
    $= \frac{-\cos x}{\sen x} . \frac{1}{\sen x}$
    $= - \cotan x \cosec x.$    (de las identidades en la sección 2)

Nota que acabamos de obtener una derivada de las cinco funciones trigonométricas restantes. Faltan cuatro...

(c) Ya que la función dada es un cociente,

$ \frac{dy}{dx} = \frac{(2x+1)(\sen x) - (x^2+x)(\cos x)}{\sen^2x} ,$

y vamos a dejarlo así (no hay ninguna simplificación fácil de la respuesta).

(d) Aquí, una aplicación del EMC  nos dice que y es el seno de una cantidad.

Ya que

$ \frac{d}{dx} \sen x = \cos x,$

La regla de cadena ( presione la perla para ir a un resumen del tema para una revisión rápida) nos dice que

$ \frac{d}{dx} \sen \ \color{blue}{u} = \cos\ \color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$

por lo tanto

$ \frac{d}{dx} \sen \color{blue}{(3x^2-1)} = \cos \color{blue}{(3x^2-1)} \frac{d}{dx} \color{blue}{(3x^2-1)}$

                           $= 6x \cos(3x^2-1)$    (coloquemos el $6x$ en frente para evitar confusión — ve mas abajo)

^* Ve el ejemplo 6 en p. 258 en Cálculo Aplicado al Mundo Real, o p. 756 en Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado al Mundo Real. Alternativamente, presione aquí para consultar el resumen del tema en línea, donde la EMC también se discute.

Antes de seguir...

$\cos[(3x^2-1)(6x)]$   (el coseno de la cantidad $(3x^2-1)(6x)),$

o significa

$[\cos(3x^2-1)](6x)$   (el producto de $\cos(3x ^2-1)$ y $6x)$?

Pregunta
¿Qué pasa con la derivada de la función coseno?

Respuesta
Utilicemos la identidad

$\cos x = \sen(\pi/2-x)$

de la sección 1, y sigamos el método del ejemplo 1(d) arriba: si

$y = \cos x = \sen(\pi/2-x),$

entonces, usando la regla de cadena,

$\frac{dy}{dx} = \cos(\pi/2-x) \frac{d}{dx}(\pi/2-x)$

     $= (-1)\cos(\pi/2-x)$               (ya que $\pi/2$ es constante, y $d/dx(-x) = -1$)

     $= -\sen  x$                                (usando la identidad $\cos(\pi/2-x) = \sen x$)

Pregunta
¿Qué tal tres funciones trigonométricas restantes?

Regla original	Regla generalizada (Regla de cadena)
$\frac{d}{dx} \sen x = \cos x$	$\frac{d}{dx} \sen \color{blue}{u} = \cos \color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$
$\frac{d}{dx} \cos x = -\sen x$	$\frac{d}{dx} \cos \color{blue}{u} = -\sen \color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$
$\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$	$\frac{d}{dx} \tan \color{blue}{u} = \sec^2\color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$
$\frac{d}{dx} \cotan x = -\cosec^2 x$	$\frac{d}{dx} \cotan \color{blue}{u} = -\cosec^2 \color{blue}{u} \frac{d \color{blue}{u}}{dx}$
$\frac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x$	$\frac{d}{dx} \sec \color{blue}{u} = \sec \color{blue}{u}\ \tan \color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$
$\frac{d}{dx} \cosec x = -\cosec x \cotan x$	$\frac{d}{dx} \cosec \color{blue}{u} = -\cosec \color{blue}{u}\ \cotan \color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$

Ejemplo 2

Determina la derivada de las siguientes funciones.

(a) $f(x) = \tan(x^2-1)$	(b) $g(x) = \cosec(e^{3x})$	(c) $h(x) = e^{-x}\sen(2x)$
(d) $r(x) = \sen^2x$	(e) $s(x) = \sen(x^2)$

Solución

$\frac{d}{dx} \tan \color{blue}{u} = \sec^2\color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$

$\frac{d}{dx} \tan(x^2-1) = \sec^2(x^2-1) \frac{d(x^2-1)}{dx}  $       (sustituyendo $u = x^2-1)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ = 2x\ \sec^2(x^2-1).$

$\frac{d}{dx}$

$\cosec \color{blue}{u} = -\cosec \color{blue}{u}\ \cotan \color{blue}{u}$

$\frac{d \color{blue}{u}}{dx}$

$\frac{d}{dx}$	$\cosec(e^{3x})$	$= -\cosec(e^3x) \cotan(e^{3x}) \frac{d(e^{3x})}{dx}$
		$=-3e^{3x} \cosec(e^{3x}) \cotan(e^{3x}).$	(la derivada de $e^{3x}$ es $3e^{3x})$

$h'(x)$	$=$	$(-e^{-x})\sen(2x) + e^{-x}$ $\frac{d}{dx}$ $[\sen(2x)]$
	$=$	$(-e^{-x})\sen(2x) + e^{-x}$ $\cos(2x)$ $\frac{d}{dx}$ $[2x]$	(usando $d/dx \sen u= \cos u\ du/dx)$
	$=$	$-e^{-x}\sen(2x) + 2e^{-x}\cos(2x).$

$\frac{d}{dx}$

$[ \color{blue}{u^2}]$

$=$

$2\color{blue}{u}$

$\frac{d\color{blue}{u}}{dx}$

$\frac{d}{dx}$	$[(\sen x)^2]$	$=$	$2(\sen x)$	$\frac{d(\sen x)}{dx}$
		$=$	$2 \sen x \cos x.$

$\frac{d}{dx} \sen \color{blue}{u} = \cos \color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$

$\frac{d}{dx}$	$\sen(x^2) = \cos(x^2) \frac{d(x^2)}{dx}$
	$= 2x \cos(x^2).$

y nos quedamos con dos límites para evaluar. Calcular analíticamente estos límites requiere un poco de trigonometría (presiona aquí para estos cálculos). Alternativamente, podemos tener una buena idea de lo que son estos dos límites por estimación numérica. Encontramos que:

$\lim {h \to 0} \frac{(\cos h - 1)}{h} = 0$

y

$\lim {h \to 0} \frac{\sen h}{h} = 1$

Por lo tanto,

$\frac{d}{dx} \sen x = \sen x (0) + \cos x (1) = \cos x.$

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