Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Una
ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede expresar en la forma
$\displaystyle ax + by = c$
donde $a$, $b$ y $c$ son números reales, y donde $a$ y $b$ no son ambas cero.
La gráfica de una ecuación lineal $ax + by = c$ es una recta: si $b \ne 0$ podemos despejar a $y$ en la ecuación para obtener una ecuación de una recta en la forma stándar (ve el
resumen de funciones lineales.). Si $b= 0$, entonces podemos despejar a $x$ para obtener $x = $ un constante, que nos da una recta vertical.
Ejemplos: Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Las siguientes son ecuaciones lineales con dos incógnitas:
| $3x + 2y = 4 \qquad$ | |
| $x-y = 5$ | |
| $2x=0$ | |
Las siguientes
no son ecuaciones lineales con dos incógnitas:
| $3x^2 + 2y = 4 \qquad$ | |
| $xy = 5$ | |
| $0x+0y=1$ | |
Para graficar la ecuación lineal $3x + 2y = 4$, primero despeja a $y$ para obtener
así que la pendiente es $m = -\dfrac{3}{2}$ y la intersección-$y$ es $b = 2$. Entonces obtenemos la siguiente recta por seguir las instrucciones en el
resumen de funciones lineales:
Práctica:
Práctica:
Soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas
Una
solución particular de la ecuación lineal $ax + by = c$ es un par específico de números $(x, y)$ que satisfacen la ecuación. Si $a$ y $b$ no son ambos cero, la ecuación lineal $ax + by = c$ tiene infinitas soluciones de este tipo; Estas soluciones son los puntos en la gráfica de la ecuación.
La
solución general parametrizada por $\bold{x}$ de la ecuación lineal $ax + by = c$ tiene la forma $(x,f(x))$, donde despejamos a $y$ en la dada ecuación como una función $f(x)$ de $x$ si es posible (es decir, si $b \neq 0$, para que $y$ aparezca en la ecuación; de lo contrario, la solución general no se puede parametrizar por $x$). Sustituir cualquier número por $x$ luego da como resultado una solución particular.
De manera similar, la
solución general parametrizada por $\bold {y}$ tiene la forma $(g(y), y)$, donde despejamos a $x$ en la dada ecuación como una función $g(y)$ de $y$ si es posible. Sustituir cualquier número por $y$ luego da como resultado una solución particular.
Ejemplos: Soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas
La ecuación lineal $3x + 2y = 4$ tiene $x = 2,\ y = -1,$ o $(x, y) = (2, -1),$ como una solución, porque sustituyendo $x = 2$ e $y = -1$ en la ecuación la convierte en una declaración verdadera:
Hay de hecho infinitas soluciones para esta ecuación. Algunas soluciones adicionales son
$(-1,\frac{7}{2}),\ \ (0, 2),\ \ (1, \frac{1}{2}),\ \ (2, -1),\ \ (3, -\frac{5}{2}),\ \ (4, -4),\ \ \cdots \ \ \left(x, \frac{1}{2}(4-3x)\right), \cdots$
Las soluciones $(-1,\frac{7}{2}),\ \ (0, 2),\ \ (1, \frac{1}{2}),\ \ (2, -1),\ \ (3, -\frac{5}{2}),$ y $(4, -4)$ son ejemplos de soluciones particulares de $3x + 2y = 4$.
Obtuvimos la coordenada-$y$ de la última solución mostrada por despejar la $y$ en la ecuación $3x + 2y = 4$. Esto es la solución general parametrizada por $x$.
Gráficamente, las soluciones son los puntos en la recta $3x + 2y = 4:$
Práctica:
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: Punto de vista gráfica
Una
solución de un sistema de dos o más ecuaciones lineales en $x$ y $y$ es una solución que satisface a la vez todas las ecuaciones en el sistema.
Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales
gráficamene, por dibujar las gráficas y determinar donde se cruzan, o
algebráicamente, por, como ejemplo, combinar las ecuaciones para eliminar cada incógnita salvo que una, y entonces despejarla.
Un sistema de dos ecuaciones lineales tiene:
- Una sola (única) solución. Ocurre este caso cuando las dos rectas correspondientes no están paralelas, y entonces se cruzan en un solo punto.
- Ninguna solución. Ocurre este caso cuando las dos rectas son paralelas y distintas.
- Un número infinito de soluciones. Ocurre este caso cuando las dos ecuaciones representan la misma recta. En este caso, se represente las soluciones por designar una variable como arbitraria y despejar a la otra.
Ejemplos: Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: Punto de vista gráfica
1. El sistema de ecuaciones
tiene la única solución $(-1,3)$ ya que este es el único punto donde las gráficas se intersecan:
El sistema de ecuaciones
no tiene ninguna solución ya que las gráficas nunca se intersecan (las rectas son paralelas):
El sistema de ecuaciones
tiene infinitas soluciones ya que las gráficas son la misma recta. Dos soluciones particulares se muestran en la gráfica; la solución general es $(x, x+1)$ (despeja $y$ en cualquier ecuación):
Práctica: Resolviendo gráficamente:
Solución algebraica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Solucionar algebraicamente por eliminación
Nota: Para que funcione bien el método de eliminación, primero debemos asegurarnos de que el sistema dado no tenga decimales fracciones ni decimales! Si tu sistema las tiene, entonces,
antes de hacer nada, multiplica cada ecuación por un número entero adecuado para deshacerte de ellos.
Eliminar un desconocido significa obtener una ecuación en la que no ocurre ese desconocido. Para eliminar un desconocido que ocurre en ambas ecuaciones, multiplica una o ambas ecuaciones por constantes adecuadas distintas de cero (si sea necesario) tal que la adición de las ecuaciones resultantes anula ("elimina") aquella incógnita. Luego resuelve la ecuación para la variable restante. Repite por eliminar la otra incógnita.
Ejemplos: Solución algebraica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Considera el sisema de ecuaciones
Eliminamos la $x.$ Observa que simplemente sumando las ecuaciones elimina los $x,$ pero resulta en $3x + y = -3.$ Sin embargo, si multiplicamos la primera ecuación por $-2$ obtenemos un sistema equivalente:
$-2x + 4y =16$
$2x + 3y=5$.
Ahora si las sumamos, las $x$ se cancelan y obtenemos
$7y = 21 \implies y = \dfrac{21}{7} = 3.$
Hemos despeja a $y.$
Ahora que sabemos que el valor de $y,$
podríamos obtener $x$ sustituyendo este valor en una de las ecuaciones originales, pero en cambio, podemos eliminar $y$ comenzando de nuevo con el sistema original:
Sistema original:
Para eliminar $y,$ queremos que los coeficientes de $y$ sea el mismo numéricamente pero con signos opuestos. Podemos lograr esto sin utilizar fracciones multiplicando la primera ecuación por $3$ y el segundo por $2.$
Ahora si las sumamos, las $y$ se cancelan y obtenemos:
$7x = -14 \implies y = \dfrac{-14}{7} = -2.$
Solución: $(x, y) = (-2, 3)$
Para ver qué sucede cuando utiliza el método de eliminación en un sistema redundante o inconsistente, consulte el
tutorial en-línea.
Práctica: Resolviendo por eliinación: