Definición geométrica
El seno de un número real t es la coordenada y (altura) del punto P en el siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.

sin t = coordenada y del punto P

Definición "rueda bicicleta"
Si una rueda cuyo radio es 1 roda hacia delante a una velocidad de 1 unidad por segundo, sin t el la altura de un marcador fijo en su neumático después de t segundas, si se empieza a medio camino entre la parte superior y la parte inferior de la rueda.

   

Gráfica de la función seno

y = sin x

Función seno general
La función seno "generalizado" tiene la siguiente forma:

y = A sin[ω(x - α)] + C

• A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).
• C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
• P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).
• ω es la frecuencia angular, y se expresa por
          ω= 2π/P o P = 2π/ω.
• α es el desplazamiento de faso.

Considere la siguiente gráfica, que muestra una curva de seno "general" (desplazada y escalada):

Pregunta ¿Que es la ecuación de la gráfica?
Contesta Consultando la función seno generalizado a la izquierda, vemos que la ecuación de esta curva es:

y = A sin[ω(x-α)] + C,

• La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica 2 unidades abajo del eje x
• A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base) = 2
• C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base = -2
• P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente) = 4
• ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2
• α = desplazamiento de faso = 1 Esta es la distancia horizontal del eje y al primero punto donde la gráfica cruza la línea base.

y = 2 sin[π/2 (x - 1)] - 2

Para comprobar que sirve esta ecuación, pruebela en la evaluador y graficador de funciones o en la graficador Excel (si tienes Excel en su computadora).

Definición geométrica
El coseno de un número real t es la coordenada x del punto P en el siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.

cos t = coordenada x del punto P
sin t = coordenada y del punto P

Gráfica de la función coseno

y = cos x

Función coseno general
La función coseno "generalizado" tiene la siguiente forma:

y = A cos[ω(x - α)] + C

• A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).
• C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
• P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).
• ω es la frecuencia angular, y se expresa por
          ω= 2π/P o P = 2π/ω.
• α es el desplazamiento de faso.

Considere la siguiente gráfica, que muestra la misma curva de seno "general" (desplazada y escalada) que más arriba:

Pregunta ¿Esta vez, que es su ecuación, esta vez escrita como una función coseno general?
Contesta Consultando la función coseno generalizado a la izquierda, vemos que la ecuación de esta curva es:

y = A cos[ω(x-α)] + C,

• La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica 2 unidades abajo del eje x
• A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base) = 2
• C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base = -2
• P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente) = 4
• ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2
• α = desplazamiento de faso = 2 Es distinto para coseno: la distancia horizontal del eje y al primero máximo.

y = 2 cos[π/2 (x - 2)] - 2

Para comprobar que sirve esta ecuación, pruebela en la evaluador y graficador de funciones o en la graficador Excel (si tienes Excel en su computadora). .

El seno y coseno de un número t se relacionan con

sin²t + cos²t = 1

cos t = sin(t + π/2)
sin t = cos(t - π/2)

Formulación alternativa

Podemos también obtener la curva coseno por primero invertiendo la curva seno de manera vertical (reemplace t por -t) y después desplazando hacia la derecha una distancia igual a π/2. Esto nos da dos formulas alternativas (que son mas fáciles de recordar):

cos t = sin(π/2 - t)		El coseno es el seno del complemento.
sin t = cos(π/2 - t)		El seno es el coseno del complemento.

Por la identidad a la izquierda obtenemos

sin2x =

1 + cos2x 1 - cos2x cos2x - 1

Por la identidad penúltima a la izquierda obtenemos:

cos π/3 =

sin π/2 sin π/3 sin π/6

The ratios and reciprocals of sine and cosine are given their own names:

Tangent		tan x = sin x cos x
Cotangent:		cot x = cot x = cos x sin x = 1 tan x
Secant:		sec x = 1 cos x
Cosecant:		csc x = csc x = 1 sin x

La siguiente tabla resume las derivadas de las seis funciones trigonométricas, y también sus homólogos que se surgen de la regla de la cadena (es decir, el seno, coseno, etc. de una función).

Regla original	Regla generalizada (Regla de la cadena)
d dx sin x = cos x	d dx sin u = cos u du dx
d dx cos x = - sin x	d dx cos u = - sin u du dx
d dx tan x = sec2 x	d dx tan u = sec2u du dx
d dx cot x = - csc2x	d dx cot u = - csc2u du dx
d dx sec x = sec x tan x	d dx sec u = sec u tan u du dx
d dx csc x = - csc x cot x	d dx csc u = - csc u cot u du dx

sin x dx = -cos x + C		Porque d dx -cos x = sin x
cos x dx = sin x + C		Porque d dx sin x = cos x
tan x dx = -ln |cos x| + C		Porque d dx -ln |cos x| = tan x
cot x dx = ln |sin x| + C
sec x dx = ln |sec x + tan x| + C
csc x dx = -ln |csc x + cot x| + C
sec2x dx = tan x + C		Porque d dx tan x = sec2x