Una función cuadrática es una función en la forma

f(x) = ax² + bx + c     (con a ≠ 0).

Su gráfica se llama una parábola.

El vértice de este parábola se ocurre al punto de la gráfica con coordenada x dado por -b/(2a).

Cruza el eje y (intersección en y) a y = c.

Cruza el eje x (intersección(es) en x) a las soluciones de la ecuación cuadrática x² + bx + c = 0 (si hay cualesquiera soluciones).

Es simétrica respecto a la recta vertical por el vértice.

Si es positivo el coeficiente (a) de x², es cóncava hacia arriba (como en el ejemplo hacia la derecha). Si es negativo el coeficiente a, es cóncava hacia abajo (como en la figura debajo).

La parábola

y = x² - 2x - 8

-

b 2a

=

2 2

=

1.

y = (1)² -2(1) - 8 = -9.

x² - 2x - 8 = 0
(x + 2)(x - 4) = 0,

Una función exponencial es una función de la forma

f(x) = Ab^x,

La función f(x) = 3(2^x) es una función exponencial en la que A = 3 y b = 2. Tiene la siguiente gráfica:

La siguiente tabla muestra los valores de coordenadas-y de puntos en la gráfica. Todo que tiene que hacer es que introducir las coordenadas-x y pulsar "Calcula y"

x
y = 3(2x )

   

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Si b y c son positivas, y si x, y son números reales cualesquiera, se cumplen las siguientes leyes:

Ley	Ejemplo
bx by = bx+y	23 22 = 25 = 32
bx by = bx-y	43 42 = 41 = 4
1 bx = b-x	1 90.5 = 9-0.5 = 1 3
b0 = 1	(3.3)0 = 1
(bx)y = bxy	(32)2 = 34 = 81
(bc)x = bx cx	(4 2)2 = 4222 = 64
b c x = bx cx	4 3 2 = 42 32 = 16 9

Valor Futuro
Si se invierte una cantidad P, (el valor actual) durante t años a una tasa anual de interés r, compuesto m veces por año, el valor acumulado (valor futuro) del inversión después de t años es

A

=

P

1

+

r m

mt

A(t)

=

P

1

+

r m

mt

Suponga invierte usted $10,000 a una tasa anual de interés 4.8%, compuesto mensualmente. Es decir

P = 10,000,     r = 0.048,     m = 12.

A(t)	=	10,000 1 + 0.048 12 12t
	=	10,000(1.004)12t	.

A(5) = 10,000(1.004)¹²⁵ = 10,000(1.004) ⁶⁰ = $12,706.41.

Los números

1

+

1 m

m

m	1	10	100	1000	10000
1 + 1 m m	2	2.59374246	2.70481383	2.71692393	2.71814593

El número e aparezca en la formula para crecimiento continuo: Si $P se invierte a una tasa de interés r, compuesto en forma continua, la cantidad acumulada después de t años es

A = Pe^rt.

r_e = e^r - 1.

Si $10,000 se invierte a una tasa de interés anual 4.8% compuesto en forma continua, la cantidad acumulad después de t años será

A = 10,000e^0.048t.

r_e = e^0.048 - 1 ≈ 0.04917,

La declaración de relación matemática

log_bx = y        El logaritmo de x base b es igual a y

b^y = x.

• log₁₀x se abrevia con log x, y se llama el logaritmo común o decimal.
• La expresión log_ex se abrevia con ln x,  y se llama el logaritmos natural o neperiano.

La siguiente tabla presenta algunas ecuaciones exponenciales y sus formas logarítmicas equivalentes:

Forma Exponencial	103 = 1000	42 = 16	51 = 5	70 = 1	4-2 = 1/16
Forma Logarítmica	log1000 = 3	log416 = 2	log55 = 1	log71 = 0	log4(1/16) =-2

Las siguientes identidades son válidas para todas las bases positivas b 1 y todos los números positivos x, y.

Identity	Ejemplo
logb(xy) = logbx + logby	log216 = log28 + log22
logb(x/y) = logbx - logby	log2 (5/3) = log25 - log23
logb(xr) = r logbx	log2(65) = 5 log26
logbb = 1 logb1 = 0	log22 = 1 log31 = 0
logb(1/x) = -logbx	log2(1/3) = -log23
logbx = logx loga = ln x lna	log25 = log 5 log 2 ≈ 2.3219

Relación entre los Funciones f(x) = log_bx   y   g(x) = b^x

Si b ≠ 1 es un número positivo, entonces los funciones

f(x) = log_bx

      y

g(x) = b^x

b^logbx= x    para todos números reales x,

      y

log_b(b^x) = x     para todo número real x.

¿Quiere aprender más de funciones inversas? Vaya al texto en línea de funciones inversas.

2^log2x = x

e^{ln x} = x

log₂(2^x) = x

ln (e^x) = x

Una función exponencial de desintegración tiene la forma siguiente:

Q(t) = Q₀e^-kt           Q₀, k ambos positivos

La media vida t_h de una sustancia experimentando desintegración exponencial es el tiempo que tarda la mitad de la sustancia en desintegrarse. La media vida es independiente de la cantidad inicial Q₀.

La constancia de desintegración k y la media vida t_h para Q son relacionadas por la ecuación

t_h k = ln 2.

Crecimiento Exponencial y Tiempo Doblando

Una función exponencial de crecimiento tiene la forma siguiente:

Q(t) = Q₀e^kt           Q₀, k ambos positivos

El tiempo doblando t_d de una sustancia experimentando crecimiento exponencial es el tiempo que tarda la cantidad de sustancia en doblarse. Como la media vida, el tiempo doblando es independiente de la cantidad inicial Q₀.

La constante k y el tiempo doblando t_d son relacionados por la ecuación

t_d k = ln 2.

Desintegración Exponencial y Media Vida:

1. Q(t) = Q₀e^{-0.000 120 968t} es la función de desintegración para carbono 14.

2. Si k = 0.0123, entonces t_h(0.0123) = ln 2, de modo que la media vida es t_h = (ln 2)/k = (ln 2)/0.0123 ≈ 56.35 años.

Crecimiento Exponencial y Tiempo Doblando:

1. P(t) = 10,000e^0.5t es el valor de una cuenta después de t años si $10,000 se invierte a una tasa anual de interés 5% compuesto en la forma continua.

2. Entonces k = 0.0123, entonces t_d (0.0123) = ln 2, de modo que el tiempo doblando es t_d = (ln 2)/k = (ln 2)/0.0123 ≈ 56.35 años.

Una función logística tiene la forma

f(x) =

N 1 + Ab-x

(A, N, b constantes, b ≠ 1 positivo)

Propiedades de la Curva Logística:

• La gráfica es formado como S encajonado entre las líneas horizontales y = 0   y   y = N. N se le llama el valor limitante de la curva logística.
• Si b > 1 sube la gráfica; si b < 1, baja la gráfica.
• La intersección y es N/(1 + A)
• Rol de b: Para valores pequeños de x, la función logística crece aproximadamente exponencialmente con base b, y sigue la curva [N/(1+A)] b^x.

b > 1

0 < b < 1

N = 50, A = 24, b = 3 dan

f(x) = 50 1 + 24(3-x)

Formato para tecnología: 50/(1+24*3^(-x))

La siguiente figura muestra la gráfica de f junto con la aproximación exponencial:

Curva logística: 50/(1+24*3^(-x))
Curva exponencial: 2*3^x